微积分基本公式

标签：基本 Phi le 函数 int 公式 微积分 积分 dt

积分上限的函数及其导数

设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(x\)为 \([a,b]\) 上任意一点，则\(f(x)\)在 \([a,b]\) 区间也是连续的
因此定积分： \(\int_{a}^{x} f(t)dt\) 存在
故对任意 \(x \in [a,b]\)，有唯一确定的数 \(\int_{a}^{x} f(t)dt\) 与之对应

由此在 \([a,b]\) 上定义了一个新的函数，称其为积分上限的函数，记作 \(\Phi (x)\) （如下图） ，即：

\[\Phi (x)=\int_{a}^{x} f(t)dt , (a \le x \le b) \]

---

Theorem

expression

若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，则积分上限的函数：

\[\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt \]

在 $[a,b] $ 上连续可导，并且它的导数为:

\[\Phi' (x)= \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt=f(x), \enspace \enspace (a\le x \le b) \]

proof

---

标签：基本,Phi,le,函数,int,公式,微积分,积分,dt
From： https://www.cnblogs.com/Preparing/p/18263736