文章目录
一、集合
1. 集合和元素的概念
1. 一堆东西放在一起就是一个集合，里面的每个东西都叫做元素
2. 集合有三个特性：
- 确定性：给出一个元素，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不会出现模棱两可的情况
- 无序性：集合中的元素没有顺序概念，当两个集合中元素相同、顺序不同时，这两个集合依然相等
- 互异性：一个集合内，不能出现重复的元素
3. 常用一个大写的英文字母代表一个集合，但是有一些有特殊意义的字母建议不要使用：
- N：代表由 0 和 所有正整数组成的自然数集合，N = {0, 1, 2, …}
- Z：代表由 正整数、负整数 和 0 组成的整数集合，Z = {-1, 0, 2…}
4. 集合的内容，有下面几种常见的表示方式：
- 空集：一个空的大括号即可， 或者使用空集的专属符号
例：A = {} 或 A = ∅ \varnothing ∅ - 列举法：
把元素全都写在大括号内，并用逗号把每个元素隔开。
例：A = {1, 2, 3, 4} 就是一个集合 - 描述法：
在大括号内把集合中元素的共性描述出来。
例：A = { x | x > 0}，竖线前的 x 代表集合中的所有元素，竖线后的 x > 0 代表所有元素都要满足大于 0 的条件 - 图像法：利用维恩图（Venn diagram）来表示
5. 集合和元素的所属关系
假设有集合 A 和 元素 a，当元素 a 属于集合 A 时写为
a
∈
A
a \in A
a∈A，否则写为
a
∉
A
a \notin A
a∈/A
2. 集合间的关系
1. 子集
假设有 A 和 B 两个集合，当它们的关系满足下面三种情况中任意一种时，就是子集关系：
- B 集合中的元素和 A 集合中的元素完全相同
如：当 A = {1,2, 3}，B = {1, 2, 3} 时 - B 集合中的所有元素，在 A 集合中都有，并且 A 集合中的元素更多
如：当 A = {1,2, 3}，B = {1, 2} 时 - B 集合是空集
如：当 A = {1,2, 3}，B = ∅ \varnothing ∅ 时
当满足上面条件时，就说明 B 集合 是 A 集合 的子集，叫做 B 包含于 A，记做
B
⊆
A
B \subseteq A
B⊆A，注意符号开口向着包含于的集合
2. 真子集
真子集是子集中的一种，当明确了 [ B 集合中的所有元素，在 A 集合中都有，并且 A 集合中的元素更多时 ]，就代表 B 集合 是 A 集合 的真子集，记做 B ⫅ A B \subseteqq A B⫅A，叫做 B 是 A 的真子集，注意符号开口向着全集
例：当明确了两个集合分别为 A = {1,2, 3}，B = {1, 2} 时，就代表 B 是 A 的真子集，记做
B
⫅
A
B \subseteqq A
B⫅A
3. 空集
空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集
4. 集合相等
当两个集合中的所有元素都相同时，代表两个集合相等，也就是说当 B 是 A 的子集，并且不是 A 的真子集时，A = B
3. 集合间的运算
1. 交集
交集运算：找到两个集合中相同的元素
例：
A = {1, 2, 3, 5, 6}，B = {2, 5, 6, 7}，想找到 集合 A 和 集合 B 中的相同元素，就可以使用交集运算，叫做 A 交 B，记做 A ∩ B A \cap B A∩B，其结果也是一个集合，为 {2, 5, 6}
2. 并集
并集运算：将两个集合中的元素叠加
例：
A = {1, 2, 3, 5, 6}，B = {2, 5, 6, 7}，想让 集合 A 和 集合 B 中的元素叠加，就可以使用并集运算，叫做 A 并 B，记做 A ∪ B A \cup B A∪B，其结果也是一个集合，为 {1, 2, 3, 5, 6, 7}。注意：并集后的集合也要满足集合的互斥性
3. 补集
补集运算：找到子集比全集少的元素
例：
A = {1, 2, 3, 5, 6}，B = {2, 3, 5}，想找到 B 集合 比 A 集合 少的元素，因为 B 是 A 的子集（也是真子集），所以可以使用补集运算，叫做 B 补 A，记做
∁
A
B
\complement_AB
∁AB，其结果也是一个集合，为 {1, 6}
二、函数
1. 区间和无穷大
区间用来表示集合元素的取值范围，它有以下几种形式：
- 闭区间：包含区间范围的两个端点，记为 [ x , y ] [x, y] [x,y]，如： [ 2 , 5 ] ，意思为： 2 < = x < = 5 [2, 5]，意思为：2 <= x <= 5 [2,5]，意思为：2<=x<=5
- 开区间：不包含区间范围的两个端点，记为 ( x , y ) (x, y) (x,y)，如： ( 2 , 5 ) ，意思为 2 < x < 5 (2, 5)，意思为2 < x < 5 (2,5)，意思为2<x<5
- 半开半闭区间：区间范围中一个端点被包含，一个不被包涵，记为
[
x
,
y
)
或
(
x
,
y
]
[x, y) 或 (x, y]
[x,y)或(x,y]，如：
[
2
,
5
)
，意思为
2
<
=
x
<
5
，或
(
2
,
5
]
，意思为
2
<
x
<
=
5
[2, 5)，意思为2 <= x < 5，或 (2, 5]，意思为2 < x <= 5
[2,5)，意思为2<=x<5，或(2,5]，意思为2<x<=5
无穷大的符号是：+ ∞ \infty ∞，无穷小的符号是：- ∞ \infty ∞
当区间包含无穷时，无穷的那边必须使用开区间符号，也就是只有下面几种情况：
- 无穷小 < x < = 5 ，记为 ( − ∞ , 5 ] 无穷小 < x <= 5 ，记为(-\infty, 5 ] 无穷小<x<=5，记为(−∞,5]
- 无穷小 < x < 5 ，记为 ( − ∞ , 5 ) 无穷小 < x < 5 ，记为(-\infty, 5 ) 无穷小<x<5，记为(−∞,5)
- 2 < x < 无穷大，记为 ( 2 , + ∞ ) 2 < x <无穷大，记为(2, +\infty) 2<x<无穷大，记为(2,+∞)
-
2
<
=
x
<
无穷大时，记为
[
2
,
+
∞
)
2 <= x <无穷大时，记为[2, +\infty)
2<=x<无穷大时，记为[2,+∞)
区间的例子：用区间表示集合{x | 1<= x <= 3 或 x > 4}，结果为：
[
1
,
3
]
∪
(
4
,
+
∞
)
[1, 3] \cup(4, +\infty)
[1,3]∪(4,+∞)
2. 函数三要素
初中的时候，学习了函数的表达式是
y
=
x
y = x
y=x，x 是自变量，y 是随着 x 变化而变化的因变量，每个 x 都有一个唯一对应的 y，到了高中阶段，函数的概念会在初中的基础上被进一步加深，它新增了定义域、值域、对应法则三大要素
1. 定义域
定义域是函数表达式中自变量 x 的新名称，在高中的概念里，将 x 可能会出现的值，看作一个集合，将这个集合称为定义域
2. 值域
值域是函数表达式中因变量 y 的新名称，因为每个 x 都有一个唯一的 y，又因为现在 x 被看作一个集合，所以 y 也应该被看作成一个集合，这个集合的名称就是值域，集合中的每个元素都和定义域中的元素唯一对应
3. 对应法则
定义域中的元素与值域中的元素是一一对应的，它们的对应规则就叫对应法则，常用 f f f 表示对应法则的名称，当然也可以使用其他字母
假设有对应法则为 f ( x ) = x 2 + 1 f(x) = x^2 + 1 f(x)=x2+1，问 f ( 2 ) f(2) f(2) 的值是多少？可以这样解读：
- f ( x ) f(x) f(x)：对应法则的名称是 f f f，其法则可以处理的范围是名为 x x x 的定义域
- x 2 + 1 x^2 + 1 x2+1：这个是法则的内容，也就是定义域中元素和值域中元素的对应关系
- f ( 2 ) f(2) f(2)：通过对应法则，在值域中找到定义域中元素 2 所对应的值
综上所述，这个题的解为：
f
(
2
)
=
2
2
+
1
=
5
f(2)=2^2 + 1=5
f(2)=22+1=5，定义域中元素
2
2
2 所对应的值域中的元素为
5
5
5
3. 具体函数和抽象函数
1. 具体函数： 拥有具体的对应法则内容，如： f ( x ) = x 2 + 1 f(x) = x^2 + 1 f(x)=x2+1
