一元柯西问题解法整理与试证明(傅里叶变换的应用)

标签：求解变换积分初始条件柯西傅里叶解法

关于柯西问题：

柯西问题是指偏微分方程仅有初始条件而无边界条件的定解问题，常用特征线法、分离变量法、格林函数法以及傅里叶变换求解，柯西问题即对于

$\begin{cases} U_{t}=a^{2}U_{xx}+f(x,t)\\U(x,0)=\phi (x) \end{cases}$

其中 $U_{t}=a^{2}U_{xx}+f(x,t)$ 为主函数， $U(x,0)=\phi (x)$ 为初始条件，求解U(x,t)

关于傅里叶变换：

公式：对于一维方程f(x)有 $F(f)\Rightarrow g(\lambda )=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx$ 或 $F^{-}(g)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}g(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda$
卷积：若 $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x-t)f_{2}(t)dt$ ，则称 $f(x)$ 为 $f_{1}$ ， $f_{2}$ 的卷积，表示为 $F(x)=f_{1}\cdot f_{2}$
性质： $F(f_{1}\cdot f_{2})=F(f_{1})\cdot F(f_{2})$ 卷积定理

$F(f^{'}(x))=i\lambda F(f(x))$ 微分关系定律

对于多元函数的傅里叶变换，以上定律均适用，但需考虑复杂性，即

对于 $f(x_{1},x_{2}...x_{n})$ 有

$F(w_{1},w_{2}...w_{n})=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}...\int_{-\infty}^{+\infty}f(x_{1},x_{2}...x_{n})e^{-i(w_{1}x_{1}...w_{n}x_{n})}dx_{1}dx_{2}...dx_{n}$

求解知识：

高斯积分： $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt[]{\pi }$ 求解过程中可以视为虚数里i的作用。
叠加原理：对于 $f(x)=f_{1}(t)\pm f_{2}(t)$ 有 $F(w)=F_{1}(w)\pm F_{2}(w)$ 因此在求解过程中可以当成一个又一个一元函数来做

问题求解：

可以先将 $F[u(x,t)]=\widetilde{u}(\lambda ,t)$

$F[\phi (x)]=\widetilde{\phi }(\lambda )$ 这样来表示

由叠加原理，我们分别对柯西问题主函数与初始条件分开求解

对主函数左右两边分别进行傅里叶变换（对x）

$U_{t}=\frac{dU(x,t)}{dt}\Rightarrow [\widetilde{u}(\lambda ,t)]_{t}=\frac{d\widetilde{u}}{dt}$ 左

$aU_{xx}\Rightarrow -\lambda ^{2}a^{2}\widetilde{u}$ 右

试推导（可能不严谨，有文献与此不同）： $F[\widetilde{u}(\lambda ,t)_{xx}]=(i\lambda )^{2}F(\widetilde{u})=-\lambda ^{2}F(\widetilde{u})$

对初始条件左右两边进行傅里叶变换（对x）

易得 $\widetilde{u}(\lambda ,0)=\widetilde{\phi }(\lambda )$

故而有 $\begin{cases} \frac{1}{\widetilde{u}}d\widetilde{u}=-\lambda ^{2}a^{2}dt\\\widetilde{u}(\lambda ,0)=\widetilde{\phi }(\lambda )\end{cases}$

先将方程组中第一个式子进行变形：

求导得 $ln\widetilde{u}=-\lambda ^{2}a^{2}dt\Rightarrow \widetilde{u}=Ce^{-\lambda ^{2}a^{2}t}$
代入 $\widetilde{u}(\lambda ,0)=\widetilde{\phi }(\lambda )$ 当 $t=0$ 时， $\widetilde{u}=C\cdot 1=\widetilde{\phi }(\lambda )$ 即 $\widetilde{\phi }(\lambda )=C$

故而有 $\widetilde{u}=\widetilde{\phi }(\lambda )e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}$

接下来通过此式求解 $u(x,t)$

对于 $\widetilde{u}=\widetilde{\phi }(\lambda )e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}$ ，将其分为两个式子: $\widetilde{\phi }(\lambda )$ 和 $e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}$

对于后面的 $e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}$ 进行逆傅里叶运算，即

$F^{-}(e^{-\lambda ^{2}a^{2}t})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}\cdot e^{i\lambda x}d\lambda$

注意，这儿只有一个积分，只有一个自变量，由于是对前文（关于傅里叶变换部分）中 $g(\lambda )$ 的逆傅里叶变换，所以除了自变量 $\lambda$ 其余全都是参量。

则 $F^{-}(e^{-\lambda ^{2}a^{2}t})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda ^{2}a^{2}t}\cdot e^{i\lambda x}d\lambda$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda ^{2}-\frac{i\lambda x}{a^{2}t})}d\lambda$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t})^{2}}\cdot e^{\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}} d\lambda$

$=\frac{1}{2\pi}e^{\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t})^{2}}d\lambda$

式中的 $e^{\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}}$ 相对积分变量为常数，故可提到积分外

接下来对中间部分进行处理： $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t})^{2}}d\lambda$

$=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t})^{2}}d(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t} )$

令 $\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t}=\lambda _{1}$

则 $=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t\lambda _{1}^{2}}d\lambda _{1}$ 通过高斯积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt[]{\pi }$ 进行计算

$=\frac{1}{a\sqrt[]{t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(a\sqrt[]{t}\lambda )^{2}}d(a\sqrt[]{t}\lambda )$

$=\frac{\sqrt{\pi }}{a\sqrt{t}}$

将此结果代入 $\frac{1}{2\pi}e^{\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a^{2}t(\lambda -\frac{ix}{2a^{2}t})^{2}}d\lambda$ 得

$F^{-}(e^{-\lambda ^{2}a^{2}t})=\frac{1}{2\pi}\frac{\sqrt{\pi }}{a\sqrt{t}}e^{-\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}}$

则 $u=\widetilde{\phi }(\lambda )\cdot\frac{1}{2\pi}\frac{\sqrt{\pi }}{a\sqrt{t}}e^{-\frac{x^{2}}{4a^{4}t^{2}}} =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\frac{1}{a\sqrt{t}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi (\xi )e^{\frac{-(x-\xi )^{2}}{4a^{4}t^{2}}}d\xi$

标签：求解,变换,积分,初始条件,柯西,傅里叶,解法
From： https://blog.csdn.net/hot_frost_bloom/article/details/141336962

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