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优化与收敛率小记

时间:2024-07-18 20:18:58浏览次数:15  
标签:le frac sigma nabla eta Big 收敛 优化 小记

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近来对优化和收敛速度有了一些新的感悟, 特此一记. 这些感悟有的来自博客 (如 here), 有的来自书籍. 以往只是套一些收敛的模板, 这里我会讲一下如何从几何的角度去理解这些收敛性.

基本的设定

  • 假设我们希望优化:

    \[\tag{1} \min_{x \in \mathbb{R}^d} \quad f(x), \]

    可行域这里就暂不讨论了.

  • 我们采取最一般的梯度下降:

    \[x_{t+1} = x_t - \eta \nabla f(x), \]

    其中 \(\eta > 0\) 是学习率, \(\nabla f(x) \in \mathbb{R}^d\) 为 \(f\) 关于 \(x\) 的梯度.

非凸优化

  • 基本的条件 (L-smooth):

    \[\tag{C.1} f(y) - f(x) - \langle \nabla f(x), y - x \rangle \le \frac{L}{2} \|y - x\|_2^2, L > 0 \]

  • 我们来看看 L-smooth 这个条件实际上为我们带来的是啥:

    \[\tag{2} \begin{array}{ll} f(x_{t+1}) - f(x_t) & \le \langle \nabla f(x_t), x_{t+1} - x_t \rangle + \frac{L}{2} \| y - x\|_2^2 \\ & = \langle \nabla f(x_t), -\eta \nabla f(x_t) \rangle + \frac{L \eta}{2} \| \nabla f(x_t)\|_2^2 \\ & = \underbrace{(\frac{L \eta^2}{2} - \eta)}_{\alpha_{\eta}} \| \nabla f(x_t)\|_2^2. \end{array} \]

  • 倘若我们希望收敛速度尽可能快, 那么一个贪心的方法就是每一步的下降都尽可能多, 即我们应当尽可能使得 (3) 的右边项小于 0 的同时进一步变小, 这等价于约束我们的迭代步长:

    1. 根据 [1] 可知, 当 \(\eta = 1 / L\) 的时候近似会有一个'最优'的迭代步长;
    2. 退而求其次, 我们也应当确保 \(\eta \in (0, 2 / L)\) 以确保

      \[f(x_{t+1}) < f(x_t). \]

  • 我们可以几何上去理解 L-smooth, 定义:

    \[f^u(x) = f(x_t) + \langle \nabla f(x_t), x - x_t \rangle + \frac{L}{2} \|x - x_t\|_2^2, \]

    由于

    \[f(x) \le f^u(x) \]

    故而 L-smooth 实际上是用一个抛物线为 \(f(x)\) 定义了一个上界. 而

    \[x_{t+1}^u = x_t - \frac{1}{L} \nabla f(x_t) \]

    就是这个抛物线的最低点, 所以 \(\eta = 1/L\) 是沿着这条抛物线下降的最优路线.

  • 真正的最优点 \((x^*, f(x^*))\) 的区域, 其实是在上图的蓝色画线区域内, 当然了, 由于没有其它条件, 我们既无法 bound 住 \(f(x_t) - f(x^*)\), 更无法 bound 住 \(\|x_t - x^*\|\), 后面当我们引入更多的条件的时候, 我们可以获得更多更好的性质.

  • 所以, 我们来证明一个不坏的收敛性:

    \[\begin{array}{lll} & f(x_{t+1}) - f(x_t) \le \alpha_{\eta} \| \nabla f(x_t) \|_2^2 \\ \Rightarrow & \sum_{t=0}^{T-1} (f(x_{t+1}) - f(x_t)) \le \alpha_{\eta} \sum_{t=0}^{T-1} \| \nabla f(x_t) \|_2^2 \\ \Rightarrow & \sum_{t=0}^{T-1} \| \nabla f(x_t) \|_2^2 \le \frac{1}{\alpha_{\eta}} \sum_{t=0}^{T-1} (f(x_{t+1}) - f(x_t) ) & \leftarrow \alpha_{\eta} < 0, \text{ if } \eta \in (0, 2 / L) \\ \Rightarrow & \mathop{\min} \limits_{t=0, \ldots, T-1} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \le \frac{1}{T} \sum_{t=0}^{T-1} \| \nabla f(x_t) \|_2^2 \le \frac{1}{\alpha_{\eta} T} \sum_{t=0}^{T-1} (f(x_{t+1}) - f(x_t)) \\ \Rightarrow & \mathop{\min} \limits_{t=0, \ldots, T-1} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \le \frac{1}{-\alpha_{\eta} T} (f(x_0) - f(x_T)) \le \frac{1}{-\alpha_{\eta} T} (f(x_0) - f(x^*)) \\ \Rightarrow & \mathop{\min} \limits_{t=0, \ldots, T-1} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \le \frac{2}{(2 \eta - L \eta^2) T} (f(x_0) - f(x^*)). \end{array} \]

    当 \(\eta\) 取 \(1 / L\), 左边项可以被

    \[\mathcal{O}(\frac{2L}{T}) \]

    bound 住.