经常会有求具体函数定义域的题，解题思路是通过已知的对应法则和法则内容，推断出定义域 x x x 的范围
例：求函数 f ( x ) = 1 x − 1 f(x) = \frac {1}{x-1} f(x)=x−11 的定义域？
解：因为分母不能为 0，所以
x
−
1
≠
0
x - 1 \neq 0
x−1=0，
x
≠
1
x \neq 1
x=1，定义域为：{
x
∣
x
≠
1
x | x \neq 1
x∣x=1} 或使用区间表示：
(
−
∞
,
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
(-\infty, 1)\cup(1, +\infty)
(−∞,1)∪(1,+∞)
2. 抽象函数： 没有具体的对应法则内容，但是有具体的法则处理范围，如： f ( x > 10 ) f(x > 10) f(x>10)
经常会有求抽象函数定义域的题，一般这种题型有一个很重要的口诀，先记住：定义域是 x，括号内相等
例：已知 f ( 2 x + 1 ) f(2x + 1) f(2x+1) 的定义域是 ( 3 , 5 ) (3, 5) (3,5)，求 f ( x − 1 ) f(x-1) f(x−1) 的定义域？
解：
步骤1：题目给出定义域是 ( 3 , 5 ) (3, 5) (3,5)，运用口诀中的【定义域是 x】可以得出 3 < x < 5 3 < x < 5 3<x<5
步骤2： f ( 2 x + 1 ) f(2x + 1) f(2x+1) 没有具体法则内容，所以是抽象函数，接下来先求出这个抽象函数的处理范围，也就是 2 x + 1 2x + 1 2x+1 ，第一步时已知了 x x x 的范围，只要把 x x x 带入进 2 x + 1 2x + 1 2x+1 中，就可以算出函数范围是 ( 7 , 11 ) (7, 11) (7,11)
步骤3：继续阅题， 求 f ( x − 1 ) f(x-1) f(x−1) 的定义域？因为口诀说了 【定义域是 x】，所以要求的就是 x x x，但这里的 x x x 和 题目前半段给出的那个 x x x 虽然名字相同，但不是同一个，这是一个新的 x x x，是需要我们求的 x x x
步骤4，运用口诀中的【括号内相等】：函数法则名称是
f
(
x
−
1
)
f(x-1)
f(x−1)，这说明还是刚才的那个函数
f
f
f，既然是刚才那个函数，那么它的处理范围肯定仍然是 (7, 11)，也就是
7
<
x
−
1
<
11
7 < x-1 < 11
7<x−1<11，这也就是第二个口诀 括号内相等 的原因，最后算出
f
(
x
−
1
)
f(x-1)
f(x−1) 定义域是：
8
<
x
<
12
8 < x < 12
8<x<12
4. 判断同一函数
定义域和对应法则都相同时，就是同一函数。（和对应法则的名字没关系，指的是和对应法则的内容相同）
5. 求函数值
1. 直接代入
例：已知 f ( x ) = x 2 + 1 ，求 f ( 3 ) 的值 f(x) = x^2 + 1，求 f(3) 的值 f(x)=x2+1，求f(3)的值
直接将所有的
x
x
x 替换成 3 就可以，
f
(
3
)
=
3
2
+
1
=
10
f(3) = 3^2 + 1 = 10
f(3)=32+1=10
2. 求出 x 后代入
例：已知 f ( x + 1 ) = x 2 + 1 ，求 f ( 3 ) 的值 f(x + 1) = x^2 + 1，求 f(3) 的值 f(x+1)=x2+1，求f(3)的值
这种不能直接将
x
x
x 替换成 3，需要先计算出
x
x
x 的值，也就是
x
+
1
=
3
，
x
=
2
x + 1 = 3，x = 2
x+1=3，x=2，然后将所有
x
x
x 都替换成 2 就可以，
f
(
3
)
=
f
(
2
+
1
)
=
2
2
+
1
=
5
f(3) = f(2 + 1) = 2 ^2 + 1 = 5
f(3)=f(2+1)=22+1=5
6. 换元法求函数解析式
例：已知 f ( x + 3 ) = x 2 + 1 f(x + 3) = x^2 + 1 f(x+3)=x2+1，求 f ( x ) f(x) f(x) 的解析式
解：
步骤1：令 t = x + 3 t = x + 3 t=x+3
步骤2：将 f ( x + 3 ) f(x + 3) f(x+3) 变成关于 t t t 的函数 f ( t ) f(t) f(t)
步骤3：因为 t = x + 3 t = x + 3 t=x+3，所以 x = t − 3 x = t - 3 x=t−3，得出关于 t t t 的函数为： f ( t ) = ( t − 3 ) 2 + 1 f(t) = (t-3)^2 + 1 f(t)=(t−3)2+1
步骤4：计算 ( t − 3 ) 2 + 1 (t-3)^2 + 1 (t−3)2+1 ，得： f ( t ) = t 2 − 6 t + 10 f(t) = t^2 - 6t + 10 f(t)=t2−6t+10
步骤5：把
t
t
t 变回
x
x
x，
f
(
x
)
=
x
2
−
6
x
+
10
f(x) = x^2 - 6x + 10
f(x)=x2−6x+10
7. 映射
映射和函数的概念差不太多，都是表示两个集合之间存在对应的关系
函数是一种特殊的映射，通常两个数字集合间有对应关系叫做函数，非数字集合间有对应关系叫做映射
数据的来源在函数中叫做定义域，在映射中叫做原象，源数据所对应的集合在函数中叫做值域，在映射中叫做象
当，A 集合是原象，B 集合是象，记做
f
:
A
→
B
f:A→B
f:A→B，读做 A 集合到 B 集合的映射
8. 函数的表示方法
常见的函数表示方法有：
- 列表法：通过表格表示 x 和 y 的对应关系
- 图像法：通过平面直角坐标系表示 x 和 y 的对应关系
- 解析法：用解析式表示 x 和 y 的对应关系
9. 分段函数
分段函数是在一个函数中，有多个解析式，然后根据不同的条件使用不同的解析式
例：
f ( x ) = { x + 1 ， x > 0 1 − x ， x ≤ 0 f(x) = \begin{cases} x + 1，x \gt 0 \\ 1 - x，x \leq 0 \end{cases} f(x)={x+1，x>01−x，x≤0 ，求 f ( 3 ) + f ( − 1 ) f(3) + f(-1) f(3)+f(−1)
解：
这个函数中，有两个解析式，分别对应 x > 0 x \gt 0 x>0 时的表达式 和 x ≤ 0 x \leq 0 x≤0 时的表达式
因为 3 > 0 3 \gt 0 3>0，所以 f ( 3 ) f(3) f(3) 应该用 x + 1 x + 1 x+1 这个解析式，既 f ( 3 ) = 3 + 1 = 4 f(3) = 3 + 1 = 4 f(3)=3+1=4
因为 − 1 ≤ 0 -1 \leq 0 −1≤0，所以 f ( − 1 ) f(-1) f(−1) 应该用 1 − x 1 - x 1−x 这个解析式，既 f ( − 1 ) = 1 − ( − 1 ) = 2 f(-1) = 1 - (-1) = 2 f(−1)=1−(−1)=2
因为
f
(
3
)
=
4
，
f
(
−
1
)
=
2
f(3) = 4，f(-1) = 2
f(3)=4，f(−1)=2，所以
f
(
3
)
+
f
(
−
1
)
=
6
f(3) + f(-1) = 6
f(3)+f(−1)=6
注意，带绝对值的函数，也是分段函数。如
f
(
x
)
=
∣
x
∣
(
x
+
1
)
f(x) = \vert x \vert (x + 1)
f(x)=∣x∣(x+1) ，就是一个分段函数，当
x
≥
0
x \geq 0
x≥0 时，解析式为
x
(
x
+
1
)
x(x + 1)
x(x+1)，当
x
<
0
x \lt 0
x<0 时，解析式为
−
x
(
x
+
1
)
-x(x + 1)
−x(x+1)
10. 抽象函数图像的平移
与一次、二次、反比例函数图像平移的口诀一样，也是：上加下减在末尾，左加右减在
x
x
x
抽象函数 y = f ( 2 x + 1 ) y = f(2x + 1) y=f(2x+1) 平移，例：
左移五个单位， y = f ( 2 ( x + 5 ) + 1 ) y = f(2(x + 5) + 1) y=f(2(x+5)+1)
