标题释义：虞（舜）的功绩，可以与尧和伊尹并列。
\[\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \]域扩张的阶数，为以域扩张基域中元素为线性组合系数时，基底大小。
对于不可约多项式 \(p(x)\)，\(F[x]/(p(x))\) 是 \(F\) 的域扩张。令 \(\alpha\) 为 \(p(x)\) 的任一根，则该扩张即为单代数扩张 \(F(\alpha)\)。同时，\(p(x)\) 为 \(\alpha\) 的极小多项式。
假如 \(F\cong F'\)，\(p(x)\in F[x]\) 在该同构下的像为 \(p'(x)\)。考虑 \(E/F\) 与 \(E'/F'\)，该同构被扩充至 \(E\cong E'\) 上，且 \(E\) 上包含 \(\alpha\)，\(E'\) 上包含 \(\alpha'\)，则 \(F(\alpha)\cong F'(\alpha')\)，均同构于 \(F[x]/(p(x))\) 或 \(F'[x]/(p'(x))\)。也即，所有根在代数意义下不可区分。
有 \(F[x]/(p(x))\cong F'[x]/(p'(x))\)。
\(F[x]/(p(x))\) 的阶数与多项式的阶数相同，且令 \(x\) 在自然同态下的像为 \(\theta\)，则 \(1,\theta,\dots,\theta^{n-1}\) 构成 \(F[x]/(p(x))\) 的基。
代数元是那些可以被写成多项式的根的元。我们事实上绝大多数时候都仅考虑代数元不考虑超越元。
代数元的加减乘除均是代数元：因为 \(F(\alpha,\beta)\) 是域。因此所有代数元成域。
代数元当且仅当单代数扩张是有限扩张，此时 \(1,\alpha,\dots,\alpha^n\) 初次线性相关的 \(n\) 即同为 \(\alpha\) 和扩张的阶数。
由此得到推论，有限扩张必是代数扩张；但是存在无限代数扩张。【取 \(U_n\) 为全体不高于 \(n\) 次单位根张成的域，然后令 \(n\to\infty\)，即得无限代数扩张】
\([E:F]=[E:K][K:F]\)，把基展开两次即证。
复合域 \(K_1K_2\) 为包含 \(K_1K_2\) 的最小扩域。易知 \([K_1K_2:F]\leq[K_1:F][K_2:F]\)，其中当且仅当一个域的基底在另一个域上线性无关。
特别地，假如 \(K_1/F\) 或 \(K_2/F\) 二者之一是 Galois 的，可知 \([K_1K_2:F]=\dfrac{[K_1:F][K_2:F]}{[K_1\cap K_2:F]}\)。此时，只要 \(K_1,K_2\) 无交，则取得等号。
特别地，如果两扩张的阶数互质，则必取等。
分裂域是 \(f(x)\) 完全分解但是在任何子域中均不完全分解的域。
每次剥一个项下来，可知同构域上相对应多项式的分裂域同构。推论为分裂域唯一。
正规扩张是所有不可约多项式要么完全分解，要么仍不可约的扩张。
有限正规扩张等价于某个多项式的分裂域。
分裂域 \(E/F\) 是正规扩张：若 \(\alpha\in E\) 是根，则 \(F(\alpha)(f)=E(\alpha)\cong E\)。不可约 \(g\) 除 \(\alpha\) 外的另一个根是 \(\beta\)，则 \(F(\beta)\cong F(\alpha)\)，且 \(F(\beta)(f)\cong E\)，于是 \(\beta\in E\)。
反之，有限正规扩域可以被解释为所有生成元的极小多项式之积，其分裂域。
正规扩张的等价定义：\(E/F\) 是正规扩张，当且仅当 \(\Aut(\bar F/F)\) 固定 \(E\)，其中 \(\bar F\) 是代数闭包。
正规扩张的交仍是正规扩张。因此可以定义正规闭包，即极小正规扩张。
正规扩张有继承性，即若 \(K/M/F\) 中有 \(K/F\) 正规则 \(K/M\) 正规。证明靠把 \(K/F\) 写成分裂域证。
代数闭包是所有多项式均完全展开的闭包。可知：所有正规扩张均包含正规闭包，且所有正规扩张均包含于代数闭包。
可分多项式无重根。可分多项式可以经由定义导数，然后求 \(\gcd(f(x),f'(x))\) 计算：若 \(\gcd\) 为 \(1\) 则可分，否则不可分。
