谢启鸿第四版高等代数第七章习题解析

标签：特征值谢启鸿多项式矩阵极小标准型 Jordan 第四版习题

前言：之前写过两篇第七章习题解析，本篇主要是补充，将之前没有来得及写上的习题补充完整，顺便归个类。前两篇看主页吧，不指路了。

习题7.4部分

1(1).根据下列不变因子组写出有理标准型： $1,1,\lambda ,\lambda (\lambda +1)^{2};$

解：排除0次多项式， $\lambda$ 的友阵为(1),

$\lambda (\lambda +1)^{2}$ 的展开式为 $\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+\lambda$ ,则其友阵为

$\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&-2\\ \end{pmatrix}$

可以得到有理标准型为 $\begin{pmatrix} 0&&&\\ &0&0&0\\ &1&0&-1\\ &0&1&-2\\ \end{pmatrix}$ .

2(1).求下列矩阵的有理标准型。 $\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&2&0\\ -1&1&3\\ \end{pmatrix}$

解：（不想写了只说思路吧，化成特征矩阵形式，然后找各阶行列式因子，然后大除以小，再写友阵）。

5.证明：n阶矩阵A的特征多项式和极小多项式相等的充分必要条件是 $\lambda I_{n}-A$ 的行列式因子为 $1,......,1,D_{n}(\lambda )$ 。

证明：特征多项式因子是所有不变因子的乘积

而极小多项式是最大的不变因子，

又因为 $d_{i}(\lambda )=D_{i}(\lambda )|D_{i+1}(\lambda )$

则如果两者相等，可以显而易见除了极小多项式之外的不变因子全都是1.

7.若k是满足 $A^{k}=0$ 的最小正整数，则称A为k次幂零阵，请写出A的最后一个不变因子，并证明：所有n阶n次幂零阵彼此相似。

证明：设A的特征值是 $\lambda$ ，显而易见这个 $\lambda ^{k}$ 是A的极小多项式，所以A的最后一个不变因子是 $\lambda ^{k}$ ,

想要证明所有n阶n次幂零阵彼此相似，假设两个n阶n次矩阵A，B。

$\because A,B$ 是n阶的n次幂零阵，所以 $f_{A}(\lambda )=m_{A}(\lambda )=m_{B}(\lambda )=f_{B}(\lambda )$ ，所以由第五题结论可以知道，他们特征矩阵的行列式因子一样，都为 $1,......,1,m(\lambda )$ ,所以两个矩阵相似。

8.若n阶矩阵A有n个不同的特征值，求证：A的特征多项式等于极小多项式。

证明：n阶矩阵有n个不同的特征值，所以 $f_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})......(\lambda -\lambda _{n})$ , $f_{A}(\lambda )$ 的因式全都是一次不可约因式，而极小多项式和特征多项式有相同的根，他们就会有相同的一次不可约因式，所以 $f_{A}(\lambda )=m_{A}(\lambda )$ .

9.设数域 $\mathbb{K}$ 上的n阶矩阵A的特征多项式 $f(\lambda )=P_{1}(\lambda)P_{2}(\lambda)......P_{k}(\lambda),$ 其中 $P_{i}(\lambda )(i=1,2,3......k)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互异的首一不可约多项式，求证：A的有理标准型只有一个Frobenius块，并且A在复数域上可对角化。

证明： $\because P_{i}(\lambda )(i=1,2,3......k)$ 都是互异的首一不可约多项式，则极小多项式和特征多项式相等（这句话我已经说倦了）

A的不变因子是 $1,......,1,m(\lambda )$ ，所以A的有理标准型只有一个有理块（Frobenius块）。

$\because$ 一个多项式在复数域上一定能分解成n个一次因式的乘积。

$\therefore$ $f_{A}(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})......(\lambda -\lambda _{n})$ ，

