抽象代数精解【12】

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• 群同构
• • 基础
  • 例子
• 参考文献

群同构

基础

• 设 G 与 G ′ 是两个群， ϕ 是 G 到 G ′ 的一一对应，使得 设G与G'是两个群，\phi是G到G'的一一对应，使得 设G与G′是两个群，ϕ是G到G′的一一对应，使得
  ϕ ( a ⋅ b ) = ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( b ) , ∀ a , b ∈ G \phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot\phi(b),\forall a,b \in G ϕ(a⋅b)=ϕ(a)⋅ϕ(b),∀a,b∈G
  ϕ 就是群 G 到群 G ′ 一个同构映射，称 G 与 G ′ 同构，记作： ϕ : G ≅ G ′ \phi就是群G到群G'一个同构映射，称G与G'同构，记作：\phi :G \cong G' ϕ就是群G到群G′一个同构映射，称G与G′同构，记作：ϕ:G≅G′
  群 G 到它自身的同构映射称为群 G 的自同构。 群G到它自身的同构映射称为群G的自同构。 群G到它自身的同构映射称为群G的自同构。
• 群同构（Group Isomorphism）是抽象代数中的一个重要概念，表示两个群结构相同。具体来说，如果两个群 G G G 和 H H H 之间存在一个双射（即一一对应的映射） ϕ : G → H \phi: G \rightarrow H ϕ:G→H，使得对于所有的 g 1 , g 2 ∈ G g_1, g_2 \in G g1​,g2​∈G，都有 ϕ ( g 1 ⋅ g 2 ) = ϕ ( g 1 ) ⋅ ϕ ( g 2 ) \phi(g_1 \cdot g_2) = \phi(g_1) \cdot \phi(g_2) ϕ(g1​⋅g2​)=ϕ(g1​)⋅ϕ(g2​)，那么这两个群就被称为同构的，记作 G ≅ H G \cong H G≅H。
• 整数加群 Z 与偶数加群 2 Z 同构 整数加群Z与偶数加群2Z同构 整数加群Z与偶数加群2Z同构
  ϕ : Z − > 2 Z a − > 2 a , ∀ a ∈ Z 1. ϕ : 一一映射 2. ϕ ( a ⋅ 2 a ) = ϕ ( a + 2 a ) = 6 a = ϕ ( a ) + ϕ ( 2 a ) = 2 a = 4 a = 6 a 3. ϕ : Z ≅ 2 Z \phi:Z->2Z \\a->2a,\forall a \in Z \\1. \phi:一一映射 \\2.\phi(a\cdot2a)=\phi(a+2a)=6a=\phi(a)+\phi(2a)=2a=4a=6a \\3.\phi :Z \cong 2Z ϕ:Z−>2Za−>2a,∀a∈Z1.ϕ:一一映射2.ϕ(a⋅2a)=ϕ(a+2a)=6a=ϕ(a)+ϕ(2a)=2a=4a=6a3.ϕ:Z≅2Z
• 任意二阶群与乘法群 { − 1 , 1 } 同构 任意二阶群与乘法群\{-1,1\}同构 任意二阶群与乘法群{−1,1}同构
  1. 设二阶群 G = { e , a } ，其中， a 2 = e ϕ : G → { − 1 , 1 } e → 1 a → − 1 2. ϕ ( e a ) = ϕ ( a ) = − 1 = ϕ ( e ) ⋅ ϕ ( a ) = 1 ⋅ ( − 1 ) = − 1 ϕ ( a e ) = ϕ ( a ) = − 1 = ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( e ) = ( − 1 ) ⋅ 1 = − 1 ϕ ( a a ) = ϕ ( e ) = 1 = ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( a ) = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 ϕ ( e e ) = ϕ ( e ) = 1 = ϕ ( e ) ⋅ ϕ ( e ) = 1 ⋅ 1 = 1 1.设二阶群G=\{e,a\}，其中，a^2=e \\\phi:G \rightarrow\{-1,1\} \\e\rightarrow 1 \\a\rightarrow -1 \\2.\phi(ea)=\phi(a)=-1=\phi(e)\cdot\phi(a)=1\cdot(-1)=-1 \\\phi(ae)=\phi(a)=-1=\phi(a)\cdot\phi(e)=(-1)\cdot 1=-1 \\\phi(aa)=\phi(e)=1=\phi(a)\cdot\phi(a)=(-1)\cdot (-1)=1 \\\phi(ee)=\phi(e)=1=\phi(e)\cdot\phi(e)=1\cdot 1=1 1.设二阶群G={e,a}，其中，a2=eϕ:G→{−1,1}e→1a→−12.ϕ(ea)=ϕ(a)=−1=ϕ(e)⋅ϕ(a)=1⋅(−1)=−1ϕ(ae)=ϕ(a)=−1=ϕ(a)⋅ϕ(e)=(−1)⋅1=−1ϕ(aa)=ϕ(e)=1=ϕ(a)⋅ϕ(a)=(−1)⋅(−1)=1ϕ(ee)=ϕ(e)=1=ϕ(e)⋅ϕ(e)=1⋅1=1

