对于 \(n\) 个球，易得有
\[\begin{array}{c} \displaystyle\frac\pi2>\theta_i>-\frac\pi2,\theta_1>\cdots>\theta_i>\cdots>\theta_{n-1} \\[1ex] \displaystyle\forall i\ne j,\left\lvert\sum_{k=1}^ir_k-\sum_{k=1}^jr_k\right\rvert\ge D \end{array} \]记 \(x=X/D\)，则有 \(x+1>d\)。
设 \(\theta_i\) 的概率分布为 \(f(\theta_i)\)，应有 \(f_1(\theta)=1/\pi\)，\(f_i(\theta)=3/(4\pi)\)，则一个由 \(n\) 个球形成的拱的水平分量 \(x\) 的概率分布变成
\[\begin{aligned} a_n(x)&=A_n\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f_1(\theta_1)\mathrm d\theta_1\cdots\int_{\beta_{n-1}}^{\theta_{n-2}}f_{n-1}(\theta_{n-1})\mathrm d\theta_{n-1}\delta\hspace{-0.25em}\left(x-\sum_{i=1}^{n-1}\cos\theta_i\right) \\ &=B_n\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm d\theta_1\cdots\int_{\beta_{n-1}}^{\theta_{n-2}}\mathrm d\theta_{n-1}\delta\hspace{-0.25em}\left(x-\sum_{i=1}^{n-1}\cos\theta_i\right) \end{aligned} \]式中 \(\beta_{n-1}=\max\hspace{-0.25em}\left(-\dfrac\pi2,\theta_{n-2}-\dfrac{2\pi}3\right)\)，\(B_n=\dfrac{A_n}\pi\left(\dfrac3{4\pi}\right)^{n-2}\) 是一堆一化数使 \(\int_0^\infty a_n(x)\mathrm dx=1\)。易得 \(a_2(x)=B_2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathrm d\theta_1\delta(x-\cos\theta_1)=\dfrac{2B_2}{\sqrt{1-x^2}}\)，\(B_2=\dfrac1\pi\)。
再往上你就一个一个慢慢算吧，文献里也懒得算了，那我就更懒得算了。
考查一个 \(\mathrm dh\) 厚的片片，有
\[A(\mathrm dp-\rho g\mathrm dh)+\mu\sigma L\mathrm dh=0,A~\text{为面积} \]代入 \(\sigma=kp\)，\(k\) 为应力的比例系数，得
\[\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz}=\rho g-\frac A\varLambda,\text{其中}~\varLambda=\frac A{\mu kL},\mu~\text{为静摩擦系数} \]解出 Jassen 定律
\[p(z)=p_\infty\left(1-\mathrm e^{-h/\varLambda}\right) \]由此可以看出，所有颗粒的重量一小部分压在了底部，其余部分被侧壁支撑了。
以下的图是 Zhao H, An X, Wu Y, et al. Microscopic analyses of stress profile within confined granular assemblies[J]. AIP Advances, 2018, 8(7). 中对 Jassen 定律的拟合。
这张图就代表了，高度增大到一定程度，压力就不再变化了。
（此处省略一张图）
连续性方程
\[\frac\partial{\partial t}(\varepsilon\rho)_n+\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{im}\varepsilon\rho U_m\right)_n=0 \]式中 \(n\) 代表固相或气相。\(\varepsilon\) 为体积分数，\(\rho\) 为密度。动量方程
\[\frac\partial{\partial t}\left(\varepsilon_\rho U_j\right)_n+\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{im}\varepsilon\rho U_mU_j\right)_n=-\varepsilon_n\frac{\partial p}{\partial\xi^j}+\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(\tau_{ij}\right)_n+(\varepsilon\rho)_nb_j+\beta_j\left[\left(\left(U_j\right)_N-U_j\right)_n\right] \]气相应力张量
\[\left(\tau_{ij}\right)_G=\mu_{G,l}\left[\left(\frac{\partial U_j}{\partial\xi^i}+\frac{\partial U_i}{\partial\xi^i}\right)_G-\frac23\delta_{ij}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^l}\left(g^{im}U_m\right)_G\right] \]固相应力张量