又 $\because$ $P_{i}(\lambda )(i=1,2,3......k)$ 互异且首一不可约。

所以一定会有n个不同的特征值。

$\therefore$ A在复数域上可对角化。

10.设数域 $\mathbb{K}$ 上的n阶矩阵A的不变因子是 $1,......,1,d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda )......d_{k}(\lambda )$ ,其中 $d_{i}(\lambda )$ 是非常数的首一多项式 $d_{i}(\lambda )|d_{i+1}(\lambda )(i=1,2,3......k-1)$ ,求证：对A的任一特征值 $\lambda _{0}$ ， $r(\lambda _{0}I_{n}-A)=n-\sum_{i=1}^{k}\delta _{d_{i}(\lambda _{0}),0},$ 其中记号 $\delta _{a,b}$ 表示：若a=b,取值为1；若 $\mathbf{a}\neq \mathbf{b}$ ,取值为0。

证明：易知，设A对应 $\lambda _{i}$ 的某个约当块为 $J_{i}$ ,

$r(J_{i}-\lambda I_{n})=r(\lambda _{}I_{n}-A)=\begin{Bmatrix}n_{i}&&\lambda \neq \lambda _{i} \\ n_{i}-1&&\lambda =\lambda _{i}\\\end{Bmatrix}$ ，

易知 $\delta _{\lambda _{i},\lambda }=\delta _{d(\lambda ),0}$ ，所以 $\sum_{i=1}^{k}\delta _{\lambda _{i},\lambda }= \sum_{i=1}^{k}\delta _{d(\lambda ),0}=N_{\lambda }$ ，

又 $N_{\lambda }=dimV_{\lambda }$ ,

$\therefore$ $N_{\lambda }=dimV_{\lambda }= \sum_{i=1}^{k}\delta _{d(\lambda ),0}$ ,

又 $N_{\lambda }=dimV_{\lambda }=n-rank(A-\lambda I_{n})$ ,

$\therefore$ $r(\lambda _{0}I_{n}-A)=n-\sum_{i=1}^{k}\delta _{d_{i}(\lambda _{0}),0},$ 。

12.设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上n维线性空间V上的线性变换，其极小多项式的次数等于n，又 $\psi$ 是V上的另一个线性变换，满足 $\psi \varphi =\varphi \psi$ ，求证： $\psi =g(\varphi )$ ，其中 $g(x)$ 是一个 $\mathbb{K}$ 上次数不超过n-1的多项式。

证明： $\because$ 极小多项式的次数和特征多项式的次数相等。

$\therefore$ V恰好是由某个向量 $\alpha$ 生成的 $\varphi$ 循环空间*（说明在题末）

则存在一组基： $\alpha ,\varphi (\alpha ),\varphi ^{2}(\alpha )......\varphi ^{n-1}(\alpha )$ , $\left (\alpha \in \mathbb{K} \right )$

$\psi (\alpha )=k_{1}\alpha+ k_{2}\varphi (\alpha )+k_{3}\varphi ^{2}(\alpha )k_{n-1}+......+k_{n-1}\varphi ^{n-1}(\alpha )$

则存在 $g(x)=k_{n-1}x^{n-1}+k_{n-2}x^{n-2}+......+k_{1}x$

*设 $m(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_{1}x+a_{0}$ ,

则 $m(x)$ 的友阵为

$\begin{pmatrix} 0&&&&-a_{0}\\ 1&0&&&-a_{1}\\ &1&0&&-a_{2}\\&&......&&......\\&&1&0&-a_{n-2}\\ &&&1&-a_{n-1}\\ \end{pmatrix}$ ,

则存在一组基： $\alpha ,\varphi (\alpha ),\varphi ^{2}(\alpha )......\varphi ^{n-1}(\alpha )$ , $\left (\alpha \in \mathbb{K} \right )$ 使得 $\varphi$ 在此基下的矩阵为 $m_{\varphi }(x)$ 的友阵。

