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1.前言
为了解决传统单频脉冲雷达面临的作用距离和空间分辨力之间的矛盾，脉冲压缩理论被提出。在接收端设计一个和发射信号能够“共轭匹配”的网络来实现脉冲压缩。接收到的回波信号通过匹配滤波器时，滤波器的增益在信号越强的频率点越大;在信号越弱的频率点，增益越小，通过这样的方式使信号在时域更加集中。脉冲压缩技术大致可分为线性调频（LFM）和相位编码。其中LFM信号易于通过硬件或各种技术产生，但是进行匹配滤波后主旁瓣比高达13.2dB,在检测多个目标时，强目标的回波旁瓣可能会把弱小信号覆盖，导致弱小信号的检测受到影响。在一些测量天气的雷达系统中，地面会产生高达-55dB的杂波，对降水量的测量产生了极大影响，此时一般需要将归一化的旁瓣电平降低到-60dB以下。
2.脉冲压缩原理
雷达接收机的瞬时带宽B通常和脉冲的带宽匹配，在大多数雷达应用中是通过令$B=1/\tau $来实现的。因此距离分辨率为：
Δ
R
=
c
τ
2
=
c
2
B
\Delta R=\frac{c\tau }{2}=\frac{c}{2B}
ΔR=2cτ=2Bc
其中c为光速。为了得到高距离分辨率，使
Δ
R
\Delta R
ΔR变小，必须使用短脉冲，即$\tau $变小。考虑到雷达的平均发射功率为：
P
a
v
=
P
t
×
d
t
{{P}_{av}}={{P}_{t}}\times {{d}_{t}}
Pav=Pt×dt
其中，
P
t
{{P}_{t}}
Pt为雷达峰值发射功率，
d
t
=
τ
/
T
{{d}_{t}}=\tau /T
dt=τ/T表示雷达发射占空比，
T
T
T为脉冲重复率。这样做会使得工作带宽变大并且减小了发射的平均功率。
3.匹配滤波器
在线性系统的输入端出现信号和加性白噪声时，加一个匹配滤波器可以使信号成分在某一瞬时出现峰值，而噪声成分受到抑制，即使输出的信噪比最大。
设
t
=
t
m
t={{t}_{m}}
t=tm时刻输出信噪比最大，信噪比表示为：
S
N
R
o
=
s
o
2
(
t
m
)
n
o
2
(
t
m
)
SN{{R}_{o}}=\frac{s_{o}^{2}({{t}_{m}})}{n_{o}^{2}({{t}_{m}})}
SNRo=no2(tm)so2(tm)
输出信号频域表达式为：
s
o
(
t
)
=
F
−
1
{
S
(
j
ω
)
H
(
j
ω
)
}
=
1
2
π
∫
+
∞
−
∞
S
(
j
ω
)
H
(
j
ω
)
e
x
p
(
j
ω
t
)
d
ω
{{s}_{o}}(t)={{\mathcal{F}}^{-1}}\{S(j\omega )H(j\omega )\}=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{+\infty }^{-\infty }{S(j\omega )H(j\omega )exp(j\omega t)d\omega }
so(t)=F−1{S(jω)H(jω)}=2π1+∞∫−∞S(jω)H(jω)exp(jωt)dω
白噪声平均功率为：
n
o
2
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
N
⋅
∣
H
(
j
ω
)
∣
2
d
ω
n_{o}^{2}(t)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{N\cdot \mid H(j\omega ){{\mid }^{2}}d\omega }
no2(t)=2π1∫−∞+∞N⋅∣H(jω)∣2dω
则信噪比可表示为：
S
N
R
o
=
s
o
2
(
t
m
)
n
o
2
(
t
m
)
=
∣
∫
−
∞
+
∞
S
(
j
ω
)
H
(
j
ω
)
e
x
p
(
j
ω
t
m
)
d
ω
∣
2
2
π
N
⋅
∫
−
∞
+
∞
∣
H
(
j
ω
)
∣
2
d
ω
SN{{R}_{o}}=\frac{s_{o}^{2}({{t}_{m}})}{n_{o}^{2}({{t}_{m}})}=\frac{{{\left| \int_{-\infty }^{+\infty }{S(j\omega )H(j\omega )exp(j\omega {{t}_{m}})d\omega } \right|}^{2}}}{2\pi N\cdot \int_{-\infty }^{+\infty }{{{\left| H(j\omega ) \right|}^{2}}}d\omega }
SNRo=no2(tm)so2(tm)=2πN⋅∫−∞+∞∣H(jω)∣2dω
∫−∞+∞S(jω)H(jω)exp(jωtm)dω
2
根据柯西不等式：
∣
∫
−
∞
+
∞
S
(
j
ω
)
H
(
j
ω
)
e
x
p
(
j
ω
t
m
)
d
ω
∣
2
≤
∫
−
∞
+
∞
∣
H
(
j
ω
)
∣
2
d
ω
⋅
∫
−
∞
+
∞
∣
S
(
j
ω
)
e
x
p
(
j
ω
t
m
)
∣
2
d
ω
