文章目录
- 有限域上的椭圆曲线
- 参考文献
有限域上的椭圆曲线
Weierstrass方程的来源
Weierstrass方程，特别是与椭圆曲线相关的Weierstrass一般方程，其来源可以追溯到椭圆曲线理论的发展过程。以下是对Weierstrass方程来源的详细阐述：
一、椭圆曲线理论背景
椭圆曲线是数学中一个重要的研究对象，特别是在数论、代数几何以及现代密码学中有着广泛的应用。椭圆曲线理论的研究始于对特定类型平面代数曲线的探讨，这些曲线满足特定的三次方程。
二、Weierstrass一般方程的提出
在椭圆曲线的研究过程中，为了更统一和方便地描述椭圆曲线，数学家们引入了Weierstrass一般方程。这个方程最初是由美国数学家Tate在研究椭圆曲线时采用的，它提供了一种标准化的形式来表示椭圆曲线。
Weierstrass一般方程的具体形式如下：
- 当特征char K > 3时，方程为：y² = x³ + ax + b，其中a, b ∈ K，且判别式Δ(E) = -16(4a³ + 27b²) ≠ 0。这个方程也被称为Weierstrass典型方程，是椭圆曲线中研究最广泛的一种形式。
三、Weierstrass方程的重要性
Weierstrass方程的重要性在于它为椭圆曲线提供了一个简洁而有力的数学表示。通过这个方程，数学家们可以更方便地研究椭圆曲线的性质，如点的加法运算、有理点的分布等。此外，Weierstrass方程还与椭圆曲线的模形式、L函数等高级数学对象有着紧密的联系，这些联系在数论和代数几何中发挥着重要作用。
四、Weierstrass函数与Weierstrass方程的区别
值得注意的是，虽然Weierstrass函数和Weierstrass方程都带有“Weierstrass”这个名称，但它们在数学中属于不同的领域和对象。Weierstrass函数是一类特殊的数学函数，以其处处连续但处处不可导的性质而著称；而Weierstrass方程则是描述椭圆曲线的一种数学方程。两者在数学上有着本质的区别。
综上所述，Weierstrass方程的来源可以追溯到椭圆曲线理论的发展过程，特别是为了更统一和方便地描述椭圆曲线而引入的一种标准化方程形式。
标准椭圆方程、椭圆曲线和Weierstrass方程的联系与区别
1. 标准椭圆方程的定义
椭圆方程是描述椭圆这一平面图形的数学表达式。
- 在复平面中，椭圆是平面上到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。椭圆方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
标准方程：
- 焦点在x轴上的椭圆方程为： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1（其中(a > b > 0)）
- 焦点在y轴上的椭圆方程为： y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 a2y2+b2x2=1（其中(a > b > 0)）
一般方程：椭圆的一般方程可以表示为 A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，但需要通过变换转化为标准方程以便更容易地研究其性质。
- 在代数几何中，“椭圆曲线”通常指的是一个更广义的对象，不是指这种二次方程。
2. 椭圆曲线的定义
在代数几何中，椭圆曲线通常是指满足以下形式方程的曲线：
y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中，(a) 和 (b) 是常数，并且必须满足判别式不为零的条件：
Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) ≠ 0 \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 Δ=−16(4a3+27b2)=0
此条件保证了曲线是非奇异的，即没有自交点或尖点。这个方程形式的椭圆曲线定义被广泛应用于数论和密码学中。
3. Weierstrass方程的定义
Weierstrass方程是一种更一般形式的椭圆曲线方程，可以表示为：
y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
其中， a 1 a_1 a1、 a 2 a_2 a2、 a 3 a_3 a3、 a 4 a_4 a4和 a 6 a_6 a6是常数。Weierstrass方程是标准椭圆方程的一种推广形式。
当所有非零项的系数都为零时，Weierstrass方程退化为标准椭圆方程。4. 联系
描述同一类曲线：标准椭圆方程和Weierstrass方程都描述了椭圆曲线，虽然它们的具体形式不同，但本质上它们都指代同一个几何对象——椭圆曲线。
特殊形式与一般形式：标准椭圆方程是Weierstrass方程的特殊形式。在某些系数为零时，Weierstrass方程可以简化为标准椭圆方程。具体来说，当
