常曲率空间分类问题

推论 12.5 （常曲率流形的单值化定理）

完整、连通的 \(n\) 维黎曼流形 \((M, g)\) 如果具有常截面曲率，则在等距意义下，正是形如 \(\widetilde{M} / \Gamma\) 的黎曼商，这里 \(\widetilde{M}\) 是常曲率模型空间 \(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{S}^n(R)\) 或 \(\mathbb{H}^n(R)\) 之一，\(\Gamma\) 是在 \(\widetilde{M}\) 上自由作用的 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 的离散子群。

证明:

1. 首先，假设 \((M, g)\) 是具有常截面曲率的完整、连通的黎曼 \(n\) 维流形，并设 \(\pi : \widetilde{M} \to M\) 是它的通用覆盖流形，带有拉回度量 \(\widetilde{g} = \pi^* g\)。前述定理表明 \((\widetilde{M}, \widetilde{g})\) 等距于模型空间之一，因此我们可以将它视为模型之一。命题 C.20 表明覆盖自同构群 \(\Gamma\) 在 \(\widetilde{M}\) 上自由且适当地作用，并且推论 2.33 表明 \(M\) 等距于 \(\widetilde{M} / \Gamma\)。此外，如果 \(\varphi\) 是任何覆盖自同构，那么 \(\pi \circ \varphi = \pi\)，因此 \(\varphi^* \pi^* g = \pi^* g = \widetilde{g}\)；因此 \(\Gamma\) 等距地作用，因此它是 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 的子群。
   为了证明 \(\Gamma\) 是离散的，假设 \(\{\varphi_i\} \subseteq \Gamma\) 是 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 中带有聚点的无限集。（注意，问题 5-11 表明 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M}, \widetilde{g})\) 是在每种情况下平滑作用于 \(\widetilde{M}\) 的李群，因此可以讨论 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 的拓扑结构）。由于 \(\Gamma\) 的作用是自由的，对于 \(\widetilde{M}\) 中的每个点 \(\widetilde{p}\)，集合 \(\{\varphi_i(\widetilde{p})\}\) 是无限的，并且由于作用的连续性，它在 \(\widetilde{M}\) 中有一个聚点。但这是不可能的，因为点 \(\{\varphi_i(\widetilde{p})\}\) 都在覆盖映射 \(\pi\) 下投射到 \(M\) 中的同一点，因此在 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 中形成了一个闭合的离散集。因此 \(\Gamma\) 是离散的。

2. 反过来，假设 \(\widetilde{M}\) 是模型空间之一，并且 \(\Gamma\) 是 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 中在 \(\widetilde{M}\) 上自由作用的离散子群。那么 \(\Gamma\) 是 \(\mathrm{Iso}(\widetilde{M})\) 的闭李子群，由命题 C.9 可知，问题 6-28 的结果表明它在 \(\widetilde{M}\) 上适当地作用。因此由推论 2.32 可知，\(\widetilde{M} / \Gamma\) 是光滑流形，并且有一个唯一的黎曼度量，使得商映射 \(\pi : \widetilde{M} \to \widetilde{M} / \Gamma\) 是黎曼覆盖，并且由推论 6.24 可知 \(\widetilde{M} / \Gamma\) 是紧的。由于黎曼覆盖在局部是等距的，\(\widetilde{M} / \Gamma\) 具有常截面曲率。

评述:

一个具有常数截面曲率的完备连通黎曼流形被称为空间形式。空间形式被称为球形、欧几里得或双曲，具体取决于其截面曲率是正的、零的或负的。前述推论结合了问题5-11中给出的单连通模型空间的等距群的特征，实质上将空间形式的分类简化为分类不含固定点的 \(E(n)\)、\(O(n + 1)\) 和 \(O^+(n, 1)\) 的离散子群的群论问题。然而，这个群论问题仍然非常困难!

译自 John M Lee, Introduction to Riemannian Manifolds.