这篇写的太早了,我自己也看不懂,现在找不到啥基础题适合放了。反正把构型掌握了就好。
Reim引理
如图,两圆交于 \(A,B\) 两点,若 \(CD,EF\) 是两圆的弦,满足 \(CAE,DBF\) 分别共线,则 \(CD//EF\)
逆定理:若 \(ABCD\) 共圆,\(E,F\) 分别在 \(CA,DB\) 的延长线上,并满足 \(EF//CD\) ,则 \(ABEF\) 也共圆
表述 \(2\) :若 \(ABCD,ABEF\) 分别共圆, \(EF//CD\) ,若 \(ACE\) 共线,则 \(BFD\) 共线
\(Reim\) 引理有多种构型
(圆内接四边形+平行=共圆)
如果觉得难记:我们可以把共圆的对边理解为逆平行,两次逆平行会变为正平行,一次正平行+一次逆平行=逆平行
例1
如图,\(AD\perp BC\) 于点 \(D\) , \(\triangle ABC\) 内切圆 \(I\) 切 \(BC\) 于点 \(F\) ,\(M\) 为 \(BC\) 中点,以 \(M\) 为圆心, \(ME\) 为半径画圆交圆 \(I\) 与 \(BC\) 于 \(N,F\) ,作 \(MG\perp AI\) 于点 \(G\) ,延长 \(FG,ND\) 交于点 \(K\) ,求证: \(D,E,K,G\) 共圆
注意到 \(IMEG\) 共圆,又 \(IM//PF\) ,即 \(AFEG\) 共圆 ( \(Reim\) 引理)
又 \(EP\) 为圆 \(I\) 的直径,可知 \(\angle ANE=\angle ANE=Rt\angle\) ,即 \(ANED\) 共圆
那么 \(\angle K=\pi-\angle DNF-\angle AFG=\angle AND-(\pi-\angle AEG)=\angle AED+\angle AEG-\pi =\angle FEG\)
即证
旋转相似
如图,有 \(\triangle BEF\sim\triangle BCD\sim\triangle BO_1O_2,\triangle BEC\sim \triangle BFD\)
当然有这个相似和其中一个共圆能推另一个共圆
这个构型与密克点也有关系
例1
如图 ,\(\triangle ABC\) 内接于圆 \(\Omega\) , \(T\) 是 \(\triangle ABC\) 内部任一点, 点 \(E,F\) 分别在 \(AB,AC\) 上,且满足 \(TB=TF,TC=TE\) , \(TPQ\) 是 \(\triangle AEF\) 外接圆的一条割线,证明: \(\triangle APQ\) 的垂心在 \(\Omega\) 上
过 \(A\) 做 \(PQ\) 垂线,与 \(\Omega\) 及 \(\odot(AEF)\) 交于点 \(K,K'\) 。题目即要求证 \(K\) 为垂心,而 \(K'\) 是垂心关于 \(PQ\) 的对称点,因此考虑记 \(V=AK\cap PQ\)
取出 \(BF,CE\) 中点 \(M,N\) ,实际上 \(AMTN\) 共圆,不难注意到三圆共轴,下面来证明这一点:
记 \(S=\Omega\cap\odot(AEF)\) ,根据经典模型,有 \(\triangle SBF(M)\sim\triangle SCE(N)\)
从而 \(\angle SMF=\angle SNE\) ,即 \(S\) 也在 \(\odot(AMN)\) 上
由于 \(\angle AST=Rt\angle=\angle AVT\) ,从而 \(AVSMTN\) 共圆
根据经典模型 \(\triangle SBF(M)\sim\triangle SCE(N)\sim\triangle SKK'(V)\)
即 \(KV=K'V\) ,则知 \(K\) 为垂心
例2
如图,\(\odot O_1,\odot O_2\) 交于点 \(X,Y\) ,弦 \(BD,AC\) 分别在 \(\odot O_2,\odot O_1\) 上并交于点 \(P\) ,满足 \(PA-PB,PC=PD\) ,记 \(O\) 为 \(O_1O_2\) 中点,求证: \(O\) 为 \(\triangle PXY\) 的外心