例子

• 例子1

1. 循环群的同构: - Z n \mathbb{Z}_n Zn​是整数模 n n n的加法群，定义为 { 0 , 1 , … , n − 1 } \{0, 1, \dots, n-1\} {0,1,…,n−1}，其中的运算是加法模 n n n。

   • 对于 n n n和 m m m是互质的，群 Z n × Z m \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m Zn​×Zm​和 Z n m \mathbb{Z}_{nm} Znm​是同构的。

2. 对称群和置换群的同构:

   • 对于任意有限集 S S S，群 S n S_n Sn​是 n n n阶置换群，表示的是在 n n n个元素上的所有置换。
   • 如果 n = 3 n = 3 n=3，那么 S 3 S_3 S3​和 D 3 D_3 D3​（三角形的对称群）是同构的。

3. 矩阵群与对称群的同构: - G L ( 2 , R ) GL(2, \mathbb{R}) GL(2,R)是 2×2 实矩阵在矩阵乘法下形成的群，定义在非零行列式上。

   • 这个群同构于 R 2 \mathbb{R}^2 R2中的旋转和缩放变换群。

• 例题1

例题：设 G 1 = Z G_1 = \mathbb{Z} G1​=Z（整数加法群）， G 2 = R ∗ G_2 = \mathbb{R}^* G2​=R∗（非零实数乘法群），判断映射 f : G 1 → G 2 f: G_1 \rightarrow G_2 f:G1​→G2​，其中 f ( n ) = 2 n f(n) = 2^n f(n)=2n（当 n ≥ 0 n \geq 0 n≥0）且 f ( n ) = 1 2 − n f(n) = \frac{1}{2^{-n}} f(n)=2−n1​（当 n < 0 n < 0 n<0）是否为群同构。

解答：

1. 验证映射是双射：

   • 由于 f ( n ) = 2 n f(n) = 2^n f(n)=2n（ n ≥ 0 n \geq 0 n≥0）和 f ( n ) = 1 2 − n f(n) = \frac{1}{2^{-n}} f(n)=2−n1​（ n < 0 n < 0 n<0）都是单调递增的，因此 f f f 是单射。
   • 又因为对于任意 y ∈ R ∗ y \in \mathbb{R}^* y∈R∗，若 y > 1 y > 1 y>1，则存在 n ∈ N n \in \mathbb{N} n∈N 使得 y = 2 n y = 2^n y=2n；若 0 < y < 1 0 < y < 1 0<y<1，则存在 n ∈ N n \in \mathbb{N} n∈N 使得 y = 1 2 n = 2 − n y = \frac{1}{2^n} = 2^{-n} y=2n1​=2−n，即 y = f ( − n ) y = f(-n) y=f(−n)。因此 f f f 是满射。

2. 验证保持运算：

   • 对于任意 m , n ∈ Z m, n \in \mathbb{Z} m,n∈Z，当 m , n ≥ 0 m, n \geq 0 m,n≥0 时， f ( m + n ) = 2 m + n = 2 m ⋅ 2 n = f ( m ) ⋅ f ( n ) f(m+n) = 2^{m+n} = 2^m \cdot 2^n = f(m) \cdot f(n) f(m+n)=2m+n=2m⋅2n=f(m)⋅f(n)。
   • 当 m , n < 0 m, n < 0 m,n<0 时， f ( m + n ) = 1 2 − ( m + n ) = 1 2 − m ⋅ 2 − n = 1 2 − m ⋅ 1 2 − n = f ( m ) ⋅ f ( n ) f(m+n) = \frac{1}{2^{-(m+n)}} = \frac{1}{2^{-m} \cdot 2^{-n}} = \frac{1}{2^{-m}} \cdot \frac{1}{2^{-n}} = f(m) \cdot f(n) f(m+n)=2−(m+n)1​=2−m⋅2−n1​=2−m1​⋅2−n1​=f(m)⋅f(n)。
   • 混合情况（一个非负一个非正）可以类似验证。

因此，映射 f f f 是群同构。

注意：以上例题和解答是基于群同构的定义和性质构建的，旨在展示如何验证一个映射是否为群同构。在实际应用中，群同构的验证可能涉及更复杂的数学结构和技巧。
例题 1: 证明群 Z 6 \mathbb{Z}_6 Z6​与 Z 2 × Z 3 \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 Z2​×Z3​是同构的。

解答:
1. Z 6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} Z6​={0,1,2,3,4,5}，其中的运算是模 6 的加法。
2. Z 2 = { 0 , 1 } \mathbb{Z}_2 = \{0, 1\} Z2​={0,1}和 Z 3 = { 0 , 1 , 2 } \mathbb{Z}_3 = \{0, 1, 2\} Z3​={0,1,2}，其中的运算分别是模 2 和模 3 的加法。
3. 定义映射 ϕ : Z 6 → Z 2 × Z 3 \phi: \mathbb{Z}_6 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 ϕ:Z6​→Z2​×Z3​，使得 ϕ ( k ) = ( k m o d    2 , k m o d    3 ) \phi(k) = (k \mod 2, k \mod 3) ϕ(k)=(kmod2,kmod3)。
4. 可以验证 ϕ \phi ϕ是双射，并且保持运算结构，因此 ϕ \phi ϕ是一个同构映射。故 Z 6 ≅ Z 2 × Z 3 \mathbb{Z}_6 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 Z6​≅Z2​×Z3​。

