本笔记是对李永乐《线性代数辅导讲义》中各章节涉及的基础知识进行整理。本笔记主要用以应对夏令营面试中可能会问到的线性代数方面的问题，比较泛泛而谈，如果您对这些内容感兴趣，建议参考原书。大佬可自行绕路
更多章节内容参见：保研复习——线性代数篇-CSDN博客
目录
1）方程组有无穷多解求系数、系数矩阵和增广矩阵的秩、行最简矩阵、通解：
思维导图一：
思维导图二：
线性方程组的基本概念：
非齐次线性方程组与增广矩阵：
该方程全体系数和常数项构成的矩阵称为该方程组的增广矩阵：
齐次线性方程组与系数矩阵：
如果非齐次线性方程组的系数全为0，那么就是齐次线性方程组。
由该方程全体系数组成的矩阵称为系数矩阵：
初等变换：
主变量、自由变量：
基础解系：
主要定理：
非齐次线性方程组和齐次线性方程组有解的条件：
非齐次线性方程组有解条件：
当时，方程组才有解；若两者不等时，方程组无解；
两者相等的情况下：
若r(A)<变元数（列数），有无穷多解；
若r(A)=变元数（列数），有唯一解。
齐次线性方程组有解条件：
若所有变量的值都取0，则满足等式条件，所以齐次线性方程组必有0解。
若r(A)<变元数（列数），有无穷多解；
若r(A)=变元数（列数），有唯一解，这个唯一解就是0。
例题：
填空：
1）求齐次线性方程组的基础解系
- 首先写出系数矩阵
- 接着对系数矩阵以初等行变换转化为简化阶梯型A
- 再由A定出n-r(A)个线性无关的解向量，并写出求解方程组
- 不妨令这n-r(A)个自由未知量分别为基础单位向量，进而写出相应的基础解系。
- 写出通解
当然也可以将左侧的n-r(A)阶矩阵化为单位矩阵，这样基础解系就是右侧列r(A)行取反然后拼接上基础单位向量。
2）齐次线性方程组有非零解求未知数lambda
齐次线性方程组有非零解的条件是r(A)<n(变元个数)。
3）求非齐次线性方程组的通解
按照如上公式分别找到齐次线性方程组的一个基础解系以及非齐次线性方程组的一个特解，然后组合起来就是非齐次线性方程组的通解。
4）求非齐次线性方程组的特解和基础解系
之前我们提到过齐次线性方程组的基础解系由n-r(A)个线性无关的解向量组成，因为非齐次和齐次本质是一样的，只不过是等号右侧的值不同罢了，因此基础解系的维数是一样的。
那么求特解的大致思路也是一样的，尽可能通过行变换将左侧的n-r(A)阶矩阵化为单位矩阵，这样基础解系就是最右侧列r(A)行拼接上0即可（因为是特解，所以多余的维数直接取0即可）。
那么如何求非齐次的基础解系呢？其实思路是和（3）保持一致的，现在有了特解，需要求一个齐次的基础解系，然后组合起来即可。
5）一个向量在一组空间基下的坐标
设空间基组成的矩阵为A，坐标为x，目标向量为b，也即求Ax=b；
对于这个非齐次线性方程求解的问题，可以直接参考题目4的求非线性特解的步骤
6）求向量组形成的线性空间的维数以及一组基
本题的实质就是求该线性方程组的极大线性无关组，可以参考章节3中的例题6
计算：
1）方程组有无穷多解求系数、系数矩阵和增广矩阵的秩、行最简矩阵、通解：
- 非齐次线性方程组有无穷多解，证明r(A)<n且
；
- 行最简矩阵就是尽可能通过初等行变换将左侧化为单位矩阵；
- 通解的求法也和我们之前保持一致即可。