由经典模型可以得到一个引理:如图,若 \(P\) 为 \(ST\) 中点,则 \(OP=OX\)
证明是不困难的,只要注意到 \(\triangle YO_1O_2(O)\sim\triangle YST(P)\) ,则得到 \(\triangle YO_1S\sim\triangle YOP\sim\triangle YO_2T\)
回到原题,已知条件即 \(P\) 对于两圆的圆幂为相反数
根据中线定理知我们需要证明 \(2(O_1P^2+PS^2)=O_1S^2+O_1T^2,2(O_2P^2+PS^2)=O_2S^2+O_2T^2\)
两式相加得到 \(2(O_1P^2+O_2P^2)+ST^2=R_1^2+R_2^2+O_1T^2+O_2S^2\) 这个命题和 \(P\) 是中点是等价的
实际上 \(O_1R^2+O_2R^2,R\in ST\) 是一个二次函数,而 \(O_1P^2+O_2P^2=O_1X^2+O_2X^2\) (由上述引理结合中线定理即可得知),这意味着 \(P,X\) 是上述方程的唯二解,而 \(X\) 在两圆上的幂为 \(0\) ,舍
我们先证明 \(O_1T^2+O_2S^2=R_1^2+R_2^2+ST^2\)
由余弦定理, \(ST^2+O_1S^2-2O_1S\cdot ST \cdot cos\angle O_1ST =O_1T^2\)
\(ST^2+O_2T^2-2O_2T\cdot ST\cdot cos\angle O_2TS=O_2S^2\)
两式相加,我们只需证 $ST^2=2ST(O_1Scos\angle O_1ST+O_2Tcos\angle O_2TS) $ ,显然成立
又 \(P\) 对两圆圆幂为相反数 \(\iff O_1P^2+O_2P^2=R_1^2+R_2^2\) 两式相加即证
例3
给定 \(\triangle ABC\) ,求点 \(P\in BC\) 满足若 \((APB),(APC)\) 的两条外公切线与 \(AP\) 交点为 \(X,Y\) ,则 \((\frac{PA}{XY})^2+\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=1\)
这题很简单,唯一的难点是容易想复杂。我们看到
\(\large 1-(\frac{PA}{XY})^2=\frac{4XA\cdot XP}{XY}=(\frac{XM}{XL})^2\)
是定值。我们还看到 \(\triangle O_1O_2T\sim \triangle ZXL\) ,所以 \(\frac{XL}{2XM}=\frac{XL}{GT}=\frac{XZ}{O_1O_2}=\frac{O_1A+O_2A}{XZ}\) ,用到了梯形中位线
现在用旋转相似 \(\triangle AO_1O_2\sim \triangle ABC\) ,所以 \(\frac{XL}{XM}=\frac{AB+AC}{BC}\)
然后 \(\frac{PB\cdot PC}{AB\cdot AC}=(\frac{BC}{AB+AC})^2\) ,有一个点满足这个条件,就是角平分线与 \(BC\) 交点。当然它关于 \(BC\) 中点的对称点也满足条件。
圆幂分析
在多圆问题中巧妙利用圆幂分析也是相当重要的方法
例1
\(M\) 是 \(BC\) 中点,\(P,Q\) 是 \(BC\) 上两点,满足 \(PQ=\frac12BC\) ,\(X,Y\) 分别是 \(\triangle ABQ,\triangle ACP\) 外接圆与 \(AC,AB\) 的交点,求证: \(AXMY\) 共圆
取 \(Z\) 使得 \(CQ=QZ\) ,那么 \(CZ\cdot CM=CQ\cdot CB=CX\cdot CA\) ,即 \(AXZM\) 共圆,同理 \(AYZM\) 共圆,即证
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