完美域是不可约多项式等价于可分多项式的域。首先，不可约多项式不可分，若其导数为零；有且仅有 \(x^{kp}\) 其中 \(p\) 是特征这些项导数为零，因此可分不可约的多项式必然可以写成 \(f(x^p)\) 的形式。若域中所有元素都可以开 \(p\) 次根则其可以写成 \(g(x)^p\) 进而可约。于是，满足所有元素可以开 \(p\) 次根的域是完美域。有限域的场合由 Frobenius 自同构可知能开根。于是有结论：
- 所有有限域和零特征域都是完美域。
可分扩张是所有元素均为可分多项式根的扩张。换言之，所有极小多项式都可分。进而，完美域上所有代数扩张均为可分扩张。
对于代数元 \(\alpha\)，所有在 \(F\) 任一含 \(\alpha\) 的 Galois 扩张中，保 \(F\) 自同构 \(\sigma\) 下的 \(\sigma\alpha\)，构成 \(\alpha\) 极小多项式的全体根（但不一定仅出现一次）。
例如，已知 \(K_1/F\) 和 \(K_2/F\) Gal 群的结构，则可以用它们的直积得到 \(K_1K_2/F\) Gal 群的结构。比如说计算 \(\sqrt 2+\sqrt[3]3\) 的极小多项式时，注意 \(\sqrt2\) 在 Galois 扩张 \(\Q(\sqrt2)/\Q\) 中，\(\sqrt[3]3\) 在 Galois 扩张 \(\Q(\omega_3,\sqrt[3]3)/\Q\) 中，因此 \(\sqrt2\) 仅能被映到 \(\pm\sqrt2\)，\(\sqrt[3]{3}\) 仅能被映到 \(\rho^k\sqrt[3]3\)，可知该六根即为极小多项式全体根。
在任一扩张中，中间域总是与自同构群的子群存在对应关系，但是仅在 Galois 扩域中该对应是一一对应。同时，小群固定大域，因此其满足反包含关系。
若 \(E\) 是不可约 \(f(x)\) 分裂域，则 \(|\Aut(E/F)|\leq[E:F]\)，因为 \(|\Aut(E/F)|\) 等于不可约 \(f(x)\) 的本质不同根数目（每个映射唯一地把 \(\alpha\) 映到某个 \(\beta\)），通过将可约的 \(f(x)\) 拆成不可约因子之积，得到上式对一切 \(f(x)\) 成立，且在 \(f(x)\) 可分时取等。事实上，\(|\Aut(E/F)|\leq[E:F]\) 对于一切 \(E\) 而非仅仅是分裂域（正规扩张）成立，不过那时的证明更复杂。
通过一坨 character 的分析可知，对于 \(\Aut(K)\) 子群 \(G\)，令其固定域为 \(F\)，则 \([K:F]=|G|\)。因此，对于任一扩张 \(K/F\)，均有 \(|\Aut(K/F)|\leq[K:F]\)。
进一步分析最终可得有限 Galois 扩张的等价条件：
- 有限正规可分扩张。
- \(F\) 恰为 \(\Aut(K/F)\) 的固定域。
- \([K:F]=|\Aut(K/F)|\)。
Galois 基本定理指出：
- 对应反包含关系。
- \([K:E]=|H|\) 且 \([E:F]=|G:H|\)，其中 \(E\) 是 \(K/F\) 中间域，\(H\) 是其双射的 \(\Gal\) 群。
- \(K/E\) 总是 Galois 的，而 \(E/F\) 是 Galois 的当且仅当 \(H\unlhd G\)，此时 \(\Gal(E/F)\cong G/H\)。一般地，就算 \(H\not\unlhd G\) 也有 \(E/F\) 的自同构与陪集 \(\sigma H\) 一一对应。
- \(E_1\cap E_2\) 一一对应 \(\lang H_1,H_2\rang\)，\(E_1E_2\) 一一对应 \(H_1\cap H_2\)。
一些针对 Galois 扩张的特殊结论：
- 若 \(K/F\) Galois，\(E/F\) 任意，则 \(KE/E\) Galois 且 \(\Gal(KE/E)\cong\Gal(K/(K\cap E))\)。
- 推论为 \([K_1K_2:F]=\dfrac{[K_1:F][K_2:F]}{[K_1\cap K_2:F]}\)。
任意扩张有正规闭包，即极小正规扩域。则对可分扩张取正规闭包可得 Galois 闭包。
剩下一坨玩意没意义。
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