右移五个单位， y = f ( 2 ( x − 5 ) + 1 ) y = f(2(x - 5) + 1) y=f(2(x−5)+1)
上移五个单位， y = f ( 2 x + 1 ) + 5 y = f(2x + 1) + 5 y=f(2x+1)+5
下移五个单位，
y
=
f
(
2
x
+
1
)
−
5
y = f(2x + 1) - 5
y=f(2x+1)−5
11. 函数的周期性
周期性从函数图像上来说，是一个有循环规律的图像，当
x
x
x 每增长特定长度后，
y
y
y 就会回到最初的点开始新的一轮循环，这种函数就具备周期性
函数的周期
x x x 每增长特定的距离， y y y 就会开始新的一轮循环， 这个特定的距离就是函数的周期
f
(
x
)
=
f
(
x
+
t
)
f(x)=f(x + t)
f(x)=f(x+t) 时，当
x
x
x 增长了
t
t
t 个距离后，
y
y
y 的值与最初的值相等，说明这个函数具有周期性，而
t
t
t 就是这个函数的周期
从具有周期性的函数中找到周期的常见题型
(1)
f
(
x
)
=
f
(
x
+
t
)
f(x)=f(x + t)
f(x)=f(x+t) ：从
x
x
x 向左移动了
t
t
t 个距离后，
y
y
y 开始新的循环，所以周期是
t
t
t
(2)
f
(
x
)
=
f
(
x
−
t
)
f(x)=f(x - t)
f(x)=f(x−t)：从
x
x
x 向右移动了
t
t
t 个距离后，
y
y
y 开始新的循环，所以周期是
t
t
t
(3)
f
(
x
−
a
)
=
f
(
x
+
a
)
f(x - a)=f(x + a)
f(x−a)=f(x+a)：从数轴上看，
−
a
-a
−a 到
+
a
+a
+a 的距离是
2
a
2a
2a，所以周期是
2
a
2a
2a
(4) f ( x + a ) = − f ( x ) f(x + a)=-f(x) f(x+a)=−f(x) ：周期是 2 a 2a 2a
原理：
f
(
x
+
a
)
=
−
f
(
x
)
f(x + a)=-f(x)
f(x+a)=−f(x)，等号左右两边相差一个
a
a
a，只要保持这个规律，就可以对已有的信息进行改造，将已有信息改为：
f
(
x
+
2
a
)
=
−
f
(
x
+
a
)
f(x + 2a)=-f(x + a)
f(x+2a)=−f(x+a)，左右两边仍然相差一个
a
a
a，规律不变。因为原式中
f
(
x
+
a
)
=
−
f
(
x
)
f(x + a)=-f(x)
f(x+a)=−f(x)，所以可以将改造后的
f
(
x
+
2
a
)
=
−
f
(
x
+
a
)
f(x + 2a)=-f(x + a)
f(x+2a)=−f(x+a) 中的
f
(
x
+
a
)
f(x + a)
f(x+a) 变成
−
f
(
x
)
-f(x)
−f(x)，即：
f
(
x
+
2
a
)
=
−
[
−
f
(
x
)
]
f(x + 2a)=-[-f(x)]
f(x+2a)=−[−f(x)]，化简后：
f
(
x
+
2
a
)
=
f
(
x
)
f(x + 2a)=f(x)
f(x+2a)=f(x)，从化简后的等式就可以看出周期是 2a
(5) f ( x + a ) = 1 f ( x ) f(x + a)=\frac {1}{f(x)} f(x+a)=f(x)1 的周期是 2 a 2a 2a
原理，跟上一个思路差不多：
保证等号两遍相差一个 a a a 的规律，将原式改造为 f ( x + 2 a ) = 1 f ( x + a ) f(x + 2a)=\frac {1}{f(x + a)} f(x+2a)=f(x+a)1，然后将改造后的分母 f ( x + a ) f(x + a) f(x+a)， 变成原式中的 1 f ( x ) \frac {1}{f(x)} f(x)1，这时改造后的式子为 f ( x + 2 a ) = 1 1 f ( x ) f(x + 2a)=\frac {1}{\frac {1} {f(x)}} f(x+2a)=f(x)11，化简后： f ( x + 2 a ) = f ( x ) f(x + 2a)=f(x) f(x+2a)=f(x)，从化简后的等式就可以看出周期是 2a
二、函数的单调性
1. 单调性的代数定义
在函数图像中，某一区间的图像如果是持续向上的，叫单调递增，如果持续向下，叫单调递减，如果是持平叫没有单调性
单调递增的代数定义
在函数图像的
x
x
x 轴任取两个点，当
x
1
<
x
2
x_1 \lt x_2
x1<x2，并且
f
(
x
1
)
<
f
(
x
2
)
f(x_1) \lt f(x_2)
f(x1)<f(x2) 或
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
<
0
f(x_1) - f(x_2) \lt 0
f(x1)−f(x2)<0 时，是单调递增
单调递减的代数定义
在函数图像的
x
x
x 轴任取两个点，当
x
1
<
x
2
x_1 \lt x_2
x1<x2，并且
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
f(x_1) \gt f(x_2)
f(x1)>f(x2) 或
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
>
0
f(x_1) - f(x_2) \gt 0
f(x1)−f(x2)>0 时，是单调递减
2. 一次、二次、反比例函数的单调性
一次函数
一次函数
y
=
k
x
+
b
y = kx + b
y=kx+b 的单调性由系数
k
k
k 决定，当
k
>
0
k \gt 0
k>0 时，图像是单调递增的，当
k
<
0
k \lt 0
k<0 时，图像是单调递减的
二次函数
二次函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx +c y=ax2+bx+c 的图像是抛物线，抛物线的开口由 a a a 决定：
-
当 a > 0 a \gt 0 a>0 时，抛物线开口向上，对称轴左侧图像为单调递减， x x x 取值区间为 ( − ∞ ， − b 2 a -\infty，-\frac {b} {2a} −∞，−2ab]，对称轴右侧图像为单调递增， x x x 取值区间为 [ − b 2 a ， + ∞ -\frac {b} {2a}，+\infty −2ab，+∞)
-
当 a < 0 a \lt 0 a<0 时，抛物线开口向下，对称轴左侧图像为单调递增， x x x 取值区间为 ( − ∞ ， − b 2 a -\infty，-\frac {b} {2a} −∞，−2ab]，对称轴右侧图像为单调递减， x x x 取值区间为 [ − b 2 a ， + ∞ -\frac {b} {2a}，+\infty −2ab，+∞)
反比例函数
反比例函数 y = k x y = \frac k x y=xk 的单调性也是由系数 k k k 决定：
- 当 k > 0 k \gt 0 k>0 时，图像在第一、三象限是单调递减的， x x x 在第一象限的区间是 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+∞)，在第三象限的区间是 ( − ∞ , 0 ) (-\infty, 0) (−∞,0)
-
k
<
0
k \lt 0
k<0 时，图像在第二、四象限是单调递增的，
x
x
x 在第二象限的区间是
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(0,+∞)，在第四象限的区间是
(
−
∞
,
0
)
(-\infty, 0)
(−∞,0)
3. 单调性的加减
两个单调递增的函数相加，结果还是单调递增。两个单调递减的函数相加，结果还是单调递减。
所以口诀就是：增加增还是增，减加减还是减
4. 复合函数概念
一个函数的参数是另一个函数，这种组合的函数就是复合函数，其形式为
y
=
f
(
g
(
x
)
)
y = f(g(x))
y=f(g(x))，其由两个函数组成，分别是函数
f
f
f，叫做外层函数、函数
g
g
g，叫做内层函数，其执行流程是由内向外，先执行
g
(
x
)
g(x)
g(x) ，将其计算后的结果当做参数，再执行
f
f
f
给定外层和内层函数，组成复合函数
内层函数：
u
=
g
(
