复数
复数\(z\)定义：\(a+bi\)
其中\(a,b∈R\)，\(i^2=-1\)，\(i\)又称为圆复数（虚数）单位，\(a\)为实部\(Re(z)=a\)，\(b\)为虚部\(Im(z)=b\)，复数域记作\(C\)
0.复数三角形式和指数形式
- \(z=a+bi = r(cos\theta +i sin\theta) = re^{i\theta}\)
1.复数域是实数域的代数（加法和乘法）闭包，定义复数域内的加法和乘法
- \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
- \((a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i\)
- 加法单位元为0，乘法单位元为1
- 加法逆元唯一，除零乘法逆元唯一
- 对加法和乘法满足交换律，结合律，分配律
2.复数的模
- \(z=a+bi\)的模：\(|z|=\sqrt {a^2+b^2}\)
- 模=行列式开方
3.复数的辐角
- 指数形式下，z的模等于\(r\)，\(\theta\)称为z的辐角，记作\(Arg(z)\)
- 若\(\theta ∈[-\pi , \pi]\)，则称为z的主辐角，记作\(arg(z)\)
4.共轭复数
- \(z=a+bi\)的共轭复数：\(|\hat z|=a-bi\)
- \(z\)与其共轭复数的模相等，二者乘积为模长的平方
复数的矩阵映射
对于复数\(z=a+bi\)，\(a,b∈R\)，复数到特定形式二阶矩阵的同构映射：
\(a+bi=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\)
显然，该类矩阵对加法和乘法满足交换律，结合律，分配律；纯虚数对应的矩阵为反对称矩阵（\(A^T=-A\)，主对角线元素必为0）
\((a+bi)+(c+di)=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c\end{pmatrix}=(c+di)+(a+bi)\)
\((a+bi)×(c+di)=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(bc+ad) \\ bc+ad & ac-bd\end{pmatrix} =(ac-bd)+(bc+ad)i\)
1.虚数i，0，1
\(i=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\)，\(0=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)，\(1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
2.共轭复数=矩阵的转置
\(|\hat z|=a-bi=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}\)
3.加法逆元
\(-a-bi=\begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a\end{pmatrix}\)
4.模长的平方=行列式
\(|z|^2=\begin{vmatrix} a & -b \\ b & a\end{vmatrix}={a^2+b^2}\)
5.乘法逆元=转置矩阵/行列式的平方
\(z^{-1}=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}/({a^2+b^2})^2\)
6.三角形式
\(a+bi=r\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta\end{pmatrix}\)
所以复数（\(z=a+bi\)，\(a,b∈R\)）对加法和乘法构成域，同构映射到特定形式的矩阵（\(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\)）对矩阵加法和矩阵乘法构成矩阵域
复数只包含两个参数，2×2矩阵包含四个参数，所有必可以找到一类矩阵与复数同构
7.矩阵的对角矩阵或相似矩阵
\(\left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)=P\left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)P^{-1}\)
\(\left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right)\)有两个特征向量（特征值）：\(v_1=\left(\begin{matrix}-i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_1=a−i*b\)；\(v_2=\left(\begin{matrix}i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_2=a+i*b\)
其中，\(P=\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right)\)，\(P^{-1}=\left(\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)\)
8.幂
\((a+bi)^2=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^2=\left(\begin{matrix}a^2-b^2 & -2*a*b \\2*a*b & a^2-b^2\end{matrix}\right)\)
\((a+bi)^3=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix}a^3-3*a*b^2 & b^3-3*a^2*b \\-b^3+3*a^2*b & a^3-3*a*b^2\end{matrix}\right)\)
\((a+bi)^4=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^4=\left(\begin{matrix}a^4+b^4-6*a^2*b^2 & 4*a*b^3-4*a^3*b \\-4*a*b^3+4*a^3*b & a^4+b^4-6*a^2*b^2\end{matrix}\right)\)
\((a+bi)^n=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^n=\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)^n \left (\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)\)
9.秩
\(rank \left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right)=\left\{\begin{matrix}2;a≠0,b≠0 \\1;a≠0,b=0 \\2; a=0,b≠0 \\0;a=0,b=0\end{matrix}\right.\)
10.矩阵指数
