一般地，如果矩阵中的加法和乘法满足一个半环，那么矩阵乘法满足交换律。
一个半群由集合 \(A\) 和两个定义在 \(A\) 上的二元运算 \(\oplus\) 和 \(\otimes\) 构成，其中：
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\((A,\oplus)\) 是一个交换幺半群，满足：
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\(\oplus\) 满足交换律，即对于任意 \(a,b\in A\)，有 \(a\oplus b=b\oplus a\)；
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\(\oplus\) 满足结合律，即对于任意 \(a,b,c\in A\)，有 \(a\oplus (b\oplus c) = (a\oplus b)\oplus c\)；
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存在一个零元 \(0\in A\)，使得对于任意 \(a\in A\)，\(0+a=a+0=a\)。
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\((A,\otimes)\) 是一个幺群，满足：
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\(\otimes\) 满足结合律，即对于任意 \(a,b,c\in A\)，有 \(a\otimes (b\otimes c) = (a\otimes b)\otimes c\)；
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存在一个一元 \(1\in A\)，是的对于任意 \(a\in A\)，\(1\otimes a=a\otimes 1 = a\)。
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\(\otimes\) 对 \(\oplus\) 满足分配率，即：
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对于任意 \(a,b,c\in A\)，满足 \(a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\)；
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对于任意 \(a,b,c\in A\)，满足 \((a\oplus b)\otimes c=(a\otimes c)\oplus (b\otimes c)\)。
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对于任意 \(a\in A\)，与零元满足 \(0\otimes a=a\otimes 0=0\)。
例如如下群满足以上条件：
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\(A=\mathbb R\cup \{-\infty \}\)，\(\otimes\) 为加法，\(\oplus\) 为 \(\max\)；
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\(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\)，$\otimes $ 为按位与，\(\oplus\) 为按位或，其中 \(n\in \mathbb Z^*\)；
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\(A=[0,2^n)\cap\mathbb Z\)，$\otimes $ 为按位与，\(\oplus\) 为按位异或，其中 \(n\in \mathbb Z^*\)。
翻译自 Editorial - AtCoder Beginner Contest 236
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