习题7.6部分

1(2).已知矩阵的下列初等因子组： $(\lambda +1)^{2},\lambda -2,(\lambda -2)^{3}$ ，写出Jordan标准型。

$(\lambda +1)^{2}$ 的对应若当块为 $\begin{pmatrix} -1&1\\ 0&-1\\\end{pmatrix}$

$(\lambda -2)$ 的对应若当块为 $\begin{pmatrix} 2\\\end{pmatrix}$ ,

$(\lambda -2)^{3}$ 的对应若当块为 $\begin{pmatrix} 2&1&0\\ &2&1\\&&2\\\end{pmatrix}$ ,

然后写成准对角阵的形式即可。

2(1).求非异阵P，使得 $P^{-1}A P$ 为Jordan标准型。

思路：

先求出特征值。

判断矩阵的秩，然后判断若当块的个数。

写出若当标准型。

用 $A P=PJ$ ， $P=\left \{ \alpha_{1} ,\alpha_{2}, \alpha_{3} \right \}$ ,得到P

4.设n阶矩阵A适合 $A^{2}=0$ 且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

解：易知， $f(\lambda )=\lambda ^{2}$ 是一个零化多项式，A的极小多项式要么是 $\lambda$ 要么是 $\lambda ^{2}$ ，但是矩阵的特征值一定是0，再由某个特征值的约当块个数公式： $N=n-rank(A-\lambda I_{n})$ 得到N=n-r

当A的极小多项式是 $\lambda$ 时，A=0，约当标准型为零矩阵。

当A的极小多项式时 $\lambda ^{2}$ 时，易知剩下的初等因子都是 $\lambda$ 或者 $\lambda ^{2}$ 。

接下来，假设有a个 $\lambda$ ，b个 $\lambda ^{2}$ 。

容易知道a+2b=n

a+b=n-r

解得a=n-2r,b=r.

A的Jordan标准型为 $diag=\left \{ \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix},......\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} ,0,0,......0,0 \right \}$ .

5.设n阶矩阵A适合 $A^{2}=A$ 且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

解： $\because$ f(λ) = $\lambda ^{2}$ − λ = λ(λ − 1) 是 A 的零化多项式，所以极小多项式 m(λ) 无重根，且 A 的特征值只能是 0 或 1。

$\therefore$ A 可以对角化. 再根据 r(A) = r 可知 A 的 Jordan 标准型为 diag{1, . . . , 1, 0, . . . , 0}，其中有 r 个 1。

6.设n(n>1)阶矩阵A的秩为1，试求A的Jordan标准型。

解：（秩为1可以写成两个n维列向量的乘积）

设 $A=\alpha \beta '$ ,而 $A^{2}=\alpha \beta '\alpha \beta '=\alpha (\beta '\alpha )\beta '=\alpha (tr(A))\beta '=tr(A)\alpha \beta '=tr(A)A$ ,

则， $f(\lambda )=\lambda ^{2}-tr(A)\lambda$ 是A的零化多项式，由5可知，A可以对角化，A的特征值为0或 $tr(A)$

又 r(A) =1得到，A 的 Jordan 标准型为 diag{tr(A),0, . . . , 0}.

出现了一个很重要的结论：当一个矩阵可以对角化的时候，非零特征值的个数就是矩阵的秩，当一个矩阵不能够对角化的时候，上述不成立，但是非零特征值的个数小于矩阵的秩。

8.设n阶矩阵A的极小多项式的次数等于n，求证：A的Jordan标准型中各个Jordan块的主对角线元素彼此不同。

解：由题知：极小多项式的一次多项式两两互素，则一次多项式没有相同的根，A有n个不同的特征值，则各个Jordan块的主对角线元素彼此不同。

9.设A是n阶复矩阵且存在整整数K，使得 $A^{k}=I_{n}$ ,求证：A相似于对角阵。

证明：（首先一眼就能看出A是一个幂幺矩阵，一定能对角化。）

当k=1时，A是单位阵，显然能够对角化。

当k>1时，A的零化多项式为 $x^{k}-1=0$ ，

又A是n阶复矩阵，所以有n个n次单位根。所以A有n个不同的特征值。则A可以对角化，所以A相似于对角阵。

10.设有理数域上n阶矩阵A的特征多项式的所有不可约因式是 $\lambda ^{2}+\lambda +1,\lambda ^{2}-2$ ，又A的极小多项式是四次多项式，求证：A在复数域上必相似于对角阵。

