前言
记录遇到的通信中的数学优化方法。本文所介绍的是分式规划（Fractional Programming，FP）在以和速率最大化为目标的波束赋形问题求解中的应用。其关键思想有二：
- 利用 Lagrange 对偶将 SINR 项提取至 log 函数外面；
- FP 中的 二次变换（Quadratic Transform）。
FP 在通信中的应用有很多，如功率控制、波束赋形以及蜂窝小区间的用户调度等，且包含多种 FP 技术。但目前只接触到了其中的二次变换方法，后面将继续学习并记录。下面两篇论文总结了通信中的 FP 技术：
一、背景介绍
该文章考虑下行链路可重构全息表面（Reconfigurable Holographic Surface，RHS）辅助的多用户通信系统，提出基于 RHS 的混合波束赋形方案。在基带完成数字波束赋形（Digital Beamforming），在 RHS 上进行全息波束赋形（Holographic Beamforming），用户端进行接收合并（Combining）。对于波束赋形的设计，该文章建立以和速率最大化为目标的优化模型，并将该问题拆分为三个子问题：
-
数字波束赋形：ZF 预编码 + 注水功率分配。
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全息波束赋形：分式规划。通过线性近似将非凸问题转化为凸优化问题，再利用 Language 乘子法迭代求解。
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模拟接收合并：坐标上升法。
最后通过三个子问题的交替迭代求解，直至问题收敛，得到次优解。
本文仅记录第 2 个子问题的 FP 方法。
二、FP 之二次变换理论
给定一个约束集 \(\mathcal{X}\) 以及函数 \(A(\mathbf{x})和B(\mathbf{x}):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}_+\)，有优化问题
\[\begin{array}{ll} \underset{\mathbf{x}}{\operatorname{maximize}} & \frac{A(\mathbf{x})}{B(\mathbf{x})} \\ \text { subject to } & \mathbf{x} \in \mathcal{X} \end{array} \]那么该问题就等效于
\[\begin{array}{ll} \underset{\mathbf{x}, y}{\operatorname{maximize}} \quad 2 y \sqrt{A(\mathbf{x})}-y^{2} B(\mathbf{x}) \\ \text { subject to }\quad \mathrm{x} \in \mathcal{X} \end{array} \]其中，\(y=\frac{\sqrt{A(\mathbf{x})}}{B(\mathbf{x})}\)。
三、原目标优化模型
原和速率最大化问题：
\[\begin{aligned} \max _{\left\{\mathbf{W}, \mathbf{V}, \mathrm{M}_{m, n}\right\}} & \sum_{l=1}^{L} R_{l} \\ \text { s.t. } &\left|\mathbf{W}_{l}(j)\right|^{2}=1, \\ & \operatorname{Tr}\left(\mathbf{M V} \mathbf{V}^{H} \mathbf{M}^{H}\right) \leq P_{T}, \\ & 0 \leq \mathbf{M}_{m, n} \leq 1, \forall m, n, \end{aligned} \]其中，\(P_T\) 是基站的总功率约束，\(R_l\) 是用户 \(l\) 的速率，共 \(L\) 个用户。\(\mathbf{V}\) 是数字预编码矩阵，\(M_{m,n}\) 是全息波束赋形矩阵中的元素，用于控制全息图案的振幅，\(\mathbf{W}\) 是模拟接收合并矩阵，因此有恒模约束 \(\left|\mathbf{W}_{l}(j)\right|^{2}=1\)。用户 \(l\) 速率的具体表达式为：
\[R_{l}=\log _{2}\left(1+\frac{\left|\mathbf{W}_{l}^{H} \mathbf{H}_{l} \mathbf{M V}_{l}\right|^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\mathbf{W}_{l}^{H} \mathbf{H}_{l} \mathbf{M} \mathbf{V}_{l^{\prime}}\right|^{2}}\right) \]对于原文中的问题拆解，当给定数字预编码矩阵 \(\mathbf{V}\) 和模拟接收合并矩阵 \(\mathbf{W}\) 时，该子问题可以表示如下：
\[\max _{\left\{\mathrm{M}_{m, n}\right\}} \sum_{l=1}^{L} R_{l}, \quad \text { s.t. } \quad 0 \leq \mathrm{M}_{m, n} \leq 1, \forall m, n \]该问题为非凸问题。
四、问题转化
4.1 线性近似
为了将待优化变量 \(\{M_{m,n}\}\) 单独分离出来，将该子问题中的矩阵用线性求和的方式表示
\[\begin{array}{ll} \max_\limits{\left\{\mathrm{M}_{m, n}\right\}} & \sum_{l=1}^{L} \log _{2}\left(1+\frac{\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l}\right|^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}}\right) \\ \text { s.t. } & 0 \leq \mathrm{M}_{m, n} \leq 1, \forall m, n, \end{array} \]其中，项 \(\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l}\right|\) 可以线性近似为 \(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\) ，这里的目的是为了去掉绝对值以便于后面的分式规划转换。具体推导请参照文章《Reconfigurable Holographic Surface Enabled Multi-User Wireless Communications: Amplitude-Controlled Holographic Beamforming》中的 Appendix B，此处不再赘述。线性近似后表达式为
\[\begin{array}{ll} \max_\limits{\left\{\mathrm{M}_{m, n}\right\}} & \sum_{l=1}^{L} \log _{2}\left(1+\frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right)^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}}\right) \\ \text { s.t. } & 0 \leq \mathrm{M}_{m, n} \leq 1, \forall m, n, \end{array}\quad(1) \]4.2 FP 应用
先给出最终转化后的凸优化问题
\[\begin{aligned} \max _{\left\{\mathrm{M}_{m, n}, \gamma_{l}, \delta_{l}\right\}}& \sum_{l=1}^{L} A_{l}\\ \text { s.t. } & 0 \leq \mathrm{M}_{m, n} \leq 1, \forall m, n \end{aligned}\quad(2) \]其中，\(\gamma_l\) 和 \(\delta_l\) 是引入的两个辅助变量，\(A_l\) 的具体表达式为