\(e^{a+bi}=exp\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e^a*\cos\left(b\right) & -e^a*\sin\left(b\right) \\e^a*\sin\left(b\right) & e^a*\cos\left(b\right)\end{matrix}\right)\)
平移、缩放、旋转变换矩阵
平移矩阵(Translation)
\((x,y,z)\)表示当前位置， \((x',y',z')\)表示新的位置， \((dx,dy,dz)\)平移的量。
2D平移
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} dx\\dy\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & dx\\ 0 & 1 & dy\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1(x)+0(y)+dx(1)\\0(x)+1(y)+dy(1) \\0(x)+0(y)+1(1)\end{pmatrix}=T_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)
3D平移
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} dx\\dy\\dz\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0& dx\\ 0 & 1& 0 & dy\\ 0& 0 &1& dz\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1(x)+0(y)+0(z)+dx(1)\\0(x)+1(y)+0(z)+dy(1) \\0(x)+0(y)+1(z)+dz(1)\\0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{pmatrix}=T_{xyz}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
缩放矩阵(Scaling)
\((x,y,z)\)表示未缩放前的原始位置，\((x',y',z')\)表示经过缩放后的新位置，\(S_x、S_y、S_z\)分别表示在\(x\)轴、\(y\)轴和\(z\)轴方向上的缩放因子。
注意：计算多个点的缩放，需要将每个点位置分别代入公式计算。
2D缩放
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_x & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_x(x)+0(y)+0(1)\\0(x)+S_y(y)+0(1) \\0(x)+0(y)+1(1)\end{pmatrix}=S_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)
3D缩放
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_x & 0 & 0& 0\\ 0 & S_y& 0 & 0\\ 0& 0 &S_z& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_x(x)+0(y)+0(z)+0(1)\\0(x)+S_y(y)+0(z)+0(1) \\0(x)+0(y)+S_z(z)+0(1)\\0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{pmatrix}=S_{xyz}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
旋转矩阵(rotation)
\((x,y,z)\)表示未旋转前的原始位置，\((x',y',z')\)表示一个点经过旋转后的新位置， $$为在右手坐标系中，逆时针旋转角度(编程中以弧度为单位) ,
注意：计算多个点的旋转，需要将每个点位置分别代入公式计算。
2D旋转
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=R_{2d}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
注：\(\theta\)为平面内绕原点逆时针旋转角度
绕Z轴3D旋转，Z轴指向自己，X正半轴旋转90°到Y正半轴为逆时针
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta& 0 & 0\\ 0& 0 &1& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_z\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
绕X轴3D旋转，X轴指向自己，Y正半轴旋转90°到Z正半轴为逆时针
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0 & cos\theta& -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta &cos\theta& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_x\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
绕Y轴3D旋转，Y轴指向自己，Z正半轴旋转90°到X正半轴为逆时针
\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & 0 & -sin\theta& 0\\ 0 & 1& 0 & 0\\ sin\theta& 0 &cos\theta& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_y\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)
此外，还有倾斜或者剪切矩阵，就是将向量某一投影方向进行缩放，即对其分量（点乘基向量）进行缩放
复变函数
复变函数：以自变量为复数，因变量亦为复数的函数
复数\(z=x+yi\)，\(w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)，其中\(x,y∈R，u(x,y),v(x,y)\)是实变函数，那么\(w=f(z)\)就是复变函数
一个复变函数的值域取决于以下几个因素：
- 定义域：定义域是复变函数自变量取值的所有可能点构成的集合。一个函数的值域首先受限于其定义域的选取。
- 连续性：一个复变函数如果在定义域内连续，那么其值域至少是连续的。连续性保证了函数在某个区域内不会出现跳跃，从而有助于确定值域。
- 解析性：复变函数如果在其定义域内是解析的，即存在导数，那么其值域通常更加广泛。解析函数具有很好的局部性质，其值域可以包含复平面上的任意点。
详细地，对于具体的复变函数，可以通过以下方法探究其值域：
- 对于简单的复变函数，如多项式函数（\(f(z)=\sum_{k}^{i=0} a_i z^i\) ），其值域是整个复平面，因为多项式函数可以取到复平面上任意点。
- 对于有理函数，其值域则可能是一个去掉了一些点的复平面。这是因为有理函数在某些点可能无定义或者趋于无穷。
- 对于指数函数、对数函数和三角函数等初等函数，它们的值域通常是复平面上的某个区域。
复变函数的矩阵映射
1.非线性多项式复变函数的矩阵映射
