本笔记是对李永乐《线性代数辅导讲义》中各章节涉及的基础知识进行整理。本笔记主要用以应对夏令营面试中可能会问到的线性代数方面的问题，比较泛泛而谈，如果您对这些内容感兴趣，建议参考原书。大佬可自行绕路
更多章节内容参见：保研复习——线性代数篇-CSDN博客
目录
5）向量组B由向量组A线性表示，向量组A的线性相关/无关已知，求B的线性相关性
思维导图1：
思维导图2：
n维向量的基本概念：
向量的3种基本操作（向量加法、数乘向量、向量内积）：
向量的长度、单位向量、零向量、正交向量：
线性组合：
线性相关与无关：
线性表出、向量组等价：
极大线性无关组：
向量组的秩：
重要定理：
为什么推论2成立呢？
因为n+1个n维向量就是一个n*（n+1）的矩阵，而矩阵的行秩一定等于矩阵的列秩，所以这个矩阵的秩一定是小于等于n的，所以也必定小于等于n+1,所以它的最大线性无关组是由n个向量组成的（我举得是秩最大的时候的情况），那么它就还剩下一个向量不属于这个最大无关组，于是这个剩下的向量就可以由这个最大无关组表示出来，于是，这个矩阵就是线性相关的，对于秩小于n的情况，显然更加成立。
列增加，原本线性相关的仍然相关；列减少，原本线性无关的仍然线性无关；
行增加，原本线性无关的仍然无关；行减少，原本线性相关的仍然线性相关。
两个向量线性相关->这两个向量共线；
三个向量线性相关->这三个向量共面。
向量空间：
仅数学一要求，此外面试对这方面问的也比较少，因此这里不再详细说明，感兴趣可以参考原书。
Schmidt正交化：
例题：
填空：
1）向量的加减：
直接使用向量的加减公式进行计算即可
2）判断向量组的线性相关性
以下是我最初的想法：
列出向量组形成的矩阵（每个向量占据一行或者一列，这会决定接下来矩阵的初等变换是使用行变换还是列变换），每个向量占据一行就使用矩阵的初等行变换；每个向量占据一列就使用矩阵的初等列变换。
但是我观察到教材上有的例题在判断向量组的线性相关性时把向量按列放置，然后用初等行变换进行化简。这个和我上面的想法是违背的。
随后我在网上看到了这个回答：
(13 封私信 / 80 条消息) 怎样直观的理解「极大无关组」，以及极大无关组的求法？ - 知乎 (zhihu.com)
其实两者都是可以的，不同之处在于：
我的想法：把多余向量消为零向量。
教材的想法：把向量尾部多余维数消为0。
两者所能达成的目标是一样的。那么哪个更好一点呢？
答案是教材的想法，因为极大线性无关组求法优势在于可以找到更多线性无关组（不知道是不是所有，粗略想了一下我觉得是所有的），但是消向量的话只能找到一组。
结论：不要求用哪种变换的，求向量组的极大线性无关组，只要求只做行变换，或只做列变换，但不要求列向量只能进行初等行变换而行向量只能进行初等列变换。
建议：还是建议大家和教材一致，用列向量表示矩阵，然后用初等行变换化简。
矩阵的秩就是化简后行简化阶梯形矩阵中非零行（非零列）的数目。
若矩阵的秩小于向量组中向量的个数，那么向量组就是线性相关的；否则是线性无关的。
3）求正交向量组：
按照Schmidt正交化公式进行计算即可，注意求正交向量组不需要对其进行单位化。
正交化才是要对正交向量组再单位化。
4）若一个向量可由一个向量组线性表示，求系数
本质就是解三元一次方程组，为了便于计算。我们可以先将向量组和目标向量组成增广矩阵，然后通过初等行变换化简增广矩阵，接着对化简后的增广矩阵求解相应的线性方程组。
5）向量组B由向量组A线性表示，向量组A的线性相关/无关已知，求B的线性相关性
我们之前在第二章 矩阵章节中了解了秩的主要公式，其中包括：
因此先将题目的公式由矩阵乘法表示出来，接着计算系数矩阵C的秩，由系数矩阵C的行列式为0可以得知系数矩阵的秩小于其向量组中向量的个数，那么向量组B的秩就小于3，因此是线性相关的
6）求向量组的极大线性无关组
和2）类似，按照建议来的话。
然后挑出那些每一行第一个为非0元素所在的列，其组成的集合就是一个极大线性无关组。
7）向量组B由向量组A表示，求B的行列式
将向量组B由矩阵的乘法表示，再根据矩阵等式转行列式计算公式，即可求得。
计算：
- 求向量组的秩
- 求向量组的极大线性无关组
- 将其余向量由极大线性无关组表示
