二项式系数

二项式定理证明过程

(x + y)^n = (x + y)(x + y)(x + y)........(x + y)

我们先展开式子，得出以上等式。

为了方便，我们以n=3举例

(x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y)

对于每一个因式（即每一个（x+y）），都可以选择x或者y和其他的因式（即其他的（x+y））也选出x或者y相乘，然后经过很多次后，把这些相乘的结果相加，是不是就是原来的结果？如下图：

相同的参数可以合并同类项。

有n个因式，假设有2个因式都选择了x，那么x就是二次方，我们再考虑系数。

系数不就是C(n, 2)吗，就是看有多少种是相同的参数，然后才能合并同类型。

y同理，由于2个因式选择x，那么剩下一个因式选择y。所以是一次方，C(n, 3-2)=3，y的系数也是3

根据C(n, r) = C(n, n-r)，我们可以把x，y合并（在后面我会证明）

也就是 C(n, 2)*x^2*y

所以就得出下列式子：

(x + y)^n = sigma( C(n, r) · x^r · y ^ (n-r) )

其中r=0~n

一些结论的证明