浅谈偏序

• 偏序和等价关系
• Dilworth 定理
  • 定理 1
  • 定理 2（Dilworth 定理）

偏序和等价关系

关系：设 \(X\) 是一个集合，\(X\) 上的关系是 \(X\) 的元素的有序对集合 \(X\times X\) 的子集 \(R\)。我们把属于 \(R\) 的有序对 \((a,b)\) 写作 \(aRb\)。把不属于 \(R\) 的有序对 \((a,b)\) 写作 \(a\not R b\)。

集合 \(X\) 上的关系 \(R\) 可能具有的一些特性：

• 如果对于 \(X\) 中所有的 \(x\)，都有 \(xRx\)，则称 \(R\) 是自反的。
• 如果对于 \(X\) 中所有的 \(x\)，都有 \(x\not Rx\)，则称 \(R\) 是反对称的。
• 如果对于 \(X\) 中所有的 \(x\)，只要 \(xRy\) 就有 \(yRx\)，则称 \(R\) 是对称的。
• 如果对于 \(X\) 中所有的 \(x\)，只要 \(xRy\) 就有 \(y\not Rx\)，则称 \(R\) 是反对称的。
• 对于 \(X\) 中的 \(x,y,z\)，只要 \(xRy,yRz\)，就有 \(xRz\)，则称 \(R\) 是传递的。

偏序、偏序集：集合 \(X\) 上的偏序是一个自反、反对称且传递的关系，集合 \(X\) 上的严格偏序是一个反自反、反对称且传递的关系。因此 \(\subseteq,\le,\mid\) 均是偏序，而 \(\subset,<\) 均是严格偏序。在其上定义了偏序 \(\le\) 的集合 \(X\) 也叫做偏序集，记作 \((X,\le)\)。

若 \(xRy\) 或 \(yRx\)，则说 \(x\) 和 \(y\) 是可比的，否则不可比。若 \(X\) 的每一对元素都是可比的，则集合 \(X\) 上的偏序 \(R\) 是全序。比如数集上标准的 \(\le\) 是一个全序。

设 \((X,\le)\) 是全序，则存在 \(X\) 的一个排列 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，使得若 \(i,j\) 则 \(a_i\le a_j\)。

如果 \(a<b\) 并且没有元素 \(c\) 能够夹在 \(a\) 和 \(b\) 之间，那么称 \(a\) 被 \(b\) 覆盖 。

反链是 \(X\) 的一个子集 \(A\)，使得它的任意两个元素都不可比，链是 \(X\) 的一个子集 \(A\)，使得它的任意两个元素都可比，因此链是 \(X\) 的一个全序子集。显然反链和链的交集大小小于等于 \(1\)。

若 \(X\) 存在大小为 \(r\) 的反链 \(C\)，则\(X\) 的链划分数大于等于 \(r\)。

将 \((X,\le)\) 放在图上，得到图 \((V,E)\)，显然 \((V,E)\) 是一个 DAG，称一个 偏序集的极小元为所有放在 DAG 上的入度为\(0\) 的元素集合，极大元为所有放在 DAG 上的出度为\(0\) 的元素集合。

Dilworth 定理

先说 Dilworth 定理的对偶定理。

定理 1

设 \((X,\le)\) 是有限偏序集，而 \(r\) 是链的最大大小，则 \(X\) 可以被划分成 \(r\) 个反链，但不能划分成少于 \(r\) 个反链。

证明：显然不能划分成少于 \(r\) 个反链，只需证明有划分成 \(r\) 个反链的构造即可，显然 \(X\) 的极小元是一个反链，然后将其从 \(X\) 中删去，重复操作即可，恰好划分为 \(r\) 个反链。

定理 2（Dilworth 定理）

设 \((X,\le)\) 是有限偏序集，而 \(r\) 是反链的最大大小，则 \(X\) 可以被划分成 \(r\) 个链，但不能划分成少于 \(r\) 个链。

证明：设 \(|X|=m\)。当 \(|X|=1\) 时定理成立。

当 \((X,\le)\) 存在一个大小为 \(m\) 的反链 \(A\)，满足 \(A\) 既不是 \(X\) 的极小元集合，也不是 \(X\) 的极大元集合，设 \(A^{+}\) 表示所有属于 \(X\) 且满足 \(a\le x,a\in A\) 的元素集合、\(A^{-}\) 表示所有属于 \(X\) 且满足 \(x\le a,a\in A\) 的元素集合。有 \(A^{+}\cap A^{-}=A\)，\(A^{+}\cup A^{-}=X\)，然后将 \(A^{+},A^{-}\)递归归纳到下面一种情况中，然后将两个集合的解拼在一起即可。

当 \((X,\le)\) 不存在一个大小为 \(m\) 的反链 \(A\)，满足 \(A\) 既不是 \(X\) 的极小元集合，也不是 \(X\) 的极大元集合，显然此时长度为 \(m\) 的反链为极小元或极大元。若极小元为长度为 \(m\) 的反链，则在DAG 上极小元指出的点的入度大于 \(1\)，此时随便选择属于极小元的元素 \(x\) 和属于极大元的元素 \(y\)，则 \(X-\{x,y\}\) 的反链长最大为 \(m-1\)，继续递归归纳即可，反链为极大元同理。