\(f(z)= z^2+z+2=(x+yi)^2+(x+yi)+2=(x^2-y^2+x+2)+(2xy+y)i\)
那么
\(f(A)= A^2+A+2E=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^2-y^2+x+2 & -(2xy+y) \\ 2xy+y & x^2-y^2+x+2\end{pmatrix}\)
例如，
\(1+2i \overset{f}{\rightarrow} 6i\)
\(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \overset{f}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\)
能否将\(f\)变换成矩阵乘法，假设可以，那么这里等价于\(f(A)=PAQ\)，由于矩阵乘法是线性变换，所以
\(f(A)=PAQ=\begin{pmatrix} m_{11}x+n_{11}y & m_{12}x+n_{12}y \\ m_{21}x+n_{21}y & m_{22}x+n_{22}y\end{pmatrix}\)，其中\(m,n,b∈R\)
显然，\(\begin{pmatrix} m_{11}x+n_{11}y & m_{12}x+n_{12}y\\ m_{21}x+n_{21}y & m_{22}x+n_{22}y\end{pmatrix}≠\begin{pmatrix} x^2-y^2+x+2 & -(2xy+y) \\ 2xy+y & x^2-y^2+x+2\end{pmatrix}\)
所以非线性变换无法等价于矩阵乘法
2.线性复变函数的矩阵映射
\(f(z)= kz+a+bi =k(x+yi)+\frac{b}{y}(x+yi)+a-\frac{bx}{y}\) ，其中\(x,y,k,a,b∈R,y≠0\)
若\(y≠0\)，\(f(z)= kz+b\)形式，故以此为通用的线性复变函数形式
那么
\(f(A)= kA+bE=\begin{pmatrix} kx+b & -ky \\ ky & kx+b\end{pmatrix}\)
同上，二阶矩阵A通过乘法，\(PAQ\)结果中的元素不会出现常数项b
显然，对平移变量b，需要进行升维才能处理
\(z=x+yi{\rightarrow}\begin{pmatrix} x & -y & 0 \\ y & x & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(f(z)=kz+b=kx+b+kyi{\rightarrow}\begin{pmatrix} kx+b & -ky & 0 \\ ky & kx+b & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)，其中\(k,b∈R\)
\(P\begin{pmatrix} x & -y & 0 \\ y & x & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}Q= \begin{pmatrix} kx+b & -ky & 0 \\ ky & kx+b & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
同样不能找到\(PQ\)，因为\(f(z)\)虽然是线性函数（有疑问），但其集合空间中的元素为矩阵（哪里出问题了）
- \(f(z_1+z_2)=k(z_1+z_2)+b≠f(z_1)+f(z_2)\) \(\Leftrightarrow f(A_1+A_2)=k(A_1+A_2)+bE≠f(A_1)+f(A_2)\)
- \(f(mz_1)=k(mz_1)+b≠mf(z_1)\)\(\Leftrightarrow f(A_1)=k(A_1)+bE≠kf(A_1)\)
线性空间V中的一个变换A，要验证它是否为一个线性变换
只要看对于\(V\)中任意的元素\(α，β\)和数域\(P\)中任意\(k\)，是否都有
- \(A(α+β)=A(α)+A(β)\)
- \(A (kα)=kA(α)\)
其中\(A(α)\)称为\(α\)在变换\(A\)下的像
线性空间是由向量集合\(V\)、域\(P\)、加法运算\(+\)和标量乘法（数乘\(*\)）组成的模类代数结构
则称代数系统\((V,+,*,P)\)是\(V\)关于\(+,*\)构成\(P\)上的一个线性空间，\(P\)为线性空间的基域，\(V\)中元素称为 向量，\(P\)中元素称为标量。当域\(P\)为实数域时，称为实线性空间。当域\(P\)为复数域时，称为复线性空间。
增广矩阵，解非齐次方程，仿射变换，将平移量放在第三个基上\([0,0,1]^T\)，用于保存\(b\)的信息
而且复数只能表示二维平面上的点，不如直接矩阵来得直观；且复变函数包含平移、缩放和旋转等操作，用矩阵来研究复变函数多有不便
直接映射的想法是行不通的（哪里出差错？，先不管了）
缩放矩阵和平移矩阵来描述复变函数
\(z=x+yi{\rightarrow}\begin{pmatrix} x \\ y \\1\end{pmatrix}\)
\(f(z)=kz+b+ci=kx+b+(ky+c)i{\rightarrow}\begin{pmatrix} kx+b \\ ky+c \\ 1\end{pmatrix}\)，其中\(k,b∈R\)
\(f(z)= kz+b+ci\)表示对z同方向缩放k倍后，再向实轴正方向平移b，向虚轴正方向平移c
\(\begin{pmatrix} kx+b\\ky+c\\1 \end{pmatrix}=T_{xy}S_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & b\\ 0 & 1 & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 & b\\ 0 & k & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)
所以只能把复数当作一维向量看待，才能完成同构，此时
\(f\rightleftharpoons \begin{pmatrix}k & 0 & b\\ 0 & k & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix}\)
3.复变函数的保角映射（共形映射）
映射\(w=f (z)\)是区域\(D\)上的保角映射的充分必要条件是\(f (z)\)在\(D\)内解析, 并且\(f'(z)≠0\)
3.1 分式线性映射
\(w=\frac{az+b}{cz+d}\)，其中\(a,b,c,d\)为复常数，且\(ad-bc≠0\)
显然，倒数映射（又叫反演映射）\(w=\frac{1}{z}\)是保角映射
平移变换（\(w=z+b\)，b为复常数），等比例缩放（\(w=kz，k＞0\)）和旋转变换（\(w=e^{i\theta}z\)）都是保角映射
分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射 的复合映射
性质
- 一一映射，双方单值映射
- 保角性
- 保圆性，圆周映射后还是圆周（直线看作半径为无穷大的圆周）
- 保对称性
3.2 指数函数的保角映射
\(w=e^z\)在复平面内处处解析，且\(w≠0\)
3.3 儒可夫斯基函数，用于解决机翼截面的绕流
\(w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})\)