\[\left(\tau_{ij}\right)_s=-P_s\delta_{ij}+\zeta_s\delta_{ij}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi_l}j\left(g^{im}U_m\right)_s+\mu_s\left[\left(\frac{\partial U_j}{\partial\xi^i}+\frac{\partial U_i}{\partial\xi^i}\right)_s-\frac23\delta_{ij}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi_l}\left(g^{im}U_m\right)_s\right] \]固相压力、本体粘度、剪切粘度由颗粒流的动力学得到
\[\begin{aligned} P_s&=\varepsilon_s\rho_s\left[1+2(1+\mathrm e)\varepsilon_sg_0\right]\varTheta \\ \zeta_s&=\frac43\varepsilon_s^2\rho_sd_pg_0(1+\mathrm e)\sqrt\frac{\varTheta}\pi \\ \mu_s&=\frac{2\mu_{s,dil}}{(1+\mathrm e)g_0}\left[1+\frac45(1+\mathrm e)g_0\varepsilon_s\right]^2+\frac45\varepsilon_s^2\rho_sd_pg_0(1+\mathrm e)\sqrt\frac{\varTheta}\pi \end{aligned} \]剪切粘度径向分布函数
\[\begin{aligned} \mu_{s,dil}&=\frac5{96}\rho_sd_p\sqrt{\pi\varTheta} \\ g_0&=\frac35\left[1-\left(\frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_{s,\max}}\right)^{1/3}\right]^{-1} \end{aligned} \]固相颗粒流动的湍动能
\[\frac32\left[\frac\partial{\partial t}(\varepsilon\rho\varTheta)_s+\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{im}\varepsilon\rho U_m\varTheta\right)_s\right]=\left(\tau_{ij}\right)_s\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{im}U_m\right)_s+\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{ik}\varGamma_\varTheta\frac{\mathrm d\varTheta}{\mathrm\xi^k}\right)-\gamma \]式中的耗散项为
\[\begin{aligned} \gamma&=3\left(1-\mathrm e^2\right)\varepsilon_s^2\rho_sg_0\varTheta\left[\frac4{d_p}\sqrt\frac{\varTheta}\pi-\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi^i}\left(g^{il}U_l\right)_s\right] \\ \varGamma_\varTheta&=\frac{2\varGamma_{\varTheta,dil}}{(1+\mathrm e)g_0}\left[1+\frac65(1+\mathrm e)g_0\varepsilon_s\right]^2+2\varepsilon_s^2\rho_sd_pg_0(1+\mathrm e)\sqrt\frac{\varTheta}\pi \\[3ex] \varGamma_{\varTheta,dil}&=\frac{35}{784}\rho_sd_p\sqrt{\pi\varTheta} \end{aligned} \]在 \(\varepsilon_G\le0.8\) 时，曳力由 Ergun 方程给出，\(\varPhi\) 是一个形体参数
\[\beta=150\frac{\varepsilon_s^2\mu_{G,l}}{\varepsilon_G\left(d_p\varPhi_s\right)^2}+1.75\frac{\varepsilon_s\rho_G\left\lvert U_G-U_s\right\rvert}{d_p\varPhi_s} \]在 \(\varepsilon_G>0.8\) 时，曳力就变成了简单的球体阻力
\[\beta=\frac34C_d\frac{\left\lvert U_G-U_s\right\rvert\varepsilon_s\varepsilon_G\rho_G}{d_p\varPhi_s}\varepsilon_G^{-2.65} \]雷诺数在 \(1000\) 以下时，可取 \(C_d=\dfrac{24}{\textit{Re}}\left(1+0.15\textit{Re}^{0.687}\right)\)。雷诺数在 \(1000\) 以上取 \(C_d=0.44\)。此时的雷诺数定义为 \(\textit{Re}=\dfrac{\left\lvert U_G-U_s\right\rvert\varepsilon_G\rho_Gd_p}{\mu_{G,l}}\)。
然后请观众朋友们自行完成它的数值解过程并与下图对照。左边是计算，右边是实验。
（此处省略两张图）
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