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二元分布
满足要求
连续情况下，
φ
(
x
,
y
)
\varphi (x,y)
φ(x,y)为随机变量
X
、
Y
X、Y
X、Y的联合概率分布(二元分布)，如果以下条件满足：
1
、
∀
X
和
Y
值有
0
≤
φ
(
x
,
y
)
≤
1
2
、离散型：
∑
y
∑
x
φ
(
x
,
y
)
=
1
连续型
:
∫
−
∞
+
∞
∫
−
∞
+
∞
φ
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
1
1、\forall X和Y值有 0 \le \varphi(x,y) \le 1 \\2、离散型：\sum_y\sum_x \varphi(x,y)=1 \\ 连续型:\textstyle\intop_{-\infty}^{+\infty}\textstyle\intop_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x,y)dxdy=1
1、∀X和Y值有0≤φ(x,y)≤12、离散型：y∑x∑φ(x,y)=1连续型:∫−∞+∞∫−∞+∞φ(x,y)dxdy=1
边际分布
- φ ( x , y ) \varphi (x,y) φ(x,y)为随机变量 X 、 Y X、Y X、Y的联合概率分布
离散型： X 边际概率密度： φ X ( x ) = P ( X = x ) = ∑ y P ( X = x , Y = y ) = ∑ y φ ( x , y ) Y 边际概率密度： φ Y ( y ) = P ( Y = y ) = ∑ x P ( X = x , Y = y ) = ∑ x φ ( x , y ) 连续型： X 边际概率密度： φ X ( x ) = ∫ φ ( x , y ) d y Y 边际概率密度： φ Y ( y ) = ∫ φ ( x , y ) d x \begin{aligned} & 离散型：\\ & X边际概率密度：\varphi_X(x)=P(X=x)=\sum_yP(X=x,Y=y)=\sum_y\varphi (x,y)\\ & Y边际概率密度：\varphi_Y(y)=P(Y=y)=\sum_xP(X=x,Y=y)=\sum_x\varphi (x,y)\\ & 连续型：\\ & X边际概率密度：\varphi_X(x)=\intop\varphi(x,y)dy\\ & Y边际概率密度：\varphi_Y(y)=\intop\varphi(x,y)dx\\ \end{aligned} 离散型：X边际概率密度：φX(x)=P(X=x)=y∑P(X=x,Y=y)=y∑φ(x,y)Y边际概率密度：φY(y)=P(Y=y)=x∑P(X=x,Y=y)=x∑φ(x,y)连续型：X边际概率密度：φX(x)=∫φ(x,y)dyY边际概率密度：φY(y)=∫φ(x,y)dx
条件概率
P ( A ∣ B ) = P ( A ⋂ B ) P ( B ) P(A|B)=\frac {P(A\bigcap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A⋂B)
例子1
设 : P ( 0 , 0 ) = 0.27 , P ( 0 , 1 ) = 0.19 , P ( 0 , 2 ) = 0.24 P ( 1 , 0 ) = 0.1 , P ( 1 , 1 ) = 0.03 ， P ( 1 , 2 ) = 0.17 φ ( x , y ) = P ( X = x , Y = y ) 1 、 0 ≤ φ ( x , y ) ≤ 1 2 、 ∑ x ∑ y φ ( x , y ) = 0.27 + 0.19 + 024 + 0.1 + 0.03 + 0.17 = 1 符合离散型二元分布的要求。 一、求 φ X ( 1 ) = P ( X = 1 ) = ? ，此为条件概率分布 P ( X = 1 ) = P ( Y ∣ X = 1 ) = P ( Y ∣ 1 ) = P ( X ⋂ Y ) P ( X ) = P ( 1 , Y ) P ( 1 ) = P ( 1 , Y ) P ( 1 , 0 ) + P ( 1 , 1 ) + P ( 1 , 2 ) = P ( 1 , Y ) 0.1 + 0.03 + 0.17 = P ( 1 , Y ) 0.3 P ( Y = 2 , X = 1 ) = P ( Y = 2 ∣ 1 ) = P ( 2 ∣ 1 ) = P ( 1 , 2 ) 0.3 = 0.17 0.3 = 0.56 二、边际概率分布 Y 边际概率密度： φ Y ( 2 ) = P ( Y = y ) = P ( Y = 2 ) = ∑ x P ( X = x , Y = 2 ) = ∑ x P ( x , 2 ) = 0.24 + 0.17 = 0.41 设: \\P(0,0)=0.27,P(0,1)=0.19,P(0,2)=0.24 \\P(1,0)=0.1,P(1,1)=0.03，P(1,2)=0.17 \\\varphi (x,y)=P(X=x,Y=y) \\1、0\le \varphi (x,y) \le 1 \\2、\sum_x\sum_y\varphi (x,y)=0.27+0.19+024+0.1+0.03+0.17=1 \\符合离散型二元分布的要求。 \\一、求\varphi_X(1)=P(X=1)=? ，此为条件概率分布 \\P(X=1)=P(Y|X=1)=P(Y|1)=\frac {P(X\bigcap Y)} {P(X)}=\frac {P(1,Y)} {P(1)}=\frac {P(1,Y)} {P(1,0)+P(1,1)+P(1,2)} \\=\frac {P(1,Y)} {0.1+0.03+0.17}=\frac {P(1,Y)} {0.3} \\P(Y=2,X=1)=P(Y=2|1)=P(2|1)=\frac {P(1,2)} {0.3}=\frac {0.17} {0.3}=0.56 \\二、边际概率分布 \\Y边际概率密度：\varphi_Y(2)=P(Y=y)=P(Y=2) \\=\sum_xP(X=x,Y=2)=\sum_xP(x,2)\\=0.24+0.17=0.41 设:P(0,0)=0.27,P(0,1)=0.19,P(0,2)=0.24P(1,0)=0.1,P(1,1)=0.03，P(1,2)=0.17φ(x,y)=P(X=x,Y=y)1、0≤φ(x,y)≤12、x∑y∑φ(x,y)=0.27+0.19+024+0.1+0.03+0.17=1符合离散型二元分布的要求。一、求φX(1)=P(X=1)=?，此为条件概率分布P(X=1)=P(Y∣X=1)=P(Y∣1)=P(X)P(X⋂Y)=P(1)P(1,Y)=P(1,0)+P(1,1)+P(1,2)P(1,Y)=0.1+0.03+0.17P(1,Y)=0.3P(1,Y)P(Y=2,X=1)=P(Y=2∣1)=P(2∣1)=0.3P(1,2)=0.30.17=0.56二、边际概率分布Y边际概率密度：φY(2)=P(Y=y)=P(Y=2)=x∑P(X=x,Y=2)=x∑P(x,2)=0.24+0.17=0.41
例子2
对于 φ ( x , y ) = P ( a x ≤ X ≤ b x , a y ≤ Y ≤ b y ) = ∫ a x b x ∫ a y b y φ ( x , y ) d x d y 1 、 ∀ X 和 Y 值有 0 ≤ φ ( x , y ) ≤ 1 2 、连续型 : ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ φ ( x , y ) d x d y = 1 符合连续型二元分布的要求。 设 : a x = 0 , b x = 1 , a y = 0 , b y = 1 φ ( x , y ) = { 3 x + 5 y 2 if 0 ≤ X ≤ 1 , 0 ≤ Y ≤ 1 0 if e l s e 一、求边际概率分布 φ X ( x ) = ? φ X ( x ) = ∫ φ ( x , y ) d y = ∫ 0 1 φ ( x , y ) d y = ∫ 0 1 ( 3 x + 5 y 2 ) d y = 3 x + 5 ∫ 0 1 y 2 d y = 3 x + 5 3 y 3 ∣ 0 1 = 3 x + 5 3 φ Y ( y ) = ? φ Y ( y ) = ∫ φ ( x , y ) d x = ∫ 0 1 φ ( x , y ) d x = ∫ 0 1 ( 3 x + 5 y 2 ) d x = 3 2 x 2 ∣ 0 1 + 5 y 2 = 3 2 + 5 y 2 给定任意 y 值： φ Y ( 0.5 ) = 3 2 + 5 ∗ 0. 5 2 φ Y ( − 1 ) = 0 二、求条件概率分布 φ X ∣ Y ( x ∣ y ) = P ( X = x , Y = y ) P ( Y = y ) = φ X , Y ( x , y ) φ Y ( y ) φ Y ∣ X ( y ∣ x ) = P ( Y = y , X = x ) P ( X = x ) = φ X , Y ( x , y ) φ X ( x ) φ X ∣ Y ( x ∣ y ) = φ X , Y ( x , y ) φ Y ( y ) = 3 x + 5 y 2 3 2 + 5 y 2 φ Y ∣ X ( y ∣ x ) = φ X , Y ( x , y ) φ X ( x ) = 3 x + 5 y 2 3 x + 5 3 设 y = 0.7 , x ≤ 1 3 φ X ∣ Y ( X ≤ 1 3 , Y = 0.7 ) = P ( X ≤ 1 3 , X = 0.7 ) = ∫ 0 1 3 φ X ∣ Y ( x ∣ 0.7 ) d x = ∫ 0 1 3 3 x + 5 ∗ ( 0.7 ) 2 3 2 + 5 ∗ ( 0.7 ) 2 d x = . . . . . 设 x = 0.7 , y ≤ 1 3 φ Y ∣ X ( Y ≤ 1 3 , X = 0.7 ) = P ( X ≤ 1 3 , X = 0.7 ) = ∫ 0 1 3 φ Y ∣ X ( y ∣ 0.7 ) d x = ∫ 0 1 3 3 ∗ 0.7 + 5 y 2 3 ∗ 0.7 + 5 3 d y = . . . 对于\\\varphi (x,y)=P(a_x\le X\le b_x,a_y \le Y \le b_y)=\textstyle\intop_{a_x}^{b_x}\intop_{a_y}^{b_y}\varphi(x,y)dxdy \\1、\forall X和Y值有 0 \le \varphi(x,y) \le 1 \\2、连续型:\textstyle\intop_{-\infty}^{+\infty}\textstyle\intop_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x,y)dxdy=1 \\符合连续型二元分布的要求。 \\设:a_x=0,b_x=1,a_y=0,b_y=1 \\\varphi(x,y)=\begin{cases} 3x+5y^2 &\text{if } 0 \le X \le 1,0 \le Y\le 1 \\ 0 &\text{if } else \end{cases} \\一、求边际概率分布 \\\varphi_X(x)=? \\\varphi_X(x)=\intop\varphi(x,y)dy\\ \\=\intop_{0}^{1}\varphi(x,y)dy=\intop_{0}^{1}(3x+5y^2)dy=3x+5\intop_{0}^{1}y^2dy=3x+\frac 5 3 {y^3}|_{0}^{1}=3x+\frac 5 3 \\\varphi_Y(y)=? \\\varphi_Y(y)=\intop\varphi(x,y)dx\\ \\=\intop_{0}^{1}\varphi(x,y)dx=\intop_{0}^{1}(3x+5y^2)dx=\frac 3 2 x^2|_0^1+5y^2=\frac 3 2+5y^2 \\给定任意y值： \\\varphi_Y(0.5)=\frac 3 2+5*0.5^2 \\\varphi_Y(-1)=0 \\二、求条件概率分布\\ \begin{aligned} & \varphi_{X|Y}(x|y)=\frac {P(X=x,Y=y)} {P(Y=y)}=\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_Y(y)} \\ &\varphi_{Y|X}(y|x)=\frac {P(Y=y,X=x)} {P(X=x)}=\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_X(x)}\\ \end{aligned} \\ \varphi_{X|Y}(x|y)=\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_Y(y)} =\frac {3x+5y^2} {\frac 3 2+5y^2} \\ \varphi_{Y|X}(y|x)=\frac {\varphi_{X,Y}(x,y)}{\varphi_X(x)} =\frac {3x+5y^2} {3x+\frac 5 3} \\设y=0.7,x \le \frac 1 3 \\\varphi_{X|Y}(X \le \frac 1 3,Y=0.7)=P(X \le \frac 1 3,X=0.7)=\intop_0^{\frac 1 3}\varphi_{X|Y}(x|0.7)dx=\intop_0^{\frac 1 3}\frac {3x+5*(0.7)^2} {\frac 3 2+5*(0.7)^2}dx=..... \\设x=0.7,y \le \frac 1 3 \\\varphi_{Y|X}(Y \le \frac 1 3,X=0.7)=P(X \le \frac 1 3,X=0.7)=\intop_0^{\frac 1 3}\varphi_{Y|X}(y|0.7)dx=\intop_0^{\frac 1 3}\frac {3*0.7+5y^2} {3*0.7+\frac 5 3}dy=... 对于φ(x,y)=P(ax≤X≤bx,ay≤Y≤by)=∫axbx∫aybyφ(x,y)dxdy1、∀X和Y值有0≤φ(x,y)≤12、连续型:∫−∞+∞∫−∞+∞φ(x,y)dxdy=1符合连续型二元分布的要求。设:ax=0,bx=1,ay=0,by=1φ(x,y)={3x+5y20if 0≤X≤1,0≤Y≤1if else一、求边际概率分布φX(x)=?φX(x)=∫φ(x,y)dy=∫01φ(x,y)dy=∫01(3x+5y2)dy=3x+5∫01y2dy=3x+35y3∣01=3x+35φY(y)=?φY(y)=∫φ(x,y)dx=∫01φ(x,y)dx=∫01(3x+5y2)dx=23x2∣01+5y2=23+5y2给定任意y值：φY(0.5)=23+5∗0.52φY(−1)=0二、求条件概率分布φX∣Y(x∣y)=P(Y=y)P(X=x,Y=y)=φY(y)φX,Y(x,y)φY∣X(y∣x)=P(X=x)P(Y=y,X=x)=φX(x)φX,Y(x,y)φX∣Y(x∣y)=φY(y)φX,Y(x,y)=23+5y23x+5y2φY∣X(y∣x)=φX(x)φX,Y(x,y)=3x+353x+5y2设y=0.7,x≤31φX∣Y(X≤31,Y=0.7)=P(X≤31,X=0.7)=∫031φX∣Y(x∣0.7)dx=∫03123+5∗(0.7)23x+5∗(0.7)2dx=.....设x=0.7,y≤31φY∣X(Y≤31,X=0.7)=P(X≤31,X=0.7)=∫031φY∣X(y∣0.7)dx=∫0313∗0.7+353∗0.7+5y2dy=...
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