\[\begin{array}{ll} A_{l}\left(\mathrm{M}_{m, n}, \gamma_l, \delta_l\right)=\frac{1}{\log 2}\left[\log \left(1+\gamma_{l}\right)-\gamma_{l}+2 \delta_{l} \sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right. \\ \left.\sqrt{1+\gamma_{l}}-\delta_{l}^{2}\left(J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime}=1}^{L}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}\right)\right] \end{array} \]其具体的转化步骤如下：
对于每个用户的 \(R_l\) ，其等价于
\[\begin{aligned} R_l(\mathrm{M}_{m,n},\gamma_l)=\max_\limits{\left\{\gamma_l\right\}}\quad & \frac{1}{\log 2}\log\left(1+\gamma_l\right) \\ \text { s.t. } \quad&\gamma_l=\frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right)^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}} \end{aligned}\quad(3) \]这一步是为了将 SINR 项从 log 函数中拆解出来。然后通过引入 Lagrange 乘子 \(\lambda_l\) ，可以写出该问题的 Lagrange 对偶问题，即
\[L_(\gamma_l,\lambda_l)=\frac{1}{\log 2}\log \left(1+\gamma_l\right)-\lambda_l\left(\gamma_l-\frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right)^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}}\right)\quad(4) \]对于该对偶问题，在最优解处 \(\partial L/\partial \gamma_l=0\) ，可以得到
\[\lambda_l=\frac{1}{\log 2}·\frac{1}{1+\gamma_l} \]将 \((3)\) 中的约束代入上式，得到该 Lagrange 函数关于 \(\boldsymbol{\lambda}\) 的最优解
\[\begin{aligned} \lambda_l^*=&\frac{1}{\log 2}·\frac{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}+\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right)^{2}}\\ =&\frac{1}{\log 2}·\frac{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime}=1}^L\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}} \end{aligned} \]将 \(\lambda^*\) 代入式 \((4)\) ，即可得到包含分式规划标准形式的 \(R_l(\mathrm{M}_{m,n},\gamma_l)\) ，即
\[\begin{aligned} R_{l}\left(\mathrm{M}_{m, n}, \gamma_{l}\right)&=\max _{\left\{\gamma_{l}\right\}} \frac{1}{\log 2}\left[\log \left(1+\gamma_{l}\right)-\gamma_{l}\right] \\ &+\frac{1}{\log 2} \cdot \frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l} \cdot \sqrt{1+\gamma_{l}}\right)^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime}=1}^{L} \mid \sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l,\left.l^{\prime}\right|^{2}}} \end{aligned} \]接着利用第二节中的 FP 二次转化理论，很容易即可将 \(R_{l}\left(\mathrm{M}_{m, n}, \gamma_{l}\right)\) 转化为 \(A_{l}\left(\mathrm{M}_{m, n}, \gamma_l, \delta_l\right)\) 。因此，原非凸的子优化问题 \((1)\) 也就转化为 凸优化问题 \((2)\) 。
利用 Lagrange 乘数法对该凸优化问题进行迭代求解：
由于问题 \((2)\) 存在多个辅助变量，因此可以通过分别令 \(\partial A_{l} / \partial\gamma_{l}=0\) 和 \(\partial A_{l} /\partial \delta_{l}=0\) 求得对应 Lagrange 函数关于 \(\gamma_l\) 和 \(\delta_l\) 的最优解 \(\gamma_l^*\) 和 \(\delta_l^*\) ，即
\[\gamma_{l}^{*}=\frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right)^{2}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime} \neq l}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}} \]和
\[\delta_{l}^{*}=\frac{\left(\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} c_{m, n}^{l}\right) \sqrt{1+\gamma_{l}}}{J \sigma^{2}+\sum_{l^{\prime}=1}^{L}\left|\sum_{m, n} \mathrm{M}_{m, n} b_{m, n}^{l, l^{\prime}}\right|^{2}} \]接着引入松弛变量 \(\lambda_{m,n}\) 将问题 \((2)\) 的不等式约束条件转化为等式约束条件并加入目标函数，得到新的 Lagrange 函数
\[L(\mathrm{M}_{m,n},\boldsymbol{\lambda})=\sum_{l=1}^{L} A_{l}-\sum_{m, n} \lambda_{m, n}\left(\mathrm{M}_{m, n}^{2}-\mathrm{M}_{m, n}\right) \]最后令 \(\partial L / \partial \mathrm{M}_{m, n}=0\) 即可得到 \(\{\mathrm{M}_{m,n}^*\}\) 。此外，由于函数 \(L(\mathrm{M}_{m,n},\boldsymbol{\lambda})\) 对 \(\lambda_{m,n}\) 求导无法求解，因此 \(\lambda_{m,n}\) 的更新可以利用次梯度法。对问题 \((2)\) 的求解是一系列交替迭代过程，具体如下：
参考文章
- Deng R, Di B, Zhang H, et al. Reconfigurable Holographic Surface Enabled Multi-User Wireless Communications: Amplitude-Controlled Holographic Beamforming[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2022.
- Shen K, Yu W. Load and interference aware joint cell association and user scheduling in uplink cellular networks[C]//2016 IEEE 17th International Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications (SPAWC). IEEE, 2016: 1-5.