例题 2: 证明 S 3 S_3 S3​和 D 3 D_3 D3​是同构的。

解答:
1. S 3 S_3 S3​是三阶对称群，包括6个元素，对应于3个元素的所有置换。
2. D 3 D_3 D3​是正三角形的对称群，包含3个旋转和3个反射，同样有6个元素。
3. 构造一个映射 ϕ : S 3 → D 3 \phi: S_3 \rightarrow D_3 ϕ:S3​→D3​，将 S 3 S_3 S3​中的置换映射到 D 3 D_3 D3​中的相应对称操作。
4. 证明 ϕ \phi ϕ是一个双射并且保持运算结构，因此 S 3 S_3 S3​和 D 3 D_3 D3​是同构的。

这些例子和例题展示了不同群之间的同构关系，以及如何构造和验证同构映射。

• 例子2

1. 整数加法群与偶数整数加法群的同构：

   • 群 Z \mathbb{Z} Z 是所有整数在加法下组成的群。
   • 群 2 Z 2\mathbb{Z} 2Z 是所有偶数在加法下组成的群。
   • 定义映射 ϕ : Z → 2 Z \phi: \mathbb{Z} \rightarrow 2\mathbb{Z} ϕ:Z→2Z，令 ϕ ( n ) = 2 n \phi(n) = 2n ϕ(n)=2n。
   • 这个映射是双射，而且满足 ϕ ( a + b ) = 2 ( a + b ) = 2 a + 2 b = ϕ ( a ) + ϕ ( b ) \phi(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = \phi(a) + \phi(b) ϕ(a+b)=2(a+b)=2a+2b=ϕ(a)+ϕ(b)，所以 Z ≅ 2 Z \mathbb{Z} \cong 2\mathbb{Z} Z≅2Z。

2. 对称群 S 3 S_3 S3​ 与其自身的自同构：

   • 群 S 3 S_3 S3​ 是三个元素的对称群，包括所有可能的排列。
   • 如果定义一个映射 ϕ : S 3 → S 3 \phi: S_3 \rightarrow S_3 ϕ:S3​→S3​，它是一个双射并且保持排列的复合顺序，则它是自同构的。
   • 例如，映射 ϕ ( σ ) = σ \phi(\sigma) = \sigma ϕ(σ)=σ 是一个显然的自同构。

3. 循环群 Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z/4Z 与 V 4 V_4 V4​ 的同构：

   • 群 Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z/4Z 是模 4 的整数在加法下的群，群元素为 { 0 , 1 , 2 , 3 } \{0, 1, 2, 3\} {0,1,2,3}。
   • 群 V 4 V_4 V4​ 是 Klein 四元群，群元素为 { e , a , b , a b } \{e, a, b, ab\} {e,a,b,ab}，其中 a 2 = b 2 = ( a b ) 2 = e a^2 = b^2 = (ab)^2 = e a2=b2=(ab)2=e。
   • 这两个群是同构的，因为它们都有相同的阶数结构和运算规则。

• 例题2

1. 验证两个群同构：

   • 设 G = { e , a , a 2 } G = \{e, a, a^2\} G={e,a,a2} 和 H = { e , b , b 2 } H = \{e, b, b^2\} H={e,b,b2}，其中 G G G 和 H H H 都是阶为 3 的群，且 a 3 = e a^3 = e a3=e， b 3 = e b^3 = e b3=e。
   • 构造一个映射 ϕ : G → H \phi: G \rightarrow H ϕ:G→H，令 ϕ ( e ) = e \phi(e) = e ϕ(e)=e， ϕ ( a ) = b \phi(a) = b ϕ(a)=b， ϕ ( a 2 ) = b 2 \phi(a^2) = b^2 ϕ(a2)=b2，并验证它是否是群同构。

2. 给定群及映射，判断是否是同构：

   • 给定群 G = Z 6 G = \mathbb{Z}_6 G=Z6​ 和 H = Z 2 × Z 3 H = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 H=Z2​×Z3​，定义映射 ϕ : Z 6 → H \phi: \mathbb{Z}_6 \rightarrow H ϕ:Z6​→H 通过 ϕ ( 1 ) = ( 1 , 1 ) \phi(1) = (1, 1) ϕ(1)=(1,1)，验证映射 ϕ \phi ϕ 是否是群同构。

3. 构造一个具体的群同构：

   • 给定 Z 4 \mathbb{Z}_4 Z4​ 和 Z 2 × Z 2 \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 Z2​×Z2​，构造一个同构映射 ϕ : Z 4 → Z 2 × Z 2 \phi: \mathbb{Z}_4 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ϕ:Z4​→Z2​×Z2​
     并验证其性质。

通过这些例子和例题，你可以加深对群同构概念的理解并练习如何在不同的群之间构造同构映射。

参考文献

1.文心一言，chatgpt
2.《近世代数》