凸优化

  • 除了 L-smooth 条件 (C.1) 外, 凸优化额外引入:

    \[\tag{C.2} f(y) \ge f(x) + \langle \nabla f(x), y - x \rangle. \]

  • 它的用处是什么呢? 我们依旧通过几何的方式去理解:

    \[f^l(x) \le f(x) \le f^u(x), \]

    其中

    \[f^(x) := f(x_t) + \langle \nabla f(x_t), x - x \rangle. \]

  • 相比较普通的 L-smooth 而言, 凸优化实际上是为函数 \(f(x)\) 设定了一个下界, 这使得 \((x^*, f(x^*))\) 所在的区域 (蓝色划线部分) 进一步缩小.

  • 首先, 对于一般的函数, 我们都有:

    \[\begin{array}{ll} \|x_{t+1} - x^*\|_2^2 & = \|x_{t} - \eta \nabla f(x_t) - x^*\|_2^2 \\ & = \|x_{t} - x^*\|_2^2 - 2\eta \underbrace{\langle \nabla f(x_t), x_t - x^*}_{f^l(x_t) - f^l(x^*)} \rangle + \eta^2 \|\nabla f(x_t) \|_2^2, \end{array} \]

    于是:

    \[f^l(x_t) - f^l(x^*) = \frac{\eta}{2} \|\nabla f(x_t) \|_2^2 + \frac{1}{2\eta} \Big( \|x_t - x^*\|_2^2 - \|x_{t+1} - x^*\|_2^2 \Big). \]

  • 于是, 我们有:

    \[\begin{array}{ll} f(x_{t+1}) - f(x^*) & \le f^u(x_{t+1}) - f(x^*) \\ & = (f^l(x_t) - f(x^*)) - (f^l(x_t) - f^u(x_{t+1})) \\ & = (f^l(x_t) - f^l(x^*)) - (f^u(x_t) - f^u(x_{t+1})) \\ & = (f^l(x_t) - f^l(x^*)) + \alpha_{\eta} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \\ & \le \frac{1}{2\eta} \Big( \|x_t - x^*\|_2^2 - \|x_{t+1} - x^*\|_2^2 \Big) + (\alpha_{\eta} + \frac{\eta}{2}) \|\nabla f(x_t) \|_2^2 \end{array} \]

    当我们假定 \(\eta \in (0, 1/L)\), 有 \(\alpha_{\eta} + \frac{\eta}{2} < 0\) 可得

    \[\begin{array}{ll} & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\eta} \Big( \|x_t - x^*\|_2^2 - \|x_{t+1} - x^*\|_2^2 \Big) \\ \Rightarrow & \sum_{t=1}^{T-1} f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\eta} \Big( \|x_{0} - x^*\|_2^2 - \|x_{T} - x^*\|_2^2 \Big) \\ \Rightarrow & \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T-1} f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\eta T} \Big( \|x_{0} - x^*\|_2^2 - \|x_{T} - x^*\|_2^2 \Big) \\ \Rightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T-1} f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\eta T} \Big( \|x_{0} - x^*\|_2^2 - \|x_{T} - x^*\|_2^2 \Big) \\ \Rightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\eta T} \Big( \|x_{0} - x^*\|_2^2 - \|x_{T} - x^*\|_2^2 \Big) \le \frac{\|x_0 - x^*\|_2^2}{2\eta T}. \end{array} \]

    倒数第二步成立是因为 \(f(x_{t}), t=0, \ldots\) 是递减的 (\(\eta \in (0, 1 / L)\) 保证了这一点).

强凸优化

  • 强凸函数是 (C.2+) 的一个增强版:

    \[\tag{C.2+} \frac{\sigma}{2} \|y - x\|_2^2 \le f(y) - f(x) - \langle \nabla f(x), y - x \rangle, \quad \sigma > 0. \]

注: \(\sigma = 0\) 时 \(f\) 为凸函数.

