鸭子圆形湖概率
一个圆形，湖中随机分布了\(n\)个点，求存在一个圆心角为\(\theta\)而且包含了这\(n\)个点的扇形的概率。其中\(n\)为大于2的整数，\(0\lt\theta\lt2\pi\)。
为了方便，令\(x=\theta/2\pi\)；对于第\(i\)个点所在的半径逆时针旋转\(\theta\)所生成的扇形称之为该点生成的扇形，并称所有点都在该扇形内的情况为\(S_i\)；讨论中忽略掉一些概率为\(0\)（复数个点在同一条直线上）的情况以简化叙述；所说的点均属于题目中的\(n\)个点。
当\(x\le 1/2\)时，“包含全部\(n\)个点的扇形存在”等价于：“存在且仅存在一个点，该点生成的扇形包含全部\(n\)个点”。显然，包含全部\(n\)个点的扇形存在的概率为\(n\times P(S_i)=nx^{n-1}\)。
当\(x\gt 1/2\)时，可能会出现不止一个点所生成的扇形可以包含全部\(n\)个点情况。
当\(k=2\)时，对于任意2个点，对于这2个点所生成的扇形正好能够相互包含的概率为\(2x-1\)，其实也就是相互包含时各自生成的扇形的重叠区域的面积占比。此时剩余其他\(n-2\)个点若都在这2个点所生成的扇形的重叠区域内时，便可以满足这2个点所生成的扇形都包含了全部\(n\)个点。那么对于任意2个点，满足这2个点所生成的扇形都包含了全部\(n\)个点的概率为\((2x-1)^{n-1}\)，即：
\[P(S_i\cap S_j)=(2x-1)^{n-1}\qquad(i\neq j) \]同理也可以推得，当\(kx\gt k-1\)时，对于任意\(k\)个点，满足这\(k\)个点所生成的扇形都包含了全部\(n\)个点的概率为：
\[P(\cap_{i=i_1,i_2\cdots i_k}S_i)=(kx-(k-1))^{n-1},kx\gt k-1\qquad (j\neq k 时i_j\neq i_k) \]而且显然当\(kx\le k-1\)时其概率为0。
根据容斥原理，我们可以知道：
\[P(\cup_{i=1}^n S_i)=\sum P(S_i)-\sum P(S_i\cap S_j)+\cdots \plusmn P(\cap_{i=1}^n S_i) \]所以“包含全部\(n\)个点的扇形存在”的概率为：
\[\sum_{i=1}^{\lfloor 1/(1-x) \rfloor} \binom{n}{i} (ix-(i-1))^{n-1} \] 标签：概率,个点,包含,生成,圆形,扇形,theta,鸭子 From： https://www.cnblogs.com/sewzc/p/16820237.html