{{\left| \int_{-\infty }^{+\infty }{S(j\omega )H(j\omega )exp(j\omega {{t}_{m}})d\omega } \right|}^{2}}\le \int_{-\infty }^{+\infty }{{{\left| H(j\omega ) \right|}^{2}}d\omega }\cdot \int_{-\infty }^{+\infty }{{{\left| S(j\omega )exp(j\omega {{t}_{m}}) \right|}^{2}}d\omega }
∫−∞+∞S(jω)H(jω)exp(jωtm)dω
2≤∫−∞+∞∣H(jω)∣2dω⋅∫−∞+∞∣S(jω)exp(jωtm)∣2dω
当且仅当
H
(
j
ω
)
=
k
[
S
(
j
ω
)
e
x
p
(
j
ω
t
m
)
]
∗
H(j\omega )=k{{[S(j\omega )exp(j\omega {{t}_{m}})]}^{*}}
H(jω)=k[S(jω)exp(jωtm)]∗
时，等号成立，即信噪比取得最大值。
最终，得到匹配滤波器为：
H
(
j
ω
)
=
k
⋅
S
(
−
j
ω
)
⋅
e
x
p
(
−
j
ω
t
m
)
H(j\omega )=k\cdot S(-j\omega )\cdot exp(-j\omega {{t}_{m}})
H(jω)=k⋅S(−jω)⋅exp(−jωtm)
两端同取傅里叶逆变换，并根据傅里叶变换的频移性质可得：
h
(
t
)
=
k
⋅
s
∗
(
t
m
−
t
)
h(t)=k\cdot {{s}^{*}}({{t}_{m}}-t)
h(t)=k⋅s∗(tm−t)
一般地，取
k
=
1
,
t
m
=
0
k = \text{1} , t{{ }_{m}} = \text{0}
k=1,tm=0
h
(
t
)
=
s
∗
(
−
t
)
h(t)={{s}^{*}}(-t)
h(t)=s∗(−t)
匹配滤波器系统输出为：
s
o
(
t
)
=
s
(
t
)
∗
h
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
s
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
{{s}_{o}}(t)=s(t)*h(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }{s(\tau )h(t-\tau )d\tau }
so(t)=s(t)∗h(t)=∫−∞+∞s(τ)h(t−τ)dτ
将
h
(
t
)
=
s
∗
(
−
t
)
h(t)={{s}^{*}}(-t)
h(t)=s∗(−t)代入得
s
o
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
s
(
τ
)
s
∗
(
τ
−
t
)
d
τ
{{s}_{o}}(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }{s(\tau ){{s}^{*}}(\tau -t)d\tau }
so(t)=∫−∞+∞s(τ)s∗(τ−t)dτ
可见，匹配滤波的过程可看作接收信号sr与系统冲激响应ht的卷积。
其实求脉冲压缩，在数学上就是求自相关函数或者互相关函数。对于广义严平稳随机信号，所有统计特性均与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，只与时间差有关，而这个时间差对应着我们雷达中的距离探测。
4.频域相乘法
由于时域卷积与频域相乘是一对傅里叶变换对。因此，由时域卷积法就可以得到相应的频域相乘法。假设输入信号s(t)的频域表达式为S(f)，匹配滤波器的传输函数h(t)的频域表达式为H(f)，则脉冲压缩的输出信号 y(t)就会等于将S(f)与H(f)进行相乘之后再进行傅里叶逆变换。
用公式表示为:
y
(
t
)
=
I
F
F
T
(
S
(
f
)
⋅
H
(
f
)
)
y(t)=IFFT(S(f)·H(f))
y(t)=IFFT(S(f)⋅H(f))
其中，IFFT为反傅里叶变换。由匹配滤波理论可知，h(t)与输入信号s(t)满足:
h
(
t
)
=
s
∗
(
t
0
−
t
)
h(t)=s^*(t_0-t)
h(t)=s∗(t0−t)
一般情况下，为了简化计算，取
t
0
=
0
t_0=0
t0=0，所以上式其中，t表示信号的时延，可以简化为:
h
(
t
)
=
s
∗
(
−
t
)
h(t)=s^*(-t)
h(t)=s∗(−t)
其对应的频域表达式为:
H
(
f
)
=
S
∗
(
f
)
H(f)=S^*(f)
H(f)=S∗(f)
因此，频域相乘可以改写为:
y
(
t
)
=
I
F
F
T
(
S
(
f
)
⋅
H
(
f
)
)
=
I
F
F
T
(
∣
S
(
f
)
∣
2
)
y(t)=IFFT(S(f)·H(f))=IFFT( |S(f)|^2)
y(t)=IFFT(S(f)⋅H(f))=IFFT(∣S(f)∣2)
5.举例
为了让读者形象的理解，下面画了振幅加权的NLFM信号的时域波形和脉冲压缩结果（自相关函数）。
为了获得更高的主旁瓣比，且尽量减少峰值损失，且避免主瓣展宽，一直以来都是困扰雷达研究者的一个问题，后面有时间我将会对我之前做过的降低脉冲压缩副瓣的研究出一系列文章进行总结。
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