a 1 = 0 a_1 = 0 a1=0、 a 3 = 0 a_3 = 0 a3=0、 a 2 = 0 a_2 = 0 a2=0、 a 4 = a a_4 = a a4=a、 a 6 = b a_6 = b a6=b
时，Weierstrass方程变为标准形式。研究对象相同：它们都用于研究椭圆曲线的几何和代数性质，尤其在代数几何、数论和椭圆曲线密码学中有广泛应用。
虽然椭圆方程和Weierstrass方程在表面上看似不同，但它们都与椭圆曲线这一数学对象有着紧密的联系。椭圆方程直接描述了椭圆曲线的几何形状，而Weierstrass方程则可能用于研究椭圆曲线的参数化、椭圆函数的性质或椭圆积分的反函数等更深层次的问题。
区别：
应用：椭圆方程在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛应用，如光学中的透镜设计、力学中的轨道计算等。而Weierstrass方程则更多地应用于数学理论研究中，如代数几何、数论和复分析等领域。
综上所述，椭圆方程和Weierstrass方程在数学中各自扮演着不同的角色，但它们都与椭圆曲线这一数学对象有着紧密的联系。在研究和应用过程中，需要根据具体问题和需求选择合适的方程形式。
5. 区别
形式不同：标准椭圆方程更为简单，只涉及 (x) 和 (y) 的较低次幂，而Weierstrass方程更一般化，包含更多的项和系数。
应用场景：标准椭圆方程通常用于简单的椭圆曲线定义和基本应用，而Weierstrass方程则更适合描述更复杂的情况，如在代数几何中研究椭圆曲线的同态、模形式、商曲线等。
复杂度与灵活性：Weierstrass方程更为灵活，可以表示更广泛的曲线形态，包括不同的变换和同构下的形式。而标准椭圆方程则较为有限，主要用于特定的标准形态。
椭圆方程通常用于描述二维平面上的椭圆图形，其方程形式较为直观和简单。而Weierstrass方程则更多地出现在复变函数和椭圆函数理论中，其形式可能更加复杂和抽象。
总结
联系：标准椭圆方程和Weierstrass方程都描述了椭圆曲线，在代数几何和数论中有着广泛应用。Weierstrass方程是更一般的形式，可以退化为标准椭圆方程。
区别：标准椭圆方程形式简单，适用于基础研究和应用；而Weierstrass方程更加复杂，适合用于更高阶的研究和更复杂的代数几何分析。
这两种方程的选择取决于具体的研究目标和应用场景。
Weierstrass方程的定义域
通常是一个域（field），这个域可以是不同类型的数域，例如实数域、复数域、有理数域，或者更广泛的有限域（如有限域 F p \mathbb{F}_p Fp）。
具体来说：
1. 实数域 R \mathbb{R} R
在实数域上，Weierstrass方程描述的椭圆曲线的点坐标都是实数。这种情况下，椭圆曲线通常被表示在实平面
R 2 \mathbb{R}^2 R2中。2. 复数域 C \mathbb{C} C
在复数域上，Weierstrass方程描述的椭圆曲线的点坐标是复数。这种情况下，曲线在复平面 (\mathbb{C}^2)
中表示。复数域上的椭圆曲线具有丰富的几何结构，是代数几何的重要研究对象。3. 有理数域 Q \mathbb{Q} Q
在有理数域上，Weierstrass方程的系数和解都是有理数。此时，研究的重点通常是寻找椭圆曲线上的有理点，这是数论中的一个核心问题。
4. 有限域 F p \mathbb{F}_p Fp
在有限域上，Weierstrass方程的系数和点的坐标都在有限域中。这在椭圆曲线密码学中非常重要，因为有限域上的椭圆曲线被广泛应用于加密算法中。
5. 其他数域
此外，Weierstrass方程还可以定义在更广泛的代数结构上，例如p进数域 Q p \mathbb{Q}_p Qp、代数闭包
Q ‾ \overline{\mathbb{Q}} Q以及各种函数域。总结
Weierstrass方程的定义域取决于研究背景和应用需求。它可以定义在任何适合的域上，从实数、复数到有限域和其他代数结构。不同的定义域会影响椭圆曲线的性质和应用场景。
有限域
有限域（Finite Field），也称为伽罗瓦域（Galois Field，简称
GF），是一个包含有限个元素的域。在有限域中，所有的算术运算（加法、减法、乘法和除法）都满足域的基本性质，同时结果也在这个有限集合内。有限域的基本性质
域的定义：
- 域是一个非空集合，其中定义了两个运算（通常是加法和乘法），并且满足如下性质：
- 交换律： a + b = b + a a + b = b + a a+b=b+a 和 a ⋅ b = b ⋅ a a \cdot b = b \cdot a a⋅b=b⋅a
- 结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a + b) + c = a + (b + c) (a+b)+c=a+(b+c) 和 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
- 分配律： a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