x
)
=
x
2
−
x
u = g(x) = x^2 - x
u=g(x)=x2−x
外层函数：
y
=
f
(
u
)
=
1
u
y = f(u) = \frac 1 u
y=f(u)=u1
组成的复合函数：
f
(
g
(
x
)
)
=
1
x
2
−
x
f(g(x)) = \frac {1} {x^2 - x}
f(g(x))=x2−x1
给定复合函数，拆解成内层和外层函数
复合函数：
f
(
g
(
x
)
)
=
x
2
+
1
f(g(x))=\sqrt {x^2 + 1}
f(g(x))=x2+1
拆解的内层函数：
u
=
g
(
x
)
=
x
2
+
1
u = g(x) = x^2 + 1
u=g(x)=x2+1
拆解的外层函数：
y
=
f
(
u
)
=
u
y = f(u) = \sqrt u
y=f(u)=u
5. 复合函数的单调性
求解复合函数单调性的流程：
- 求出复合函数的定义域
- 求出外层函数的单调性（外层函数的单调性是恒不变的，要么单调递增，要么单调递减）
- 求出内层函数的单调性
- 求出复合函数的单调性，利用口诀：同增异减（内层函数与外层函数的单调性做比较，当内层函数和外层函数的单调性相同时，复合函数是单调递增，当内层函数和外层函数的单调性异同时，复合函数是单调递减）
例：求 y = x 2 − 2 x y = \sqrt {x^2 - 2x} y=x2−2x 的单调区间？
解：
步骤1，求出复合函数的定义域：
因为
x
2
−
2
x
x^2 - 2x
x2−2x 在根式下，所以
x
2
−
2
x
≥
0
x^2 - 2x \geq 0
x2−2x≥0，计算后得定义域：
(
−
∞
,
0
]
(-\infty, 0]
(−∞,0] 和
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞)
步骤2，因为 y = x 2 − 2 x y = \sqrt {x^2 - 2x} y=x2−2x 中含有根式，所以适合将其看做复合函数，然后拆解出内外函数：
内层函数为：
u
=
g
(
x
)
=
x
2
−
2
x
u = g(x) = x^2 - 2x
u=g(x)=x2−2x，外层函数为：
y
=
f
(
u
)
=
u
y = f(u) = \sqrt u
y=f(u)=u
步骤3，求出外层函数的单调性：
因为根号下的数越大，开根后值越大，所以外层函数是单调递增的
步骤4，求出内层函数的单调性：
内层函数是一个开口向上的二次函数，因为二次函数是抛物线，所以其会以对称轴为分界线有两个单调区间，对称轴左边是单调递减区间、对称轴右边是单调递增区间，通过
（对称轴
=
−
b
2
a
）
（对称轴 = - \frac {b} {2a}）
（对称轴=−2ab） 计算出对称轴是
1
1
1，也就是这个二次函数中
(
−
∞
,
1
]
(-\infty, 1]
(−∞,1] 是单调递减，
[
1
,
+
∞
)
[1, +\infty)
[1,+∞) 是单调递增。又因为定义域已经求出来是
(
−
∞
,
0
]
(-\infty, 0]
(−∞,0] 和
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞) ，不包含
1
1
1，所以单调区间也不应该包含
1
1
1，调整后最终内层函数的单调递减的区间应该是
(
−
∞
,
0
]
(-\infty, 0]
(−∞,0]，单调递增的区间是
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞)
步骤5，根据同增异减求出复合函数的单调性：
外层函数是单调递增，内层函数中
(
−
∞
,
1
]
(-\infty, 1]
(−∞,1] 是单调递减，和外层不同，所以
(
−
∞
,
1
]
(-\infty, 1]
(−∞,1] 是单调递减，内层函数中
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞) 是单调递增，与外层单调性相同，所以
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞) 仍是单调递增，最后结论就是这个复合函数的单调区间为：
(
−
∞
,
1
]
(-\infty, 1]
(−∞,1] 是单调递减 ，
[
2
,
+
∞
)
[2, +\infty)
[2,+∞) 是单调递增
6. 对勾函数概念
对勾函数的标准式为： y = a x + b x y=ax+\frac b x y=ax+xb 并且 a ， b > 0 a，b \gt 0 a，b>0，因为其表现在函数图像上时，像 ✓，所以称为对勾函数
用最简单的对勾函数 y = x + 1 x y=x + \frac 1 x y=x+x1 来理解其形成 ✓ 图像的原理：
x x x 分别取值为： 1 4 \frac 1 4 41、 1 3 \frac 1 3 31、 1 2 \frac 1 2 21、 1 1 1、 2 2 2、 3 3 3、 4 4 4、 5 5 5，所对应的 y y y 分别是： 4 1 4 4\frac 1 4 441、 3 1 3 3\frac 1 3 331、 2 1 2 2\frac 1 2 221、 2 2 2、 2 1 2 2\frac 1 2 221、 3 1 3 3\frac 1 3 331、 4 1 4 4\frac 1 4 441、 5 1 5 5\frac 1 5 551，在第一象限画出来就是一个 ✓，如果 x x x 的定义域可以是负数，那么第三象限会有一个相反的 ✓
通过上面的试验可以找到规律，图像会从最高处开始单调递减，当
x
x
x 和
1
x
\frac 1 x
x1 相等时（
x
=
1
x=1
x=1）是临界值，之后会变成单调递增
7. 对勾函数单调性和均值不等式
均值不等式
均值不等式定理：当 a , b > 0 a, b > 0 a,b>0 时， a + b ≥ 2 a b a + b \geq 2 \sqrt {ab} a+b≥2ab ，证明其原理很简单：
a + b ≥ 2 a b = a − 2 a b + b ≥ 0 = ( a − b ) 2 ≥ 0 a + b \geq 2 \sqrt ab=a - 2 \sqrt ab + b \geq 0= (\sqrt a - \sqrt b)^2 \geq 0 a+b≥2a b=a−2a b+b≥0=(a −b )2≥0
想让
(
a
−
b
)
2
=
0
(\sqrt a - \sqrt b)^2 = 0
(a
−b
)2=0，只要满足
a
=
b
a = b
a=b 即可
对勾函数单调性
对勾函数和二次函数同样是拥有两个单调性，二次函数可以通过对称轴找到临界点，从而找到单调递增和单调递减的区间，而对勾函数不一定是对称的，所以不能使用对称轴来找临界点，对勾函数的标准式是：
y
=
a
x
+
b
x
，且
a
,
b
>
0
y=ax+\frac b x，且 a,b \gt 0
y=ax+xb，且a,b>0，这种结构刚好满足均值不等式，而通过前一个章节的试验，可以得出临界点是
a
x
=
b
x
ax = \frac b x
ax=xb，刚好是均值不等式
(
a
−
b
)
2
=
0
(\sqrt a - \sqrt b)^2 = 0
(a
−b
)2=0 时的值
套用均值不等式求对勾函数临界点：
a x + b x ≥ 2 a x ∗ b x = a x + b x ≥ 2 a b = a x − 2 a b + b x ≥ 0 = ( a x − b x ) 2 ≥ 0 ax + \frac b x \geq 2 \sqrt {{ax} *{\frac b x}}=ax + \frac b x \geq 2 \sqrt {ab}=ax-2\sqrt {ab} + \frac b x \geq 0=(ax-\frac b x)^2\geq 0 ax+xb≥2ax∗xb =ax+xb≥2ab =ax−2ab +xb≥0=(ax−xb)2≥0
因为 a x = b x ax = \frac b x ax=xb 时是临界点，既：
a
∗
x
=
b
∗
1
x
=
x
∗
x
=
b
∗
1
a
=
x
2
=
b
a
=
x
=
b
a
a*x=b*\frac 1x\\ =x*x=b*\frac 1 a\\ =x^2=\frac b a\\ =x=\sqrt {\frac b a}
