一共有n+m个球 m个红球 n个蓝球 每次取出一个若为红球则放回若为蓝球则不放回，直到蓝球摸完求取出次数的期望。
看错题了，以为是都放回。猪脑子。
设\(f_i\)表示取出第i个蓝球的期望次数 显然 \(f_i\)=\(\frac{n-i+1}{n+m-i+1}+\frac{m}{n+m-i+1}(f_i+1)\)
化简可得 \(f_i=\frac{n+m-i+1}{n-i+1}=1+\frac{m}{n-i+1}\)
答案显然为 \(\sum_{i=1}^{n} f_i=n+m\sum_{i=1}^n\frac{1}{n-i+1}=n+m\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\)
答案右边求和是一个调和级数 有一个近似的约等公式\(f(n)=ln(n)+r+1.0/(2*n)\) 其中\(f(i)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n}\)
下面考虑红球不放回的题目。
设\(f_k\)表示摸出k个球后结束的概率.\(ans=\sum_{k=n}^{n+m} k\cdot f_k\)
考虑\(f_k\)的式子，最后一个球为蓝球之前有 n-1个蓝球和 k-n个红球 可以利用排列来模拟抽的情况。
\(f_k=\frac{C(k-1,n-1)}{C(n+m,n)}\)
带入 \(ans=\sum_{k=n}^{n+m} k\cdot \frac{C(k-1,n-1)}{C(n+m,n)}\)
考虑一个经典的组合式子\(k\cdot C(k-1,n-1)=n\cdot C(k,n)\)
原式为\(ans=\sum_{k=n}^{n+m} n\cdot \frac{C(k,n)}{C(n+m,n)}\)
其实是考虑\(\sum_{k=n}^{n+m} C(k,n)\)的求和
利用杨辉三角可以轻松求出上式为\(C(n+m+1,n+1)\)
综上 \(ans=\frac{n(n+m+1)}{n+1}\)
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