- 存在加法单位元和乘法单位元：存在元素 0 0 0 使得 a + 0 = a a + 0 = a a+0=a，存在元素 1 1 1使得 a ⋅ 1 = a a \cdot 1 = a a⋅1=a
- 存在加法和乘法逆元：对于每个元素 a a a，存在元素 − a -a −a使得 a + ( − a ) = 0 a + (-a) = 0 a+(−a)=0；对于每个非零元素 a a a，存在元素 a − 1 a^{-1} a−1使得 a ⋅ a − 1 = 1 a \cdot a^{-1} = 1 a⋅a−1=1
有限性：
- 有限域的元素数量是有限的，且这个数量通常记为 (q)，即域的大小为 (q)。
- 由于运算结果仍在这个有限集合内，所有算术运算在有限域中必须进行模运算。
阶：
- 有限域的阶 q q q是某个素数 p p p 的幂次，即 q = p n q = p^n q=pn，其中 p p p是素数， n n n是正整数。
- 当 n = 1 n = 1 n=1时，有限域成为素域，记作 G F ( p ) GF(p) GF(p)。
- 当 n > 1 n > 1 n>1时，有限域记作 G F ( p n ) GF(p^n) GF(pn)，这是扩域。
常见的有限域
素域 G F ( p ) GF(p) GF(p)：
- 当 n = 1 n = 1 n=1时，有限域 G F ( p ) GF(p) GF(p)的元素就是整数集 { 0 , 1 , 2 , … , p − 1 } \{0, 1, 2, \dots, p-1\} {0,1,2,…,p−1}，并且加法和乘法在素数 p p p 下进行模 p p p 运算。
- 例如， G F ( 5 ) GF(5) GF(5) 表示的是元素集 { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } \{0, 1, 2, 3, 4\} {0,1,2,3,4}，运算规则遵循模 5 5 5 运算。
扩域 G F ( p n ) GF(p^n) GF(pn)：
- 当 n > 1 n > 1 n>1 时，有限域 G F ( p n ) GF(p^n) GF(pn) 可以表示为多项式环中的剩余类。
- 例如， G F ( 2 3 ) GF(2^3) GF(23)表示的有限域有 8 个元素，常用作二元多项式模某个不可约多项式进行运算。
有限域的应用
编码理论：
- 在编码理论中，有限域用于构造误差校正码，如Reed-Solomon码和BCH码，这些码广泛应用于数据传输和存储中。
密码学：
- 有限域广泛应用于公钥密码学，例如椭圆曲线密码学（ECC）和有限域上的离散对数问题。
组合数学：
- 有限域在组合设计、有限几何和其它离散数学领域中起着重要作用。
代数几何：
- 在代数几何中，有限域常用于研究定义在有限域上的代数曲线，比如在椭圆曲线密码学中。
总结
有限域是数学中重要的代数结构，它在有限集合中定义了完整的算术运算体系。有限域不仅是纯数学的研究对象，还在密码学、编码理论和计算机科学等领域有着广泛的应用。
仿射平面曲线
-
设
p
为一素数，
n
为正整数，
q
=
p
n
，
而
F
q
是
q
个元素的有限域，其代数闭包为
F
ˉ
q
,
F
ˉ
q
上的
W
e
i
e
r
s
t
r
a
s
s
方程如下：
设p为一素数，n为正整数，q=p^n，\\而\Bbb{F_q}是q个元素的有限域，其代数闭包为\Bbb {\bar F_q}, \\\Bbb {\bar F_q}上的Weierstrass方程如下：
设p为一素数，n为正整数，q=pn，而Fq是q个元素的有限域，其代数闭包为Fˉq,Fˉq上的Weierstrass方程如下：
y 2 + a 1 x y + a 3 x y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 , a i ∈ F q 决定仿射平面 A 2 ( F ˉ q ) 上的一条曲线，加上无穷远点， 得到射影平面 P 2 ( F q ˉ ) 上的一条曲线 E ， 若曲线非奇异，则 E 称为一条椭圆曲线。 y^2+a_1xy+a_3xy=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6,a_i \in F_q \\决定仿射平面\Bbb A^2(\bar F_q)上的一条曲线，加上无穷远点， \\得到射影平面\Bbb P^2(\bar{\Bbb{F_q}})上的一条曲线E， \\若曲线非奇异，则E称为一条椭圆曲线。 y2+a1xy+a3xy=x3+a2x2+a4x+a6,ai∈Fq决定仿射平面A2(Fˉq)上的一条曲线，加上无穷远点，得到射影平面P2(Fqˉ)上的一条曲线E，若曲线非奇异，则E称为一条椭圆曲线。
在代数几何中，仿射平面曲线的Weierstrass方程是一种特殊形式的方程，主要用于描述特定类型的代数曲线，尤其是椭圆曲线。仿射平面曲线通常是在二维仿射空间（即 A 2 \mathbb{A}^2 A2）中的曲线，而Weierstrass方程则提供了描述这些曲线的一种简洁形式。