a∗x=b∗x1=x∗x=b∗a1=x2=ab=x=ab
通过临界点得到对勾函数的单调区间为：：
- 第一象限的递增区间为：[ a b \sqrt \frac ab ba , + ∞ +\infty +∞)
- 第一象限的递减区间为：(0, a b \sqrt \frac ab ba ]
- 第三象限的递增区间为：( − ∞ -\infty −∞, - a b \sqrt \frac ab ba ]
- 第三象限的递减区间为：[- a b \sqrt \frac ab ba , 0)
8. 分式的单调性
求解分式的单调性，主要就是利用常数分离法
例：
求 f ( x ) = 2 x + 1 x − 1 f(x)=\frac {2x + 1} {x - 1} f(x)=x−12x+1 的单调区间
解：
步骤1，分离常数：
f
(
x
)
=
2
x
+
1
x
−
1
=
2
(
x
−
1
)
+
3
x
−
1
=
2
(
x
−
1
)
x
−
1
+
3
x
−
1
=
2
+
3
x
−
1
f(x)=\frac {2x + 1} {x - 1} = \frac {2(x - 1) + 3} {x - 1}=\frac {2(x - 1)}{x - 1} + \frac {3}{x - 1}=2+\frac {3}{x -1}
f(x)=x−12x+1=x−12(x−1)+3=x−12(x−1)+x−13=2+x−13
步骤2，找到单调区间：
常数分离后得：
2
+
3
x
−
1
2+\frac {3}{x -1}
2+x−13，其是一个在函数图像上向右移动 1 位，向上移动 2 位的反比例函数，所以是单调递减函数，在第一象限和第三象限的单调递减区间分别是 [
1
,
+
∞
1, +\infty
1,+∞) 和 (
−
∞
,
1
-\infty, 1
−∞,1]
9. 抽象函数单调性
求抽象函数的单调性，是利用单调性的代数式，即：取两个点，让其满足
x
1
<
x
2
x_1 \lt x_2
x1<x2，这时如果
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
<
0
f(x_1) - f(x_2) \lt 0
f(x1)−f(x2)<0，则是单调递增，如果
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
>
0
f(x_1) - f(x_2) \gt 0
f(x1)−f(x2)>0 则是单调递减
抽象函数单调性常见的题型，例：
对 ∀ x \forall x ∀x， y ∈ R y \in R y∈R， f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) f(x) + f(y) = f(x + y) f(x)+f(y)=f(x+y)， x < 0 x \lt 0 x<0 时, f ( x ) < 0 f(x) \lt 0 f(x)<0，求证： f ( x ) f(x) f(x) 在 R R R 上单调递增
解：
步骤1，让题中等式满足单调性的代数式结构，即 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) f(x_1) - f(x_2) f(x1)−f(x2)：
题中
f
(
x
)
+
f
(
y
)
=
f
(
x
+
y
)
f(x) + f(y) = f(x + y)
f(x)+f(y)=f(x+y)，可以通过移项变成：
f
(
x
+
y
)
−
f
(
x
)
=
f
(
y
)
f(x + y) - f(x) = f(y)
f(x+y)−f(x)=f(y)，满足单调性代数式结构
步骤2，任取两点，让其满足 x 1 < x 2 x_1 \lt x_2 x1<x2，然后换元代入：
设： x 1 = x + y x_1 = x + y x1=x+y， x 2 = x x_2 = x x2=x
通过换元法将
f
(
x
+
y
)
−
f
(
x
)
=
f
(
y
)
f(x + y) - f(x) = f(y)
f(x+y)−f(x)=f(y) 变为
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
=
f
(
x
1
−
x
2
)
f(x_1) - f(x_2) = f(x_1 - x_2)
f(x1)−f(x2)=f(x1−x2)
步骤3，计算 f ( x 1 − x 2 ) f(x_1 - x_2) f(x1−x2)：
因为
x
1
<
x
2
x_1 \lt x_2
x1<x2，所以
x
1
−
x
2
<
0
x_1 - x_2 < 0
x1−x2<0，又因为题中说
x
<
0
x \lt 0
x<0 时,
f
(
x
)
<
0
f(x) \lt 0
f(x)<0，所以
f
(
x
1
−
x
2
)
<
0
f(x_1 - x_2) \lt 0
f(x1−x2)<0
步骤4，整理后得出结论：
因为
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
<
0
f(x_1) - f(x_2) \lt 0
f(x1)−f(x2)<0，所以
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是单调递增
10. 单调性与不等式
这种题型也是利用了单调性代数式，例：
已知 f ( x ) f(x) f(x) 是 ( 0 ， + ∞ ) (0，+\infty) (0，+∞) 上的减函数， f ( m 2 − 1 ) > f ( m + 5 ) f(m^2 - 1) \gt f(m + 5) f(m2−1)>f(m+5), 求 m m m 的范围
解：
步骤1，通过单调性代数式分析题目：
因为减函数的单调性代数式为
x
1
<
x
2
x_1 \lt x_2
x1<x2 并且
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
f(x_1) \gt f(x_2)
f(x1)>f(x2)，所以
m
2
−
1
<
m
+
5
m^2 - 1 \lt m + 5
m2−1<m+5
步骤2，解不等式方程 m 2 − 1 < m + 5 m^2 - 1 \lt m + 5 m2−1<m+5：
m
2
−
1
<
m
+
5
=
m
2
−
m
−
6
<
0
=
(
m
−
3
)
(
m
+
2
)
<
0
=
−
2
<
m
<
3
m^2 - 1 \lt m + 5\\ =m^2-m-6<0\\ =(m-3)(m+2)<0\\ =-2 \lt m \lt 3
m2−1<m+5=m2−m−6<0=(m−3)(m+2)<0=−2<m<3
步骤3，验证 m m m 是否为正确答案：
题中给出， f ( x ) f(x) f(x) 的定义域是 ( 0 ， + ∞ ) (0，+\infty) (0，+∞)，所以 m 2 − 1 m^2 - 1 m2−1 和 m + 5 m + 5 m+5 必须都大于 0，所以 − 2 < m < 3 -2 \lt m \lt 3 −2<m<3 不行，还需要求出 m 2 − 1 > 0 m^2 - 1 > 0 m2−1>0 和 m + 5 > 0 m + 5 > 0 m+5>0
现在有三个条件：
{
−
2
<
m
<
3
m
2
−
1
>
0
=
m
<
−
1
或
1
<
m
m
+
5
>
0
=
m
>
−
5
\begin {cases} -2 \lt m \lt 3\\ m^2 - 1 > 0 = m \lt -1 或 1\lt m\\ m + 5 > 0 = m>-5 \end{cases}
⎩
⎨
⎧−2<m<3m2−1>0=m<−1或1<mm+5>0=m>−5
最后取数轴上的交集为：
−
2
<
m
<
−
1
-2 \lt m \lt -1
−2<m<−1 或
1
<
m
<
3
1 \lt m \lt 3
1<m<3
三、函数的奇偶性
1. 奇偶性的概念
判断奇偶性，就是判断对 f ( x ) f(x) f(x) 分别传入正数和负数后的结果关系：
-
当传入正数和负数后的结果互为相反数时，代表 f ( x ) f(x) f(x) 是奇函数，即： f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x)
-
