Chapter 1 代数几何方法
1.3 生成函数
符号化方法和拉格朗日反演
拆分数的生成函数和五边形数定理、斐波那契的拆分数
平面二叉树（Plane Binary Tree）、三角剖分、Dyck Path 的等价和双射及 k 叉
金字塔结构（没有认真看）
用循环来统计排列——错排列和内卷排列（involution）：
\[\sum_{i\ge 0}\frac{D_n}{n!}=e^{-\log(1-x)-x} \]欧拉数(Euler numbers)：
计数 \(n\) 阶排列满足
\[a_1>a_2<a_3>a_4<a_5\dots \]使用 EGF。
假设这个组合类是 \(\mathcal P\)。把大于小于取反的组合类 \(\mathcal P'\cong \mathcal P\)。
考虑插入最大值：
\[\mathcal P\times \bullet \times \mathcal P+1=Shift(\mathcal P+\mathcal P') \]那么就得到了 \(P^2+1=2P'\)，并且 \(P(0)=1\)。
解微分方程得到 \(P=\sec x+\tan x\)。据说根据这个可以得到一些三角恒等式的组合意义。
带符号图计数：
带符号图是两个点之间有独立的正边和负边（都可以没有）的无向图。任意环都有偶数个负边的带符号图称为平衡的，反之亦然。
首先设任意（无符号）无向图的生成函数是
\[F(x,y)=\sum_{n\ge 0}\frac{x^ny^{\binom n2}}{n!} \]设 \(S(x,y_+,y_-,z)=\sum_G \frac{x^v}{v!}y^{c_+}_+y^{c_-}_cz^e\)
\(v\) 是点数，\(e\) 是边数，\(c_+,c_-\) 是平衡的连通分量/不平衡的连通分量个数。
设 \(B(x,y_+,z),C_+(x,z),C_-(x,z)\) 是平衡的、连通平衡的、连通不平衡的图的生成函数。
我们有：
\[B=\exp(y_+C_+),S=\exp(y_+C_++y_-C-) \]那么
\[C_+(x,z)=\frac 12 \ln B(x,2,z),C_+(x,z)+C_-(x,z)=\ln S(x,1,1,z) \]转而计算 RHS。
首先
\[S(x,1,1,z)=\sum_{e,v\ge 0}\binom{v(v-1)}{e}\frac{x^v}{v!}z^e=F(x,(1+z)^2) \]考虑怎么计算 \(B(x,2,z)\)。首先注意到肯定是不能有正负边同时存在的。然后平衡图和每个点有符号，边符号是两点符号乘积的标记图（Marked Graph）是双射的。
这样就有：
\[B(x,2,z)=\sum_{e,v\ge 0}\binom{\binom v2}{e}2^v\frac{x^v}{v!}z^e=F(2x,1+z) \]那么：
\[S(x,y_+,y_-,z)=F(2x,1+z)^{(y_+-y_-)/2}F(x,(1+z)^2)^{y_-} \] 标签：frac,Combinatorics,sum,ge,Enumerative,_-,_+,mathcal,Handbook From： https://www.cnblogs.com/british-union/p/18313390/new_reading