参考教材:
- 振动力学,(刘延柱,陈文良,陈立群),出版日期1998.10
- 结构动力学,克拉夫,第二版
阻尼性能是我硕士课题的主要工作,着眼点在:如何描述符合材料结构的阻尼?什么因素影响了结构的阻尼性能大小?怎么表示阻尼性能的大小?如何计算阻尼性能?
阻尼模型
- 梁超锋. 混凝土材料与结构阻尼测试、增强与表达[D]. 黑龙江:哈尔滨工业大学,2005. DOI:10.7666/d.Y820173.
动力学教材笔记
机构动力学概述
结构动力学是研究任何给定类型的结构在承受任意动力荷载时应力和变位的分析方法.动力载荷意为:大小、方向和作用点随时间变化的任意荷载.
分类:
- 非随机:荷变化规律明确,但可以用统计方法进行分析
- 周期性
- 非周期性
- 随机:载荷变化规律不明显,但可以用统计方法进行分析.
动力学问题和静力学问题的区别:
- 静力学的解是单一解,而动力学的解是与载荷,时间有关的一系列解.
- 动力学分析时,由于载荷与时间相关P=p(t),分析时还需要考虑惯性力(结构加速度引起的).
如果结构在p(t)作用下,运动缓慢,惯性力可以忽略,则即使结构载荷和反应与时间相关,对任何所需瞬时的分析,仍可用结构静力分析方法来解决.
单自由度体系的自由振动分析
最简单的单自由度体系:
承受外部激励源或荷载的任何线性弹性结构的基本物理特性是:体系的质量m, 弹性特性(柔度或刚度)k, 能量耗散机理或阻尼c
动力学运动方程为:
\[m\ddot{v}\left(t\right)+c\dot{v}\left(t\right)+kv\left(t\right)=p\left(t\right) \]支座激励的影响
结构的动应力和动挠度不仅可以由载荷p(t)引起,而且可以由结构支撑点运动引起.(也就是abaqus中的 base motions),地震激励就是典型的支座激励.
建立一个地震激励的简单体系:
\(f_{l}(t)\)是结构的惯性力.\(v_{g}(t)\)是结构基底位移.
运动学方程为\(f_l(t)+f_D(t)+f_S(t)=0\), 弹性力项和阻尼力项和之前一致,惯性力项:\(f_{l}(t)=m\ddot{v}^{t}(t)\),\(v^{t}(t)\)表示质量对固定参考轴的总位移.总方程为:
\[m\ddot{v}^t(t)+c\dot{v}(t)+kv(t)=0 \]将\(v^{t}(t)=v(t)+v_{s}(t)\)带入上式,得:
\[m\ddot{v}\left(t\right)+c\dot{v}\left(t\right)+kv\left(t\right)=-m\ddot{v}_{s}\left(t\right)\equiv p_{\mathrm{elf}}\left(t\right) \]\(p_{\mathrm{elf}}\left(t\right)\)表示等效支座激励载荷.
无阻尼自由振动
运动方程:
\[m\ddot{v}(t)+c\dot{v}(t)+kv(t)=0 \]自由震动的位移通解有形如:
\[v(t)=G\exp(st) \]其中,G是任意复常数,\(G=G_R+iG_l =\overline{G}\exp(i\theta)\).将v(t)代入方程后,并引入记号:\(\omega^2\equiv\frac km\)
\[(ms^2+cs+k)G\exp(st)=0 \]\[s^2+\frac cms+\omega^2=0 \]可以看出,只要求出方程的根s,就可以得到运动方程的解.而根依赖于C相对于m,k的相对值.即阻尼大小决定了体系的动力反应.
令\(c=0\),则有:\(s_{1,2}=\pm i\omega\),因此:\(v(t)=G_{1}\exp(i\omega t)+G_{2}\exp(-i\omega t)\)
讨论复常数\(G_{1},G_{2}\)的大小,有:
\[G_{1}=G_{1R}+iG_{1I};\quad G_{2}=G_{2R}+iG_{2I} \]\[v(t)=(G_{1R}+iG_{1I})(\cos\omega t+i\sin\omega t)+(G_{2R}+iG_{2I})(\cos\omega t-i\sin\omega t) \]\[v(t)=(G_{1R}+G_{2R})\cos\omega t-(G_{1l}-G_{2l})\sin\omega t+ i[(G_{11}+G_{21})\cos\omega t+(G_{1R}-G_{2R})\sin\omega t] \]考虑到自由振动的结果必须是实数,因此虚部为0.即:\(G_{1I}=-G_{2I}=G_I;\quad G_{1R}=G_{2R}=G_R\).可见G1,G2互为共轭复数:\(G_{1}=G_{R}+iG_{I};\quad G_{2}=G_{R}-iG_{I}\).最终自由振动解为:
\[v(t)=(G_{R}+iG_{I})\exp(i\omega t)+(G_{R}-iG_{I})\exp(-i\omega t) \]使用euler变换对\(v(t)\)再进行化简,得:
\[v(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t;\quad A=2G_R , B=-2G_I \]通过边界条件(\(v(0),\ddot{v}(0)\)),可以确定A,B.最终,无阻尼自由振动位移解为:
\[v(t)=v(0)\cos\omega t+\frac{\dot{v}(0)}{\omega}\sin\omega t \]
式中:
- \(v(0)\):初始速度
- \(\dot{v}(0)\):初始加速度
- \(\omega\):角频率
- 运动频率\(f=\frac{\omega}{2\pi}\),单位为Hz.
- 运动周期\(\frac1f=\frac{2\pi}\omega=T\),单位为秒.
位移解的另一形式:
\[v(t)=\rho\mathrm{cos}(\omega t+\theta) \]振幅为:
\[\rho=\sqrt{\left[v(0)\right]^{2}+\left[\frac{\dot{v}\left(0\right)}{\omega}\right]^{2}} \]相位为:
\[\theta=\tan^{-1}\left[\frac{-\dot{v}(0)}{\omega v(0)}\right] \]其他知识
- 欧拉方程