证明：因为A的极小多项式和特征多项式有相同的不可约因式，所以A的极小多项式为 $m(x)=(\lambda ^{2}+\lambda +1)(\lambda ^{2}-2)$

因为一个多项式在复数域上必有根,

$m(x)=(\lambda -\lambda _1)(\lambda -\lambda _{2})(\lambda -\lambda _{3})(\lambda -\lambda _{4})$ ,

而且 $\lambda _{i}$ 互不相等。

所以A的极小多项式没有重根，也就意味着，A在复数域上一定相似于对角阵。

11.设n阶矩阵A的全体不同特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{2},......\lambda _{k}$ ,令 $g(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{k})$ ,求证：A可对角化的充分必要条件是 $\boldsymbol{g(A)=\mathit{0}}$ 。

证明：

充分性：

如果 $\boldsymbol{g(A)=\mathit{0}}$ ，而且 $g(\lambda )$ 的根为A的全体特征值，A的极小多项式 $m(\lambda )$ 的根也是A的全体特征值，所以 $m(\lambda )|g(\lambda )$ ,

又 $g(\lambda )$ 为不同的一次因式的乘积， $m(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})^{p_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{p_{2}}...(\lambda -\lambda _{k})^{p_{k}}$

则 $g(\lambda )|m(\lambda )$ ，又 $g(\lambda )$ 是首一的，所以 $m(\lambda )=g(\lambda )$ ，而 $m(\lambda )$ 没有重根，所以A可对角化。

必要性：

若A可以对角化，所以A的极小多项式没有重根，易知 $m(\lambda )=g(\lambda )$ ，所以 $\boldsymbol{g(A)=\mathit{0}}$ 。

12.设A是n阶复矩阵，求证：A相似于分块对角阵diag{B,C}，其中B是幂零矩阵，C是非异阵。

证明：当A是可逆的时候，A没有为0的特征值，自然不会有主对角元为0的若当块。A相似于C，且C就是A的若当标准型。

所以B只有在A是不可逆的时候才存在。

将主对角元是0的若当块放在上面，组成的准对角阵记作B，而把主对角元不是0的若当块放在下面，组成的准对角阵为C。

复习题部分

23.设 $J=J_{n}(0)$ 是特征值为零的n阶Jordan块，求 $J^{2}$ 的Jordan标准型。

解： $J$ 和 $J^{2}$ 的特征值式相同，都为零，

J是一个n次幂零矩阵，

所以J的极小多项式 $m(x)=x^{n}$ ,

当n为偶数的时候， $J^{2}$ 是一个 $n/2$ 次幂零矩阵，

若n为奇数的时候， $J^{2}$ 是一个 $(n+1)/2$ 次幂零矩阵。（这里一定不能写成不是（n-1）/2！！）

24.求下列n阶矩阵的Jordan标准型：

$A=\begin{pmatrix} c&0&1&0&......&0\\ &c&0&1&......&0\\ &&c&0&......&0\\&&&......&1&......\\&&&......&0&1\\ &&&&c&0\\&&&&&c \end{pmatrix}$

这个矩阵的特征值为c，特征多项式是 $(x-c)^{n}$ ，则 $\lambda In-A=\begin{pmatrix} 0&0&1&0&......&0\\ &0&0&1&......&0\\ &&0&0&......&0\\&&&......&1&......\\&&&......&0&1\\ &&&&0&0\\&&&&&0\end{pmatrix}$ ,这个矩阵的秩为n-2，

