评价类模型-层次分析法

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process 即 AHP) 是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授T . L. Saaty 于 20 世纪 70 年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。 AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP 进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

1模型介绍

1.1引入模型

根据某同学选取哪一所学校引入模型：

1.2提出问题

1.3解决问题

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料（知网） 进行结合，从中筛选出最合适的指标。

找不到文献，可以去网站：

强烈推荐一个很腻害的网站：

虫部落 ‐ 快搜： https://search.chongbuluo.com/ 优先级：  谷歌搜索（国内进不去的话就使用百度搜索吧）  微信搜索  知乎搜索

1.4判断矩阵

问题：一次性考虑n个指标之间的关系，往往考虑不周。解决方法：两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

根据具体问题和重要程度表，获得判断矩阵

判断矩阵中的元素只能是1至 9和它们的倒数。

1.5一致矩阵

填写判断矩阵的权重容易出现不一致问题：

苏杭比北戴河景色好一点 A > B 苏杭和桂林景色一样好 A = C 北戴河比桂林景色好一点 B > C

一致矩阵满足：

两个矩阵的特点： 各行（各列）之间成倍数关系

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

1.6一致性检验

1.6.1理论引入

原理： 检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

一致矩阵充要条件：矩阵元素大小>0，主对角线为1，各行各列成倍数关系。

1.6.2检验步骤

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

1.7计算权重

在计算权重之前一定要进行一致性检验和归一化处理！！！！

如果不进行一致性检验，每一列的权重算出来的权重会不一致。

所以基于判断矩阵计算权重的方法有：

1.7.1算术平均法求权重

假设n阶

1、每一个元素除以所在列的和（归一化）

2、每一行求和

3、每一行的和除以n

1.7.2几何平均法求权重

1.7.3特征值法求权重

特征值法使用的最多！！！

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

前提：一致性可以接受，即CR < 0.1

1.7.4matlab代码

注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)
% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

2层次分析法

2.1步骤

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶 层次结构

2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据， 可以考虑利用这些数据进行计算。

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

三种方法计算权重： （ 1 ）算术平均法（ 2 ）几何平均法（ 3 ）特征值法强烈建议大家在比赛时三种方法都使用：以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的 稳健性 ，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：（ 1 ）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验； （2 ）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程

CR > 0.1 如何修正？ 往一致矩阵上调整,一致矩阵各行成倍数关系

4 . 根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

2.2局限性

不适用于指标已知的情况，且指标n最多为15。

3代码知识点

1. Matlab 基本的小常识分号的作用、注释的快捷键、clc 和 clear 、 disp 和 input 2. sum 函数 3. Matlab 中如何提取矩阵中指定位置的元素？ 4. size 函数 5. repmat 函数 6. Matlab 中矩阵的运算 ( 加点和不加点 ) 7. Matlab 中求特征值和特征向量 8. find 函数的基本用法 9. 矩阵与常数的大小判断运算 10. 判断和循环语句

3.1.1 Matlab基本的小常识

% clear可以清楚工作区的所有变量
clear


% clc可以清除命令行窗口中的所有文本,让屏幕变得干净
clc


%% 输出和输入函数(disp 和 input)
% disp函数
a = [1,2,3]    %同一行中间用逗号分隔，也可以不用逗号，直接用空格
a = [1 2 3]
disp(a) 


% matlab中两个字符串的合并有两种方法
% （1）strcat(str1,str2……,strn) 
 strcat('字符串1','字符串2') 
% （2）[str 1,str 2，……, str n]或[str1  str2  ……  strn]


% 一个有用的字符串函数：num2str  将数字转换为字符串
c = 100
num2str(c)
disp(['c的取值为' num2str(c)])


% input函数
% 一般我们会将输入的数、向量、矩阵、字符串等赋给一个变量，这里我们赋给A
A = input('请输入A：');

3.1.2sum函数

%% sum函数
% （1）如果是向量（无论是行向量还是列向量），都是直接求和
E = [1,2,3]
sum(E)
% （2）如果是矩阵，则需要根据行和列的方向作区分
clc
E = [1,2;3,4;5,6]
a = sum(E,1)%按列求和(得到一个行向量） 
a = sum(E,2) %按行求和(得到一个列向量）
a = sum(sum(E))%对整个矩阵求和
a = sum(E(:))

3.1.3提取矩阵中指定位置的元素

%% 基础：matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
% （1）取指定行和列的一个元素（输出的是一个值）
clc;A=[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1];
A
A(2,1)

% （2）取指定的某一行的全部元素（输出的是一个行向量）
clc;A
A(2,:)

% （3）取指定的某一列的全部元素（输出的是一个列向量）
clc;A
A(:,1)

% （4）取指定的某些行的全部元素（输出的是一个矩阵）
clc;A
A([2,5],:)      % 只取第二行和第五行（一共2行）
A(2:5,:)        % 取第二行到第五行（一共4行）
A(2:2:5,:)     % 取第二行和第四行 （从2开始，每次递增2个单位，到5结束）