当传入正数和负数后的结果相等时，代表 f ( x ) f(x) f(x) 是偶函数，即： f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x)
除了上述判断奇偶性的条件外，奇函数和偶函数的定义域必须满足原点对称的条件，否则就是一个非奇非偶函数
还有，奇函数的值是基于原点对称的，偶函数的值是基于
y
y
y 轴对称的
奇函数，例：
判断 f ( x ) = 3 x 3 f(x)=3x^3 f(x)=3x3 是否为奇函数？（假设定义域原点对称）
因为
f
(
1
)
=
3
f(1)=3
f(1)=3，
f
(
−
1
)
=
−
3
f(-1) = -3
f(−1)=−3，它们的值互为相反数，所以
f
(
x
)
=
3
x
3
f(x)=3x^3
f(x)=3x3 是奇函数
偶函数，例：
判断 f ( x ) = ∣ x ∣ + 1 f(x)=\vert x \vert + 1 f(x)=∣x∣+1 是否为偶函数？（假设定义域原点对称）
因为
f
(
1
)
=
2
f(1)=2
f(1)=2，
f
(
−
1
)
=
2
f(-1)=2
f(−1)=2，它们的值相同，所以
f
(
x
)
=
∣
x
∣
+
1
f(x)=\vert x \vert + 1
f(x)=∣x∣+1 是偶函数
关于 f ( x ) f(x) f(x) 和 f ( − x ) f(-x) f(−x) 的总结：
刚开始一直以为 f ( − x ) f(-x) f(−x) 是一个函数，纠结很久， 后来听从一个数学高手的指点，才转过弯
f ( − x ) f(-x) f(−x) 仅仅是把 − x -x −x 代进 f ( x ) f(x) f(x) 函数而已，并不是一个新的函数，就和代入一个数字同理
比如有函数 f ( x ) = 3 x 3 f(x) = 3x^3 f(x)=3x3，那么代入 − x -x −x 和 代入一个数字是同样的道理：
- f ( 1 ) = 3 ∗ 1 3 = 3 f(1)=3*1^3=3 f(1)=3∗13=3
- f ( 2 ) = 3 ∗ 2 3 = 24 f(2)=3*2^3=24 f(2)=3∗23=24
- f ( − 2 ) = 3 ∗ ( − 2 ) 3 = − 24 f(-2)=3*(-2)^3=-24 f(−2)=3∗(−2)3=−24
-
f
(
−
x
)
=
3
∗
(
−
x
)
3
=
−
3
x
3
f(-x)=3*(-x)^3=-3x^3
f(−x)=3∗(−x)3=−3x3
2. 奇偶性的运算和复合函数的奇偶性
奇偶性的运算
-
奇函数 + 奇函数 = 奇函数
-
奇函数 * 奇函数 = 偶函数
-
偶函数 + 偶函数 = 偶函数
-
偶函数 * 偶函数 = 偶函数
-
奇函数 * 偶函数 = 奇函数
-
奇函数 + 偶函数 = 不能确定
原理，以加法为例：
假设 f ( x ) ， g ( x ) f(x)，g(x) f(x)，g(x) 都是奇函数：
令： − x = x -x = x −x=x
则： f ( x ) + g ( x ) = f ( − x ) + g ( − x ) f(x)+g(x) = f(-x) + g(-x) f(x)+g(x)=f(−x)+g(−x)
因为奇函数有 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x) 的特性
所以 f ( − x ) + g ( − x ) = − f ( x ) + [ − g ( x ) ] = − f ( x ) − g ( x ) = − [ f ( x ) + g ( x ) ] f(-x) + g(-x)=-f(x) + [-g(x)]=-f(x)-g(x)=-[f(x) + g(x)] f(−x)+g(−x)=−f(x)+[−g(x)]=−f(x)−g(x)=−[f(x)+g(x)]
原式为：
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f(x)+g(x)
f(x)+g(x)， 结果为：
−
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
-[f(x) + g(x)]
−[f(x)+g(x)]，结果与原式互为相反数，所以是奇函数
复合函数的奇偶性
假设有复合函数： F ( x ) = f ( g ( x ) ) F(x) = f(g(x)) F(x)=f(g(x))
-
f(x) 是奇函数，g(x) 也是奇函数时，复合函数 F(x) 是奇函数
-
f(x) 是奇函数，g(x) 也是偶函数时，复合函数 F(x) 是偶函数
-
f(x) 是偶函数，g(x) 也是偶函数时，复合函数 F(x) 是偶函数
-
f(x) 是偶函数，g(x) 也是奇函数时，复合函数 F(x) 是偶函数
原理，以 f(x) 是奇函数，g(x) 也是奇函数时，复合函数 F(x) 是奇函数为例：
令： − x = x -x = x −x=x
则： f ( g ( x ) ) = f ( g ( − x ) ) f(g(x)) = f(g(-x)) f(g(x))=f(g(−x))
因为 g ( x ) g(x) g(x) 是奇函数，奇函数特性为： g ( − x ) = − g ( x ) g(-x) = -g(x) g(−x)=−g(x)
所以 f ( g ( − x ) ) = f ( − g ( x ) ) f(g(-x))=f(-g(x)) f(g(−x))=f(−g(x))
因为 f ( x ) f(x) f(x) 是奇函数，奇函数特性为： f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x)
所以 f ( − g ( x ) ) = − f ( g ( x ) ) f(-g(x))=-f(g(x)) f(−g(x))=−f(g(x))
原式为： f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))， 转换后结果为： − f ( g ( x ) ) -f(g(x)) −f(g(x))，结果与原式互为相反数，所以是奇函数
3. 分段函数的奇偶性
判断分段函数的奇偶性，只需要把 − x -x −x 代入到解析式后与原解析式对比即可，当所有解析式都是奇函数，那么分段函数就是奇函数，当所有解析式都是偶函数，那么分段函数就是偶函数，当解析式有奇函数也有偶函数，那么分段函数就是非奇非偶函数
不要忘记，分段函数一定要满足定义域原点对称
例，判断以下分段函数的奇偶性：
{ x 2 + 2 x − 3 ， x < 0 − x 2 + 2 x + 3 ， x > 0 \begin{cases}\\ x^2 + 2x - 3，x \lt 0\\ -x^2 + 2x + 3，x \gt 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x2+2x−3，x<0−x2+2x+3，x>0
解：
步骤1，因为分段函数的定义域是全部实数，所以定义域是基于原点对称的，所以可以继续判断奇偶性
步骤2，把 − x -x −x 代入到解析式 （分段条件中的 x x x 也要替换）：
{
(
−
x
)
2
+
2
(
−
x
)
−
3
，
−
x
<
0
−
(
−
x
)
2
+
2
(
−
x
)
+
3
，
−
x
>
0
\begin{cases}\\ (-x)^2 + 2(-x) - 3，-x \lt 0\\ -(-x)^2 + 2(-x) + 3，-x \gt 0 \end{cases}
⎩
⎨
⎧(−x)2+2(−x)−3，−x<0−(−x)2+2(−x)+3，−x>0 化简后得：
{
x
2
−
2
x
−
3
，
x
>
0
−
x
2
−
2
x
+
3
，
x
<
0
\begin{cases}\\ x^2 - 2x - 3，x \gt 0\\ -x^2 - 2x + 3，x \lt 0 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x2−2x−3，x>0−x2−2x+3，x<0
步骤3，化简后与条件相同的原解析式对比：