仿射平面曲线的Weierstrass方程
在仿射坐标系下，仿射平面曲线的Weierstrass方程通常表示为：
y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中， x x x和 y y y是平面上的仿射坐标， a a a 和 b b b是定义在某个域上的常数。
特点和解释
简化形式：
- 这是Weierstrass方程的标准简化形式，没有包含 x 2 x^2 x2 项。
- 它描述了一类非常重要的代数曲线，即椭圆曲线。
域的选择：
- 常数 a a a和 b b b可以是定义在任意域上的元素，常见的域包括有理数域 Q \mathbb{Q} Q、实数域 R \mathbb{R} R、复数域 C \mathbb{C} C 和有限域 F q \mathbb{F}_q Fq等。
光滑性条件：
- 为了保证曲线是光滑的（没有奇点），需要满足判别式 Δ ≠ 0 \Delta \neq 0 Δ=0，即
Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) ≠ 0 \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 Δ=−16(4a3+27b2)=0- 如果 Δ = 0 \Delta = 0 Δ=0，曲线会有奇点，从而不再是一个椭圆曲线。
应用
椭圆曲线：
- 这种形式的Weierstrass方程通常用来描述椭圆曲线，这是一种光滑、非奇异的代数曲线，具有丰富的数学结构和应用，尤其是在数论和密码学中。
代数几何：
- 在代数几何中，仿射平面曲线的Weierstrass方程用于研究曲线的几何性质，例如它的交点、奇点、以及它在代数簇中的嵌入。
仿射与射影
值得注意的是，Weierstrass方程可以在仿射平面上描述椭圆曲线的局部性质，但在研究整体性质时，通常将曲线嵌入到射影平面中。射影平面的Weierstrass方程是仿射平面形式的推广，可以描述无穷远处的行为。
总结
仿射平面曲线的Weierstrass方程是一种简洁而强大的工具，用于描述二维仿射空间中的椭圆曲线。这种方程形式不仅在数学研究中具有重要地位，也在密码学等实际应用中扮演着关键角色。
Weierstrass方程概述
Weierstrass方程（通常称为Weierstrass椭圆曲线方程）是代数几何和数论中的一个重要概念，它描述了一类特殊的平面曲线。在复数域上，Weierstrass方程的一般形式为：
y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 y2=4x3−g2x−g3
其中， g 2 g_2 g2 和 g 3 g_3 g3 是复数域中的常数，且满足一定的判别式条件以确保曲线是非奇异的（即没有自交点或尖点）。然而，在更一般的上下文中，Weierstrass方程也可以表示为：
y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中， a a a 和 b b b 是任意复数（或更具体地，某个代数数域中的元素），并且同样需要满足一定的判别式条件来确保曲线的非奇异性。
定义
Weierstrass方程（更常见的是Weierstrass椭圆曲线方程）的定义是一个特定的二次方程，它描述了平面上的一个曲线族。这些曲线在代数几何和数论中非常重要，因为它们具有许多独特的性质和结构。
在复数域上，Weierstrass椭圆曲线方程的一般形式可以表示为：
y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 y2=4x3−g2x−g3
或者更常见地，通过适当的线性变换（即平移和缩放x轴和y轴），可以将其转化为更标准的形式：
y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中， a a a 和 b b b 是复数（或更一般地，某个代数数域中的元素），并且需要满足一定的条件（即判别式 Δ ≠ 0 \Delta \neq 0 Δ=0）以确保曲线是非奇异的（即没有自交点、尖点或垂直切线）。
非奇异性的条件是通过判别式 Δ \Delta Δ 来保证的，对于形式 y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
的Weierstrass方程，判别式定义为：Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) Δ=−16(4a3+27b2)
如果 Δ ≠ 0 \Delta \neq 0 Δ=0，则曲线是非奇异的。
此外，Weierstrass椭圆曲线还具有以下重要性质：
群结构：非奇异的Weierstrass椭圆曲线上的点（包括一个称为无穷远点的特殊点）可以构成一个阿贝尔群。这个群结构是通过所谓的“弦切法”或“椭圆曲线加法”来定义的，它允许我们在曲线上的点之间进行加法和逆元运算。