所以该矩阵应该有两个若当块。

然后用公式判断有1个一阶若当块，则剩下的一定是一个n-1阶若当块。

可以得到若当标准型 $\begin{pmatrix} c&0&0&0&......&0\\ &c&1&0&......&0\\ &&c&1&......&0\\&&&......&&......\\&&&......&1&0\\ &&&&c&1\\&&&&&c\end{pmatrix}$

29.设m阶矩阵A与n阶矩阵B没有公共的特征值，且A，B的Jordan标准型分别为 $J_{1},J_{2}$ ,又C为mxn阶矩阵，求证： $M=\begin{pmatrix} A&C\\ \ 0&B\\ \end{pmatrix}$ 的Jordan标准型为diag{ $J_{1},J_{2}$ }

（因为本题会用到35和36题的结论，所以建议先看一看这两个题）

假设你已经知道了35和36

那么存在X为非零解使得

AX-XB=C,所以有 $\begin{pmatrix} I_{m}& X\\ \mathbf{0}& I_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A &C \\ 0&B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_{m} &-X \\ \mathbf{0}& I_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & -AX+XB+C\\ \mathbf{0}&B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A &\mathbf{0} \\ \mathbf{0} &B \end{pmatrix}$

接下来就是常规的分块矩阵相乘可以的得到Jordan标准型为mxn。

34.设A，B为n阶矩阵，满足AB=BA=0， $r(A)=r(A^{2})$ ,求证 $r(A+B)=r(A)+r(B)$ .

已知： $r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$ ，

$\therefore$ 下证 $r(A+B)\geqslant r(A)+r(B)$ ，

$\because$ $r(A)=r(A^{2})$ 所以可知存在一个

$C=\begin{pmatrix} A+B&0\\ \ 0&0\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} A+B&0\\ \ A^{2}+BA&0\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} A+B&0\\ \ A^{2}&0\\ \end{pmatrix}$

35.设A，B分别是m,n阶矩阵，求证：矩阵方程AX=XB只有零解的充分必要条件是A，B无公共的特征值。

证：必要性：

设C是AX=XB的一个解，则

AC=CB，由数学归纳法得到，对任意的正整数k，都有 $A^{k}C=CB^{k}$ ,

$\therefore$ 将A和B带入任意一个相同的多项式，都有 $f(A)=f(B)$

如果这个多项式是A的特征多项式，此结论依然成立。所以可以得到 $f_{A}(A)=f_{A}(B)$ ,而 $f_{A}(A)=0$ ，所以得到了 $f_{A}(B)=0$ ，所以B的特征值为A的特征值。矛盾。

充分性：

反证，假设A B有公共的特征值 $\lambda$ ， $A\alpha =\lambda _{A}\alpha$ （ $\alpha$ 是 $m\times 1$ 的一个列向量）

则， $A\alpha \beta '=\lambda\alpha \beta '=\alpha \beta '\lambda =\alpha \beta' B$ ,（ $\beta$ 是 $n\times 1$ 的列向量）（ $\beta '$ 是B的特征向量）

如果令

$X=\alpha \beta '$ ，又特征向量不为零，则出现了非零解，矛盾。

结语：这一篇写完让我觉得很多本来会的东西又不会了。而且我在这里致谢一下我的高等代数老师，她在休息中也依然为我解惑，得此良师，终生有幸。但是我恨期末周，没有细细检查，有错误欢迎指出呀。

标签：特征值,谢启鸿,多项式,矩阵,极小,标准型,Jordan,第四版,习题
From： https://blog.csdn.net/2401_83247845/article/details/138106965

谢启鸿第四版高等代数第七章习题解析

前言：之前写过两篇第七章习题解析，本篇主要是补充，将之前没有来得及写上的习题补充完整，顺便归个类。前两篇看主页吧，不指路了。

习题7.4部分

1(1).根据下列不变因子组写出有理标准型： $1,1,\lambda ,\lambda (\lambda +1)^{2};$

2(1).求下列矩阵的有理标准型。 $\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&2&0\\ -1&1&3\\ \end{pmatrix}$

