给定一个DAG，定义链：一条链内任意两点之间都存在一条路径反链：任意两点都不存在路径Dilworth定理：最长反链\(=\)最小链覆盖。最小链覆盖内一个点只能归属于一条链，但链不一定是连续的。事实上这个还能转化为“选出若干条（一般定义下的）链，但一个点可以在多条链内”，本质相同。

联考题解：https://www.cnblogs.com/british-union/p/liankao.html如果忽略挂分，这周打的还可以。但是问题是挂了不少分导致实际得分远不如期望得分。做题：做了几道ProjectEuler，有一道没想出来：588，638，457，307。P10353：群论题AGC012F尝试枚举一下前几个的限制，发现限制就是在\([i,

目录偏序和等价关系Dilworth定理定理1定理2（Dilworth定理）偏序和等价关系关系：设\(X\)是一个集合，\(X\)上的关系是\(X\)的元素的有序对集合\(X\timesX\)的子集\(R\)。我们把属于\(R\)的有序对\((a,b)\)写作\(aRb\)。把不属于\(R\)的有序对\((a,b)\)写作\(a\n

abc134E-SequenceDecomposing题意：给定一个序列，将其划分成若干个不相交的严格上升子序列，求划分的最小的子序列数量。题解：我们可以定义严格偏序关系，\(i\precj\)当\(i<j\)且\(a_i<a_j\)，也就是我们要将整个序列划分成若干个链。根据Dilworth’stheorem，最小链覆盖数=最大

偏序集中的反链是其元素两两不可比的子集，而链是其元素两两可比的子集。链分解是将偏序集中的元素划分为若干无交的链。狄尔沃斯定理指出，有限偏序集合中，包含元素最多反链的元素数等于包含链数最少的链分解的链数，这个量被定义为该偏序集的宽度。对于任意有限偏序集，其最大反链中元素

P4298[CTSC2008]祭祀题解给定DAG，求最长反链长度，最长反链方案，有多少个点可以成为反链上的点。Case1熟知Dilworth定理：偏序集的最长反链的长度等于最小链划分。因为偏序集有传递性，所以我们也需要对DAG做一遍传递闭包。这样可以套用Dilworth定理，最小链划分等于点数减

基础最小点覆盖=最大匹配我们假设最小点覆盖的集合为\(V\)，最大匹配的集合为\(E\)，因为最大匹配中的边都互相不交，所以我们可以让最大匹配中的边的端点任意选择一个点，就有：\[|V|\ge|E|\]于是另一边不太好证明，我们就记住这一边的证明，感性理解～最大独立集=总点数-最小点覆

基本应用：最长上升子序列：题目描述设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)<>b(j)(i<>j)，若存在i1<i2<i3<…<ie且有b(i1)<b(i2)<…<b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的上升序列。例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63

题目传送门网上的题解大多都比较简略，很多我认为并不显然的地方都缺少证明，这里写一篇详细的题解。思路首先考虑建出\(\rmDAG\)，若边\((u,v)\)存在需要满足\(\text{dis}(p_u,p_v)\le|d_u-d_v|\)，也就是\(p_u\)上的\(f_u\)条鱼可以转移到\(p_v\)上。此时答案为这个\(

10.28[CTSC2008]祭祀/[CodeForces590E]Birthday神仙题。根据Dilworth定理，最长反链=最小不可重链覆盖。求最小链覆盖可以将每个点\(i\)拆成\(i\)和\(i'\)两个点。对于求出传递闭包后的偏序关系\(u<v\)，就将\(u\)和\(v'\)连边。跑出该二分图上的最大匹配\(

最长反链：一张有向无环图的最长反链为一个集合\(S\subseteqV\)，满足对于\(S\)中的任意两个不同的点\(u,v\inS(u\nev)\)，\(u\)不能到达\(v\)，\(v\)也不能到达\(u\)，且\(S\)的大小尽量大最小不可重链覆盖：在DAG中选出若干条链，经过每个点一次，且链数尽量少最小点覆盖：

很多网站建设者都会听到“反链”这个词，但不一定知道它的具体含义和作用。反链，也叫做反向链接或者外部链接，是指其他网站指向你的网站的链接。它能够增加你的网站权重，提高搜索引擎排名和流量。那么，如何查找百度反向链接呢？下面是几种简单易行的方法：1.使用百度搜索在百度搜索框输入

二分图匹配和霍尔定理相异代表系我们用一个相异代表系描述二分图匹配问题。我们有若干个集合\(\{S_1,S_2,S_3,\cdots,S_m\}\)，现在要给每个集合选定一个代表\(x_i\inS_i\)，并且每个\(x_i\)是相异的。容易发现这个问题和二分图匹配问题是等价的。霍尔定理对于\(m\)个集

最大匹配最基本的东西，可以用dinic在\(\mathcal{O}(m\sqrtn)\)的时间内解决。Hall定理判断二分图是否存在完美匹配的定理。默认左部点数小于等于右部点数，定义\(N

偏序集对于一个偏序集\(D\)，我们有一些定义比较:定义\(D\)中的两个元素\(X,Y\)，如果$\foralli,X_i<=Y_i$，则称\(X,Y\)两个元素可比，且\(X\)小于等于\(Y\)

偏序关系对于二元关系\(R\subseteqS\timesS\)，若\(R\)是自反的，反对称的，传递的，那么\(R\)称为偏序关系。自反性\(a\preceqa，\foralla\inS\)反对称性\(\foralla，b\i

Dilworth定理偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的大小。名词解释偏序在集合\(S\)中定义的二元关系\(\le\)，如果它满足以下三个性质：自反性：\(\forallx

AGC027DModuloMatrixDescription构造\(n\timesn\)的矩阵，满足：矩阵内的数互不相等。存在正整数\(m\)，使得矩阵中两个相邻的数\(x,y\)，满足\(\max(x,y)\bmod\min(x

[\(TJOI2015\)]组合数学链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3974题面:有一个\(n\timesm\)的网格，有些格子里有财宝，每次从左上角出发,只能往右或下走且每一次经过一

Dilworth定理对于偏序集\(D\)，我们有若干概念：链：\(D\)中的一个子集\(C\)满足\(C\)中任意两个元素都可比，即构成全序集。反链：\(D\)中的一个子集\(B\)满足\(B\)