  • 实际上, 若 \(f\) 的 Hessian 矩阵满足 \(\sigma \le \lambda_{\min}(H) \le \lambda_{\max} (H) \le L\), 就可以很自然地推导出上面的不等式. 于是乎, 我们常常会听闻条件数 \(\kappa = L / \sigma\) 对于收敛速率的影响, 通常 \(\kappa \rightarrow 1\) 收敛速度越快.

  • 现在的问题是, L-smooth 这个条件 (C.1) 能够保证我们每一次迭代都有 \(f(x_{t+1}) < f(x_t)\), 那 (C.2) 这种对于左边的控制于收敛有什么帮助?

    \[\begin{array}{ll} f(x_{t+1}) - f(x_t) & \ge \langle \nabla f(x_t), x_{t+1} - x_t \rangle + \frac{\sigma}{2} \|x_{t+1} - x_t \|_2^2 \\ & \ge \langle \nabla f(x_t), -\eta \nabla f(x_t) \rangle + \frac{\sigma \eta^2}{2} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \\ & \ge \underbrace{(\frac{\sigma \eta^2}{2} - \eta)}_{[2]} \|\nabla f(x_t)\|_2^2. \end{array} \]

注: \(\eta \in (0, 2 / \sigma) \supset (0, 2 / L)\) 能够保证 [2] 是负的.

  • 于是, 我们可以证明:

    \[\underbrace{(\frac{\sigma \eta^2}{2} - \eta)}_{[2]} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \le f(x_{t+1}) - f(x_t) \le \underbrace{(\frac{L \eta^2}{2} - \eta)}_{[1]} \| \nabla f(x_t)\|_2^2. \]

  • 倘若, 我们沿着之前的思路分析, 容易发现 [2] 会随着 \(\sigma \rightarrow L\) 而变得越大 (绝对值变小), 也就是说, 当 \(\sigma \Rightarrow\) 的时候,

    \[f(x_{t+1}) - f(x_t) \]

    的下降的最大可能幅度是在减小的. 这实在不符合我们的预期, 如果按照这种思路分析, 正当的结论应该是 \(\sigma \rightarrow L\) 收敛性变差才对.

  • 这里, 我们修改下之前 \(f^l\) 的定义:

    \[f^u(x) = f(x_t) + \langle \nabla f(x_t), x - x_t \rangle + \frac{L}{2} \|x - x_t\|_2^2, \\ f^l(x) = f(x_t) + \langle \nabla f(x_t), x - x_t \rangle + \frac{\sigma}{2} \|x - x_t\|_2^2. \]

    我们有:

    1. \(f^l(x) \le f(x) \le f^u(x)\), 所以最小值点 \(x^*\) 比在二者的中间区域;
    2. 我们可以进一步压缩 \((x^*, f(x^*))\) 可能的所在区域, 实际上在上图的绿色框框内部 (更准确的是画线区域):

      \[f^l(x_{t+1}^l) \le f(x^*) \le f^u(x_{t+1}^u), \\ x_{t+1}^l = x_t - \frac{1}{\sigma}\nabla f(x_t) \Rightarrow f(x_{t+1}^l) = f(x_t) - \frac{1}{2\sigma} \|\nabla f(x_t)\|_2^2, \\ x_{t+1}^u = x_t - \frac{1}{L}\nabla f(x_t) \Rightarrow f(x_{t+1}^u) = f(x_t) - \frac{1}{2 L} \|\nabla f(x_t)\|_2^2. \]

      此外, \(x^*\) 所在区域为:

      \[x^* \in \bigg\{ x \in \mathbb{R}^d : \| x - x_t + \frac{1}{\sigma} \nabla f(x_t)\|_2^2 \le \frac{L - \sigma}{L\sigma^2} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \bigg\} =: \mathcal{S}_t. \]

      这是以 \(x_t - \frac{1}{\sigma} \nabla f(x_t)\) 为圆心, \(\sqrt{\frac{L - \sigma}{L\sigma^2}} \|\nabla f(x_t)\|_2\) 为半径的球内.
    3. 由此, 我们可以进一步得到 \((x_t, f(x_t))\) 与 \((x^*, f(x^*))\) 的关系:

      \[\frac{1}{2L} \|\nabla f(x_t)\|_2^2 \le f(x_{t}) - f(x^*) \le \frac{1}{2\sigma} \|\nabla f(x_t) \|_2^2, \\ \frac{1}{\sigma} \Big(1 - \sqrt{\frac{L - \sigma}{L}} \Big) \| \nabla f(x_t)\|_2 \le \|x_t - x^*\|_2 \le \frac{1}{\sigma} \Big(1 + \sqrt{\frac{L - \sigma}{L}} \Big) \| \nabla f(x_t)\|_2, \]