5.证明：n阶矩阵A的特征多项式和极小多项式相等的充分必要条件是 $\lambda I_{n}-A$ 的行列式因子为 $1,......,1,D_{n}(\lambda )$ 。

7.若k是满足 $A^{k}=0$ 的最小正整数，则称A为k次幂零阵，请写出A的最后一个不变因子，并证明：所有n阶n次幂零阵彼此相似。

8.若n阶矩阵A有n个不同的特征值，求证：A的特征多项式等于极小多项式。

习题7.6部分

1(2).已知矩阵的下列初等因子组： $(\lambda +1)^{2},\lambda -2,(\lambda -2)^{3}$ ，写出Jordan标准型。

2(1).求非异阵P，使得 $P^{-1}A P$ 为Jordan标准型。

4.设n阶矩阵A适合 $A^{2}=0$ 且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

5.设n阶矩阵A适合 $A^{2}=A$ 且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

6.设n(n>1)阶矩阵A的秩为1，试求A的Jordan标准型。

8.设n阶矩阵A的极小多项式的次数等于n，求证：A的Jordan标准型中各个Jordan块的主对角线元素彼此不同。

9.设A是n阶复矩阵且存在整整数K，使得 $A^{k}=I_{n}$ ,求证：A相似于对角阵。

10.设有理数域上n阶矩阵A的特征多项式的所有不可约因式是 $\lambda ^{2}+\lambda +1,\lambda ^{2}-2$ ，又A的极小多项式是四次多项式，求证：A在复数域上必相似于对角阵。

11.设n阶矩阵A的全体不同特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{2},......\lambda _{k}$ ,令 $g(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{k})$ ,求证：A可对角化的充分必要条件是 $\boldsymbol{g(A)=\mathit{0}}$ 。

12.设A是n阶复矩阵，求证：A相似于分块对角阵diag{B,C}，其中B是幂零矩阵，C是非异阵。

复习题部分

23.设 $J=J_{n}(0)$ 是特征值为零的n阶Jordan块，求 $J^{2}$ 的Jordan标准型。

24.求下列n阶矩阵的Jordan标准型：

$A=\begin{pmatrix} c&0&1&0&......&0\\ &c&0&1&......&0\\ &&c&0&......&0\\&&&......&1&......\\&&&......&0&1\\ &&&&c&0\\&&&&&c \end{pmatrix}$

29.设m阶矩阵A与n阶矩阵B没有公共的特征值，且A，B的Jordan标准型分别为 $J_{1},J_{2}$ ,又C为mxn阶矩阵，求证： $M=\begin{pmatrix} A&C\\ \ 0&B\\ \end{pmatrix}$ 的Jordan标准型为diag{ $J_{1},J_{2}$ }

34.设A，B为n阶矩阵，满足AB=BA=0， $r(A)=r(A^{2})$ ,求证 $r(A+B)=r(A)+r(B)$ .

35.设A，B分别是m,n阶矩阵，求证：矩阵方程AX=XB只有零解的充分必要条件是A，B无公共的特征值。

结语：这一篇写完让我觉得很多本来会的东西又不会了。而且我在这里致谢一下我的高等代数老师，她在休息中也依然为我解惑，得此良师，终生有幸。但是我恨期末周，没有细细检查，有错误欢迎指出呀。