化简后的 x > 0 x \gt 0 x>0 的解析式为 x 2 − 2 x − 3 x^2 - 2x - 3 x2−2x−3，原解析式中 x > 0 x \gt 0 x>0 的解析式为 − x 2 + 2 x + 3 -x^2 + 2x + 3 −x2+2x+3，两个解析式不相等，说明不是偶函数，接下来再对原解析式取相反数，判断是否为奇函数，原解析始取相反数后为： − ( − x 2 + 2 x + 3 ) = x 2 − 2 x − 3 -(-x^2 + 2x + 3)=x^2-2x-3 −(−x2+2x+3)=x2−2x−3，原解析式取相反数后与化简后的相同，说明 x > 0 x \gt 0 x>0 时的解析式是奇函数
化简后的 x < 0 x \lt 0 x<0 的解析式为 − x 2 − 2 x + 3 -x^2 - 2x + 3 −x2−2x+3，原解析式中 x < 0 x \lt 0 x<0 的解析式为 x 2 + 2 x − 3 x^2 + 2x - 3 x2+2x−3，两个解析式不相等，说明不是偶函数，接下来再对原解析式取相反数，判断是否为奇函数，原解析始取相反数后为： − ( x 2 + 2 x − 3 ) = − x 2 − 2 x + 3 -(x^2 + 2x - 3)=-x^2-2x+3 −(x2+2x−3)=−x2−2x+3，原解析式取相反数后与化简后的相同，说明 x < 0 x \lt 0 x<0 时的解析式是奇函数
所有解析式都是奇函数，所以这个分段函数就是奇函数
这种替换的方式要注意的点
当分段函数解析式的条件有临界值时，比如 ≤ \leq ≤ 或 ≥ \geq ≥ 时，要再原解析式的基础上，先将临界值拎出来，然后再正常替换判断奇偶性
例，下面这个带有临界值的原解析式：
{ x 2 + 2 x − 3 ， x ≤ 1 − x 2 + 2 x + 3 ， x > 1 \begin{cases}\\ x^2 + 2x - 3，x \leq 1\\ -x^2 + 2x + 3，x \gt 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x2+2x−3，x≤1−x2+2x+3，x>1
解：
步骤1，因为分段函数的定义域是全部实数，所以定义域是基于原点对称的，所以可以继续判断奇偶性
步骤2，因为有临界值 x ≤ 1 x \leq 1 x≤1， 所以要对原解析式进行改造，把 x = 1 x=1 x=1 的情况拎出来，之后（条件中的 ≤ \leq ≤ 就可以变为 < \lt < 了）：
{
x
2
+
2
x
−
3
，
x
≤
1
−
x
2
+
2
x
+
3
，
x
>
1
\begin{cases}\\ x^2 + 2x - 3，x \leq 1\\ -x^2 + 2x + 3，x \gt 1 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x2+2x−3，x≤1−x2+2x+3，x>1 变为
{
x
2
+
2
x
−
3
，
x
<
1
x
2
+
2
x
−
3
，
x
=
1
−
x
2
+
2
x
+
3
，
x
>
1
\begin{cases}\\ x^2 + 2x - 3，x \lt 1\\ x^2 + 2x - 3，x = 1\\ -x^2 + 2x + 3，x \gt 1 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x2+2x−3，x<1x2+2x−3，x=1−x2+2x+3，x>1
步骤3，按照正常步骤，判断新解析式的奇偶性即可
4. 利用奇偶性求函数值
就是利用函数奇偶性各自的特点求值，注意的是，当奇函数
x
x
x 为零时，值就是
0
0
0，也就是
f
(
0
)
=
0
f(0) = 0
f(0)=0
(1) 偶函数求值，例：
f ( x ) f(x) f(x) 是定义在 R R R 上的偶函数，当 x ≤ 0 x \leq 0 x≤0 时， f ( x ) = x 2 − x + 4 f(x) = x^2 - x + 4 f(x)=x2−x+4，求 f ( 2 ) f(2) f(2) ?
因为题中给的是
x
≤
0
x \leq 0
x≤0 时的解析式，而
2
>
0
2 \gt 0
2>0，就相当于是一个
−
x
-x
−x，所以只要直接把
−
2
-2
−2 代入即可：
f
(
−
2
)
=
(
−
2
)
2
−
(
−
2
)
+
4
f(-2)=(-2)^2 - (-2) + 4
f(−2)=(−2)2−(−2)+4，化简后得：
4
+
2
+
4
=
10
4 + 2 + 4 = 10
4+2+4=10
(2) 奇函数求值，例：
f ( x ) f(x) f(x) 是定义在 R R R 上的奇函数，当 x < 0 x \lt 0 x<0 时， f ( x ) = x 2 − x + 4 f(x) = x^2 - x + 4 f(x)=x2−x+4，求 f ( 0 ) f(0) f(0) ?
奇函数时，
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f(0)=0，所以值就是
0
0
0
5. 利用奇偶性求解析式
与利用奇偶性求函数值一样，利用奇偶性求解析式也是通过函数奇偶性各自特点的去推导
(1) 偶函数，例：
已知 f ( x ) f(x) f(x) 为 R R R 上的偶函数，当 x < 0 x \lt 0 x<0 时， f ( x ) = − 2 x 2 + 3 x + 1 f(x)=-2x^2 + 3x + 1 f(x)=−2x2+3x+1，则当 x > 0 x \gt 0 x>0 时，求 f ( x ) f(x) f(x)？
解：
因为题目中给出 x < 0 x \lt 0 x<0 时的 f ( x ) f(x) f(x)，所以 x > 0 x \gt 0 x>0，就是 f ( − x ) f(-x) f(−x)
把 − x -x −x 代入： f ( − x ) = − 2 ∗ ( − x ) 2 + 3 ∗ ( − x ) + 1 = − 2 x 2 − 3 x + 1 f(-x)=-2*(-x)^2+3*(-x)+1=-2x^2-3x+1 f(−x)=−2∗(−x)2+3∗(−x)+1=−2x2−3x+1
因为题目要求 x > 0 x \gt 0 x>0 时的 f ( x ) f(x) f(x)，而我们现在得到的是 x > 0 x \gt 0 x>0 时的 f ( − x ) f(-x) f(−x)，所以我们需要进行转换，因为 f ( x ) f(x) f(x)是偶函数， f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(−x)，所以 f ( x ) = − 2 x 2 − 3 x + 1 f(x)=-2x^2-3x+1 f(x)=−2x2−3x+1
(2) 奇函数，例：
当 x < 0 x \lt 0 x<0 时， f ( x ) = − 2 x 2 + 3 x + 1 f(x)=-2x^2 + 3x + 1 f(x)=−2x2+3x+1，则当 x ≥ 0 x \geq 0 x≥0 时，求 f ( x ) f(x) f(x)？
解：
求 x ≥ 0 x \geq 0 x≥0 时 f ( x ) f(x) f(x) 的解析式，要分为两种情况
情况1：当 x = 0 x = 0 x=0 时， f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0
情况2：当 x > 0 x \gt 0 x>0 时，因为题目中给出 x < 0 x \lt 0 x<0 时的 f ( x ) f(x) f(x)，所以 x > 0 x \gt 0 x>0，就是 f ( − x ) f(-x) f(−x)
把 − x -x −x 代入： f ( − x ) = − 2 ∗ ( − x ) 2 + 3 ∗ ( − x ) + 1 = − 2 x 2 − 3 x + 1 f(-x)=-2*(-x)^2+3*(-x)+1=-2x^2-3x+1 f(−x)=−2∗(−x)2+3∗(−x)+1=−2x2−3x+1
因为题目要求 x > 0 x \gt 0 x>0 时的 f ( x ) f(x) f(x)，而我们现在得到的是 x > 0 x \gt 0 x>0 时的 f ( − x ) f(-x) f(−x)，所以我们需要进行转换，因为 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数， − f ( x ) = f ( − x ) -f(x)=f(-x) −f(x)=f(−x)，所以 f ( x ) = − [ − 2 x 2 − 3 x + 1 ] = 2 x 2 + 3 x − 1 f(x)=-[-2x^2-3x+1]=2x^2+3x-1 f(x)=−[−2x2−3x+1]=2x2+3x−1
