从莫比乌斯反演的文章里迁移出来的。
部分数论函数结论的证明
前面的小节中，我们使用了一些数论函数相关的结论，但并未给出证明。接下来我们来证明它们。
欧拉函数
证明
\[\varphi(ij) = \dfrac {\varphi(i) \varphi(j) \gcd(i, j)} {\varphi(\gcd(i, j))} \]
由欧拉函数公式，设 \(x\) 的标准分解为 \(x = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_m^{a_m}\)，有
\[\varphi(x) = x \prod\limits_{i = 1}^m \left(1 - \frac 1 {p_i} \right) \]设 \(p\) 为质数
\[\varphi(x) = x \prod\limits_{p \mid x} \left(1 - \frac 1 p \right) \]即
\[\varphi(i) = i \prod\limits_{p \mid i} \left(1 - \frac 1 p \right) \]\[\varphi(j) = j \prod\limits_{p \mid j} \left(1 - \frac 1 p \right) \]则
\[\begin{align*} \varphi(ij) &= ij \prod\limits_{p \mid ij} \left(1 - \frac 1 p \right) \\ &= \dfrac {i \cdot \prod\limits_{p \mid i} \left(1 - \frac 1 p \right) \cdot j \cdot \prod\limits_{p \mid j} \left(1 - \frac 1 p \right)} {\prod\limits_{p \mid i, p \mid j} \left(1 - \frac 1 p \right)} \\ &= \dfrac {\gcd(i, j) \cdot \left( i \cdot \prod\limits_{p \mid i} \left(1 - \frac 1 p \right) \right) \cdot \left( j \cdot \prod\limits_{p \mid j} \left(1 - \frac 1 p \right) \right)} {\gcd(i, j) \cdot \prod\limits_{p \mid i, p \mid j} \left(1 - \frac 1 p \right)} \\ &= \dfrac {\gcd(i, j) \cdot \varphi(i) \cdot \varphi(j)} {\varphi(\gcd(i, j))} \\ \end{align*} \]Q.E.D.
约数个数函数
证明
\[\tau(ij) = \sum\limits_{x \mid i} \sum\limits_{y \mid j} [\gcd(x, y) = 1] \]
考虑一个数对 \((x, y)\) 贡献 \(x \times \frac j y\)，分为 不重 和 不漏 两部分证明。
不漏
显然，所有数对 \((x, y)\) 可以覆盖 \(xy \mid ij\)。
如果 \(\gcd(x, y) = d > 1\)，设 \(x = x_0d, y = y_0d (x_0 \perp y_0)\)，则 \(x_0, y_0\) 分别为 \(i, j\) 的一个约数，此时数对 \((x, y)\) 和数对 \((x_0, y_0)\) 对 \(\tau(ij)\) 贡献相同的约数。所以 \(d\) 必然满足 \(d = 1\)。
不重
设两个不同的互质数对 \((x_1, y_1), (x_2, y_2) (x_1 \ne x_2, y_1 \ne y_2, x_1 \perp y_1, x_2 \perp y_2)\)，不妨 \(x_1 > x_2 \geqslant 1\)。
假若 \(x_1 \times \frac j {y_1} = x_2 \times \frac j {y_2}\)，则 \(\frac {x_1} {x_2} = \frac {y_1} {y_2}\)。但由于分数的最简形式唯一，所以 \(x_1 = y_1, \gcd(x_1, y_1) = x_1 > 1\)，与 \(x_1 \perp y_1\) 矛盾！假设不成立，原命题得证。
Q.E.D.
约数和函数 / 约数幂和函数
证明请参考
标签：结论,right,frac,函数,limits,数论,mid,varphi,left From： https://www.cnblogs.com/bluewindde/p/18378795