      所以, 当 \(\sigma \rightarrow L\) 的时候, 我们有 \(f(x_t) - f(x^*)\) 可能更接近, 同时 \(x_t - x^*\) 的距离可能越小.
  • 总而言之, \(\sigma > 0\) 的作用其实是告诉我们这个强凸函数的 \((x^*, f(x^*))\) 可以被限制在一个区域里面, 倘若 \(\sigma = 0\), 实际上 \(f^u\) 的之下的区域都是有可能, 自然就不会有上述的性质, 自然收敛性会差一点.

  • ok, 接下来, 让我们具体地证明一下收敛性, 这里我们把视角放的更大一点, 令

    \[x_{t+1} \in \mathcal{S}_t \]

    为 \(\mathcal{S}_t\) 中任意的一个点, (传统的梯度下降 with \(\eta = 1/L\) 显然也在其中), 于是我们有 (根据图示了然):

    \[\begin{array}{ll} & f(x_{t}) - f(x_{t+1}) \ge \frac{1}{2L} \|\nabla f(x_t) \|_2^2, \end{array} \]

    于是

    \[\begin{array}{ll} & f(x_{t+1}) - f(x_t) \le -\frac{1}{2L} \|\nabla f(x_t) \|_2^2 \\ \Leftrightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le f(x_{t}) - f(x^*) -\frac{1}{2L} \|\nabla f(x_t) \|_2^2 \\ \Leftrightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le f(x_{t}) - f(x^*) -\frac{1}{2L} 2 \sigma (f(x_t) - f(x^*)) \\ \Leftrightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le f(x_{t}) - f(x^*) -\frac{\sigma}{L} (f(x_t) - f(x^*)) \\ \Leftrightarrow & f(x_{t+1}) - f(x^*) \le (1 -\frac{\sigma}{L}) (f(x_t) - f(x^*)) \\ \Leftrightarrow & f(x_{T}) - f(x^*) \le (1 -\frac{\sigma}{L})^T (f(x_0) - f(x^*)). \end{array} \]

    由于 \(1 - \sigma / L < 1\), 我们便证明了收敛性 (而且是很强的收敛性).

  • 在特殊的情况下 (\(\sigma / L > 8 / 9\)), 我们可以证明, \(\|x_t -x^*\|_2\) 也是单调下降的:

    \[\begin{array}{lll} \|x_{t+1} - x^*\|_2 & \le 2 \frac{1}{\sigma} \sqrt{\frac{L - \sigma}{L}} \|\nabla f(x_t)\|_2 & \leftarrow x_{t+1} \in \mathcal{S}_t \\ & \le 2 \frac{1}{\sigma} \sqrt{\frac{L - \sigma}{L}} \frac{\sigma}{1 - \sqrt{\frac{L-\sigma}{L}}} \|x_t - x^*\|_2 & \leftarrow x^* \in \mathcal{S}_t \\ & = 2 \frac{1}{\sqrt{\frac{L}{L - \sigma}} - 1} \|x_t - x^*\|_2 < \|x_t -x^*\|_2 & \leftarrow \sigma / L > 8 / 9 \end{array}. \]

    这也进一步说明了 \(\sigma \rightarrow L\) 的重要性.

注: 我本来想证明一般情况下也有这个性质来着, 但是似乎是困难的, 因为仅凭画图我们就可以做出 \(x^*\) 位于 \(x_{t}, x_{t+1}\) 之间的情况. 所以我感觉除非上述条件成立 (即区域非常小), 不然很难保证 \(\|x_t - x^*\|_2\) 是恒下降的. 当然了, 或许我们能够通过约束 \(x_{t+1}\) 的范围来保证这一点. 比如, 我们取

\[x_{t+1} \leftarrow x_t - \frac{1 - \sqrt{\frac{L - \sigma}{L}}}{\sigma}a \nabla f(x_t), \]

此时 \(x_{t+1}\) 恰在 \(x_t\) 在 \(\mathcal{S}_t\) 的投影上, 所以必有:

\[\|x_{t+1} - x^*\|_2 \le \|x_t - x^*\|_2. \]

但是, 想要设计一个算法近似这种应该是很难的吧.

标签:le,frac,sigma,nabla,eta,Big,收敛,优化,小记
From: https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/18310369

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