面试模拟场景
面试官: 你能解释一下概率和似然的区别吗？
参考回答示例
概率（Probability）
概念：
- 概率是指在给定模型参数和已知条件下，观察到某个数据样本的可能性。换句话说，概率描述的是在已知模型和参数的情况下，某个事件发生的可能性。
公式：
P
(
X
=
x
∣
θ
)
P(X=x|\theta)
P(X=x∣θ)
其中，
X
X
X 是随机变量，
x
x
x 是具体的观察值，
θ
\theta
θ 是模型参数。
例子：
- 假设我们有一个抛硬币实验，硬币正面朝上的概率是 p p p。如果我们知道 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5，那么在一次抛硬币中，得到正面的概率是 P ( X = 正面 ∣ p = 0.5 ) = 0.5 P(X=\text{正面}|p=0.5) = 0.5 P(X=正面∣p=0.5)=0.5。
似然（Likelihood）
概念：
- 似然是指在给定数据样本的情况下，不同参数值生成该数据样本的可能性。换句话说，似然描述的是在已知数据的情况下，某个参数值的合理性。
公式：
L
(
θ
∣
X
=
x
)
=
P
(
X
=
x
∣
θ
)
L(\theta|X=x) = P(X=x|\theta)
L(θ∣X=x)=P(X=x∣θ)
其中，
θ
\theta
θ 是模型参数，
X
X
X 是随机变量，
x
x
x 是具体的观察值。
应用场景：
- 似然用于参数估计。例如，在机器学习中，我们使用最大似然估计（MLE）来找到最可能生成观测数据的参数值。
例子：
- 继续抛硬币实验的例子，假设我们进行了10次抛硬币实验，观察到6次正面和4次反面。似然函数表示在已知数据（6次正面和4次反面）的情况下，硬币正面概率 p p p 的合理性。我们希望找到一个最可能生成这个观测数据的 p p p。
区别总结
-
用途不同：
- 概率： 用于描述在给定参数情况下观测数据的可能性。
- 似然： 用于描述在给定观测数据情况下参数的合理性。
-
表示不同：
- 概率： P ( X = x ∣ θ ) P(X=x|\theta) P(X=x∣θ) 表示在已知参数 θ \theta θ 下，观测数据 X = x X=x X=x 的概率。
- 似然： L ( θ ∣ X = x ) L(\theta|X=x) L(θ∣X=x) 表示在已知观测数据 X = x X=x X=x 下，不同参数 θ \theta θ 的似然。
-
应用场景不同：
- 概率： 用于预测和推断。
- 似然： 用于参数估计和模型选择。
举例说明
假设我们有一个随机变量 X X X，其分布由参数 θ \theta θ 控制。我们观测到 X = x X=x X=x。
-
概率： 如果我们知道参数 θ \theta θ 的值，我们可以计算 P ( X = x ∣ θ ) P(X=x|\theta) P(X=x∣θ)，即在已知 θ \theta θ 的情况下，观测到 x x x 的概率。
- 例如，在硬币实验中，如果我们知道硬币正面朝上的概率是 p = 0.5 p=0.5 p=0.5，那么我们可以计算在一次抛硬币中得到正面的概率 P ( X = 正面 ∣ p = 0.5 ) = 0.5 P(X=\text{正面}|p=0.5)=0.5 P(X=正面∣p=0.5)=0.5。
-
似然： 如果我们知道观测到的数据 x x x，我们可以计算 L ( θ ∣ X = x ) = P ( X = x ∣ θ ) L(\theta|X=x)=P(X=x|\theta) L(θ∣X=x)=P(X=x∣θ)，即在已知 x x x 的情况下，不同参数 θ \theta θ 的似然。
- 例如，在硬币实验中，如果我们进行了10次抛硬币实验，得到6次正面和4次反面，我们可以计算在已知数据（6次正面和4次反面）的情况下，不同 p p p 值的似然，并找到最可能生成这个观测数据的 p p p 值。
总结
- 概率： 描述在给定模型参数的情况下，某个数据样本的可能性。
- 似然： 描述在给定数据样本的情况下，不同参数值生成该数据样本的可能性。