6. 判断抽象函数的奇偶性
解题方式就是在题目已有的线索中，努力拼凑出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 和
f
(
−
x
)
f(-x)
f(−x)
(1) 已知 f ( x ) f(x) f(x)， x ∈ R x \in R x∈R，若对任意 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) f(x) + f(y)=f(x + y) f(x)+f(y)=f(x+y)，求 f ( x ) f(x) f(x) 的奇偶性。
解：
步骤1：令：
y
=
−
x
y = -x
y=−x
步骤2，将 y = − x y = -x y=−x 代入到 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) f(x) + f(y)=f(x + y) f(x)+f(y)=f(x+y) 中：
即：
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
f
(
x
−
x
)
f(x) + f(-x)=f(x - x)
f(x)+f(−x)=f(x−x) ，化简后
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
f
(
0
)
f(x) + f(-x)=f(0)
f(x)+f(−x)=f(0)，这样就凑出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 和
f
(
−
x
)
f(-x)
f(−x) 的关系式了，但是想知道具体的关系，还需要知道
f
(
0
)
f(0)
f(0) 的值
步骤3，令： x = 0 , y = 0 x = 0, y = 0 x=0,y=0，求出 f ( 0 ) f(0) f(0) 的值：
因为不知道函数的奇偶性，所以不能利用奇函数
f
(
0
)
=
0
f(0) = 0
f(0)=0 来确定
f
(
0
)
f(0)
f(0) 的值，所以要把 x 和 y 都当做 0 求出
f
(
0
)
f(0)
f(0) 的值，即：
f
(
0
)
+
f
(
0
)
=
f
(
0
)
f(0) + f(0) = f(0)
f(0)+f(0)=f(0)，移项后：
f
(
0
)
=
f
(
0
)
−
f
(
0
)
f(0)=f(0) - f(0)
f(0)=f(0)−f(0)，所以
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f(0)=0
步骤4，结论：
已知
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
0
f(x) + f(-x)=0
f(x)+f(−x)=0，即：
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x)=-f(x)
f(−x)=−f(x)，所以这是一个奇函数
(2) 已知 f ( x ) f(x) f(x)， x ∈ R x \in R x∈R，若对任意 f ( y + x ) + f ( y − x ) = 2 f ( x ) ∗ f ( y ) f(y + x) + f(y - x)=2f(x) * f(y) f(y+x)+f(y−x)=2f(x)∗f(y)，且 f ( 0 ) ≠ 0 f(0) \neq 0 f(0)=0，求 f ( x ) f(x) f(x) 的奇偶性。
解：
步骤1：令：
y
=
0
y = 0
y=0
步骤2，将 y = 0 y = 0 y=0 代入到 f ( y + x ) + f ( y − x ) = 2 f ( x ) ∗ f ( y ) f(y + x) + f(y - x)=2f(x) * f(y) f(y+x)+f(y−x)=2f(x)∗f(y) 中：
即： f ( x ) + f ( − x ) = 2 f ( x ) ∗ f ( 0 ) f(x) + f(-x)=2f(x) * f(0) f(x)+f(−x)=2f(x)∗f(0) ，这样就凑出 f ( x ) f(x) f(x) 和 f ( − x ) f(-x) f(−x) 的关系式了，但是想知道具体的关系，还需要知道 f ( 0 ) f(0) f(0) 的值
步骤3，令： x = 0 , y = 0 x = 0, y = 0 x=0,y=0，求出 f ( 0 ) f(0) f(0) 的值：
将
x
=
0
,
y
=
0
x = 0, y = 0
x=0,y=0 代入到题目中，即：
f
(
0
)
+
f
(
0
)
=
2
f
(
0
)
∗
f
(
0
)
f(0) + f(0) = 2f(0) * f(0)
f(0)+f(0)=2f(0)∗f(0)，整理后得：
2
f
(
0
)
=
2
(
f
0
)
2
2f(0)=2(f0)^2
2f(0)=2(f0)2，因为是等式，所以
f
(
0
)
=
(
f
0
)
2
f(0)=(f0)^2
f(0)=(f0)2，而题目中说
f
(
0
)
≠
0
f(0) \neq 0
f(0)=0，所以
f
(
0
)
=
1
f(0) = 1
f(0)=1
步骤4，结论：
已知
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
2
f
(
x
)
∗
1
f(x) + f(-x)=2f(x) * 1
f(x)+f(−x)=2f(x)∗1，即：
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
2
f
(
x
)
f(x) + f(-x) = 2f(x)
f(x)+f(−x)=2f(x)，移项后得：
f
(
−
x
)
=
2
f
(
x
)
−
f
(
x
)
f(-x) = 2f(x) - f(x)
f(−x)=2f(x)−f(x)，即
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x) = f(x)
f(−x)=f(x)，所以这是一个偶函数
7. 根据奇偶性求参数值
已知函数 f ( x ) = a + 2 x f(x) = a + 2x f(x)=a+2x 是奇函数，那 a = ? a=? a=?
解：
步骤1，分析定义域是否可以为 0 0 0：
通过解析式可以看出出定义域可以为
0
0
0
步骤2，因为定义域可以为 0 0 0，那么就利用常奇函数 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 的特点：
即：
f
(
0
)
=
0
f(0) = 0
f(0)=0，即：
0
=
a
+
2
x
0 = a + 2x
0=a+2x，所以
a
=
0
a = 0
a=0
已知函数 f ( x ) = ( x + 2 ) ( x + a ) x f(x) = \frac {(x+2)(x+a)} {x} f(x)=x(x+2)(x+a) 是奇函数，那 a = ? a=? a=?
解：
步骤1，分析定义域是否可以为 0 0 0：
通过解析式可以分析出定义域不能是
0
0
0
步骤2，因为定义域不能为 0 0 0，那么就将最简单的常数 1 1 1 和 − 1 -1 −1 代入到 f ( x ) f(x) f(x) 中：
f
(
1
)
=
(
1
+
2
)
(
1
+
a
)
1
=
3
+
3
a
f(1) = \frac {(1+2)(1+a)} {1}= 3+3a
f(1)=1(1+2)(1+a)=3+3a
f
(
−
1
)
=
(
−
1
+
2
)
(
−
1
+
a
)
−
1
=
1
−
a
f(-1) = \frac {(-1+2)(-1+a)} {-1}=1-a
f(−1)=−1(−1+2)(−1+a)=1−a
步骤3，利用奇函数中 − f ( x ) = f ( − x ) -f(x) = f(-x) −f(x)=f(−x) 的特点求出 a a a：
−
(
3
+
3
a
)
=
1
−
a
-(3+3a)=1-a
−(3+3a)=1−a 计算后，
a
=
−
2
a = -2
a=−2