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习题7.4部分

1(1).根据下列不变因子组写出有理标准型：

2(1).求下列矩阵的有理标准型。

5.证明：n阶矩阵A的特征多项式和极小多项式相等的充分必要条件是的行列式因子为。

7.若k是满足的最小正整数，则称A为k次幂零阵，请写出A的最后一个不变因子，并证明：所有n阶n次幂零阵彼此相似。

8.若n阶矩阵A有n个不同的特征值，求证：A的特征多项式等于极小多项式。

9.设数域上的n阶矩阵A的特征多项式其中是上互异的首一不可约多项式，求证：A的有理标准型只有一个Frobenius块，并且A在复数域上可对角化。

10.设数域上的n阶矩阵A的不变因子是,其中是非常数的首一多项式,求证：对A的任一特征值，其中记号表示：若a=b,取值为1；若,取值为0。

12.设是数域上n维线性空间V上的线性变换，其极小多项式的次数等于n，又是V上的另一个线性变换，满足，求证：，其中是一个上次数不超过n-1的多项式。

习题7.6部分

1(2).已知矩阵的下列初等因子组：，写出Jordan标准型。

2(1).求非异阵P，使得为Jordan标准型。

4.设n阶矩阵A适合且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

5.设n阶矩阵A适合且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

6.设n(n>1)阶矩阵A的秩为1，试求A的Jordan标准型。

8.设n阶矩阵A的极小多项式的次数等于n，求证：A的Jordan标准型中各个Jordan块的主对角线元素彼此不同。

9.设A是n阶复矩阵且存在整整数K，使得,求证：A相似于对角阵。

10.设有理数域上n阶矩阵A的特征多项式的所有不可约因式是，又A的极小多项式是四次多项式，求证：A在复数域上必相似于对角阵。

11.设n阶矩阵A的全体不同特征值为,令,求证：A可对角化的充分必要条件是。

12.设A是n阶复矩阵，求证：A相似于分块对角阵diag{B,C}，其中B是幂零矩阵，C是非异阵。

复习题部分

23.设是特征值为零的n阶Jordan块，求的Jordan标准型。

24.求下列n阶矩阵的Jordan标准型：

29.设m阶矩阵A与n阶矩阵B没有公共的特征值，且A，B的Jordan标准型分别为,又C为mxn阶矩阵，求证：的Jordan标准型为diag{}

34.设A，B为n阶矩阵，满足AB=BA=0，,求证.

35.设A，B分别是m,n阶矩阵，求证：矩阵方程AX=XB只有零解的充分必要条件是A，B无公共的特征值。

结语：这一篇写完让我觉得很多本来会的东西又不会了。而且我在这里致谢一下我的高等代数老师，她在休息中也依然为我解惑，得此良师，终生有幸。但是我恨期末周，没有细细检查，有错误欢迎指出呀。

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5.设n阶矩阵A适合 $A^{2}=A$ 且A的秩为r，试求A的Jordan标准型。

9.设A是n阶复矩阵且存在整整数K，使得 $A^{k}=I_{n}$ ,求证：A相似于对角阵。

10.设有理数域上n阶矩阵A的特征多项式的所有不可约因式是 $\lambda ^{2}+\lambda +1,\lambda ^{2}-2$ ，又A的极小多项式是四次多项式，求证：A在复数域上必相似于对角阵。

11.设n阶矩阵A的全体不同特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{2},......\lambda _{k}$ ,令 $g(\lambda )=(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})...(\lambda -\lambda _{k})$ ,求证：A可对角化的充分必要条件是 $\boldsymbol{g(A)=\mathit{0}}$ 。

23.设 $J=J_{n}(0)$ 是特征值为零的n阶Jordan块，求 $J^{2}$ 的Jordan标准型。

29.设m阶矩阵A与n阶矩阵B没有公共的特征值，且A，B的Jordan标准型分别为 $J_{1},J_{2}$ ,又C为mxn阶矩阵，求证： $M=\begin{pmatrix} A&C\\ \ 0&B\\ \end{pmatrix}$ 的Jordan标准型为diag{ $J_{1},J_{2}$ }

34.设A，B为n阶矩阵，满足AB=BA=0， $r(A)=r(A^{2})$ ,求证 $r(A+B)=r(A)+r(B)$ .