AVL 树

标签：Node bf cur parent else AVL left

概念

节点定义

整体框架

概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
—棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树:

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

下面就是一个AVL树：

节点定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf; //平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

整体框架

template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
 
private:
	Node* _root = nullptr;
}

插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}

			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	return true;
}

平衡因子更新规则

1.新增在左，平衡因子--；新增在右，平衡因子++。

2.更新后，会出现三类情况：平衡因子==0；平衡因子==（1，-1）；平衡因子==（2，-2）。

3.更新后平衡因子==0，说明更新前父节点平衡因子是1或者-1，更新后子树高度没有发生变化，因此不需要继续向上调整。

4.更新后平衡因子==（1，-1），说明更新前父节点平衡因子是0，更新后子树高度发生变化，因此需要继续向上调整。

5.更新后平衡因子==（2，-2），说明更新前父节点平衡因子是1或者-1，更新后子树高度发生变化，而且此时已经违背AVL树定义了，需要进行旋转。

旋转

左单旋

新插入节点在较高右子树的右侧【右右】

注：30标为parent，60标为subR，b标为subRL。

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	subR->_left = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	parent->_parent = subR;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	if (_root == parent)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}

		subR->_parent = parentParent;
	}

	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

右单旋

新插入节点在较高左子树的左侧【左左】

注：60为parent，30为subL，b为subLR。

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	if (_root == parent)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}

		subL->_parent = parentParent;
	}

	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

右左双旋

新插入节点在较高右子树的左侧【右左】

注：30是parent，90是subR，60是subRL。

以上图为例，此时平衡因子的调节将分为3种情况：60就是新增；新增在b；新增在c。

【1】60就是新增

【2】新增在b

【3】新增在c

那么如何区分以上三种情况呢？--------可以通过新增节点后60的平衡因子来进行区分

若是【1】，60的平衡因子是0；

若是【2】，60的平衡因子是-1；

若是【3】，60的平衡因子是1。

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		// subRL自己就是新增
		parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		// subRL的左子树新增
		parent->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		// subRL的右子树新增
		parent->_bf = -1;
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

左右双旋

新插入节点在较高左子树的右侧【左右】

注：90是parent，30是subL，60是subLR。

以上图为例，此时平衡因子的调节将分为3种情况：60就是新增；新增在b；新增在c。

思路和右左双旋一样，这里就不再赘述。

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	if (bf == 0) {
		subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1) {
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1) {
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else {
		assert(false);
	}
}

完整代码

#pragma once
#include<assert.h>

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf; //平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}

				// 1、旋转让这颗子树平衡了
				// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		parent->_parent = subR;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}

			subR->_parent = parentParent;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			// subRL自己就是新增
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			// subRL的左子树新增
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			// subRL的右子树新增
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0) {
			subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) {
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1) {
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else {
			assert(false);
		}
	}


	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

标签：Node,bf,cur,parent,else,AVL,left
From： https://blog.csdn.net/wmh_1234567/article/details/139889778

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