模形式：Weierstrass方程与模形式有深刻的联系，特别是在研究椭圆曲线的同余和分类时。模形式是一种在复平面上具有特定变换性质的复函数，它们与椭圆曲线的算术性质密切相关。
密码学应用：由于椭圆曲线上的点构成的群结构具有高效的运算和高的安全性，Weierstrass椭圆曲线在密码学中有重要应用，如椭圆曲线密码学（ECC）。ECC是一种公钥加密技术，它使用椭圆曲线上的点来执行密钥交换和数字签名等操作。
综上所述，Weierstrass方程（特别是Weierstrass椭圆曲线方程）是描述一类具有特殊性质和结构的平面曲线的数学方程。
判别式
对于形式 y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b 的Weierstrass方程，其判别式 Δ \Delta Δ 定义为：
Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) Δ=−16(4a3+27b2)
如果 Δ ≠ 0 \Delta \neq 0 Δ=0，则曲线是非奇异的。
性质
Weierstrass椭圆曲线具有许多有趣的性质，包括但不限于：
群结构：非奇异的Weierstrass椭圆曲线上的点（包括无穷远点）可以构成一个阿贝尔群，其运算称为“弦切法”或“椭圆曲线加法”。
模形式：Weierstrass方程与模形式有深刻的联系，特别是在研究椭圆曲线的同余和分类时。
密码学应用：由于椭圆曲线上的点构成的群结构，Weierstrass椭圆曲线在密码学中有重要应用，如椭圆曲线密码学（ECC）。
代数几何：Weierstrass方程是代数几何中研究曲线和曲面性质的重要工具。
示例
考虑一个简单的Weierstrass方程：
y 2 = x 3 − x y^2 = x^3 - x y2=x3−x
这里， a = − 1 a = -1 a=−1， b = 0 b = 0 b=0，判别式 Δ = − 16 ( ( − 4 ) + 0 ) = 64 ≠ 0 \Delta = -16((-4) + 0) = 64 \neq 0 Δ=−16((−4)+0)=64=0，因此该曲线是非奇异的。
结论
Weierstrass方程是数学中一个非常强大且多用途的工具，它在代数几何、数论、密码学等多个领域都有广泛的应用。
Weierstrass方程的定义
Weierstrass方程是代数几何中描述椭圆曲线的一种标准形式。椭圆曲线在数学上是一个光滑的、非奇异的代数曲线，具有丰富的结构和应用，比如在数论、密码学等领域。
Weierstrass方程的定义
Weierstrass方程描述了一个椭圆曲线的定义方程，通常形式如下：
y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b
其中，(a$ 和 b b b 是定义在某个域上的常数，通常是有理数、实数、复数，或是有限域中的元素。
方程形式的解释
方程的左侧：$y^2 $ 表示的是 y y y 的平方。
方程的右侧：右侧是一个三次多项式，形式为 x 3 + a x + b x^3 + ax + b x3+ax+b。注意这里没有 x 2 x^2 x2 项，这是Weierstrass形式的一大特征。
椭圆曲线的判别式
为了确保这个方程描述的是一个椭圆曲线（即光滑的曲线），常数 a a a 和 b b b 需要满足一个条件，即判别式 Δ \Delta Δ 不等于零：
Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) ≠ 0 \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 Δ=−16(4a3+27b2)=0
如果 Δ = 0 \Delta = 0 Δ=0，曲线会有奇点，因此不再是一个椭圆曲线。
Weierstrass方程的应用
椭圆曲线的结构：Weierstrass方程使得我们能够明确描述椭圆曲线的几何结构，进而研究其拓扑性质和代数性质。
数论：在数论中，Weierstrass方程用于研究有理数点的性质，尤其是在有限域上，椭圆曲线的重要性尤为显著。
密码学：在现代密码学中，椭圆曲线密码学（ECC）广泛应用于数据加密，而这些椭圆曲线通常也通过Weierstrass方程进行描述。
广义Weierstrass方程
在某些情况下，Weierstrass方程也可以写成更一般的形式：
y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 6 a_1, a_2, a_3, a_4, a_6 a1,a2,a3,a4,a6
是域中的元素。通过一系列的坐标变换，这个方程通常可以化简为标准的Weierstrass形式 y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b。小结
Weierstrass方程是代数几何中描述椭圆曲线的一个重要工具，通过研究这一方程，我们可以深入理解椭圆曲线的代数和几何性质。
参考文献
1.文心一言，chatgpt
2.《近世代数》
3.《椭圆与超椭圆曲线公钥密码的理论与实现》