A(2:end,:)      % 取第二行到最后一行
A(2:end-1,:)    % 取第二行到倒数第二行
% （5）取全部元素(按列拼接的，最终输出的是一个列向量)
clc;A
A(:)

3.1.4size函数

%% size函数
% size(A)函数是用来求矩阵A的大小的,它返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
[r,c] = size(A)
% 将矩阵A的行数返回到第一个变量r，将矩阵的列数返回到第二个变量c
r = size(A,1)  %返回行数
c = size(A,2) %返回列数

3.1.5repmat函数

%% repmat函数
% B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块，即把A作为B的元素，B由m×n个A平铺而成。
A = [1,2,3;4,5,6]
B = repmat(A,2,1)

3.1.6 Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)

%% Matlab中矩阵的运算
% MATLAB在矩阵的运算中，“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法(A/B = A*inv(B))
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A * B
A / B
inv(B)  % 求B的逆矩阵

% 两个形状相同的矩阵对应元素之间的乘除法需要使用“.*”和“./”
A = [1,2;3,4]
B = [1,0;1,1]
A .* B
A ./ B

% 每个元素同时和常数相乘或相除操作都可以使用
A = [1,2;3,4]
A * 2
A .* 2
A / 2 
A ./ 2

% 每个元素同时乘方时只能用 .^
A = [1,2;3,4]
A .^ 2
A ^ 2 
A * A

3.1.7. Matlab中求特征值和特征向量

%% Matlab中求特征值和特征向量
% 在Matlab中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法：
A = [1 2 3 ;2 2 1;2 0 3]
% （1）E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
E=eig(A)
% （2）[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。（V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量）
[V,D]=eig(A)

3.1.8. find函数的基本用法

%% find函数的基本用法
% find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
clc;X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6]
ind = find(X)
% 其有多种用法，比如返回前2个不为0的元素的位置：
ind = find(X,2)

%二维
clc;X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
ind = find(X)
% 这是因为在Matlab在存储矩阵时，是一列一列存储的，按照列拼接，再查询
X(4)
[r,c] = find(X)
[r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素

3.1.9. 矩阵与常数的大小判断运算

%% 矩阵与常数的大小判断运算
% 共有三种运算符：大于> ;小于< ;等于 ==  （一个等号表示赋值；两个等号表示判断）
clc
X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
X > 0
X == 4

3.1.10. 判断和循环语句

%% 判断语句
% Matlab的判断语句，if所在的行不需要冒号，语句的最后一定要以end结尾 ；中间的语句要注意缩进。
a = input('请输入考试分数:')
if a >= 85  
    disp('成绩优秀')
elseif a >= 60 
    disp('成绩合格')
else
    disp('成绩挂科')
end

细节代码就不发布在笔记上面，只供博主自己学习了。

4模型拓展

5代码优化

1.请对代码进行优化，例如输入判断矩阵A时，是否能自动检查矩阵A为正互反矩阵？

disp('请输入判断矩阵A') 
A=input('A=');
% 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同）
ERROR = 0;  % 默认输入是没有错误的
%(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
[r,c]=size(A);
%size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数
%[r,c]=size(A)  %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c

if r ~= c  || r <= 1
    ERROR = 1;
end

%(2)检验是否为正互反矩阵  a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
if ERROR == 0
    [n,n] = size(A);
    % 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
    % 判断是否有元素小于0
    %    for i = 1:n
    %        for j = 1:n
    %            if A(i,j)<=0
    %                ERROR = 2;
    %            end
    %        end
    %    end
    if sum(sum(A <= 0)) > 0
        ERROR = 2;
    end
end

%顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维
if ERROR == 0
    if n > 15
        ERROR = 3;
    end
end

if ERROR == 0
    % 判断  a_ij * a_ji = 1 是否成立
    if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0
        ERROR = 4;
    end
    % A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置
    % ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵
    % ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵
    % MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
    % 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1
end


if ERROR == 0
    %其他代码
elseif ERROR == 1
    disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
elseif ERROR == 2
    disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
elseif ERROR == 3
    disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量')
elseif ERROR == 4
    disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
end

2.如果我们输入的是一个二阶的判断矩阵，请观察结果有什么问题？怎么改进代码来修正这个问题。（提示：二阶判断矩阵一定是一致矩阵）

% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

6总结

层次分析法适用于评价类问题，拿到问题先确定评价目标、评价方案、评价指标，指标可以从题目中来，也可以参考其他资料，然后根据评价指标构建判断矩阵，经过一致性检验和归一化处理，参照算术平均法、几何平均法、特征值法求对应的权重。

局限性：不适用于已知指标或指标数大于16的问题。

标签：disp,判断,层次,权重,模型,元素,矩阵,分析法,3.1
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