Mathematica Partial Fraction Decomposition

遇到的问题

Mathematica 中有一个自带的部分分式分解函数 Apart。

In := Apart[(-3 + x)/((-1 + x) (1 + x))]
Out := -(1/(-1 + x)) + 2/(1 + x)

但是 Apart 遇到分解结果中带无理数的就会摆烂：

In := Apart[x/(1 - x - x^2)]
Out := -(x/(-1 + x + x^2))

解决方案 1

我们有一个函数 Integrate`ComplexApart 可以使用：

In := Integrate`ComplexApart[x/(1 - x - x^2), x]
Out := -((-1 + Sqrt[5])/(2 Sqrt[5] (1/2 (1 - Sqrt[5]) + x))) + (-1 - Sqrt[
  5])/(2 Sqrt[5] (1/2 (1 + Sqrt[5]) + x))

它不是官方文档内的函数，但是似乎可以正常使用。

解决方案 2

使用 ResourceFunction 中的函数 ApartAll：

In := ApartAll = ResourceFunction["ApartAll"];

In := ApartAll[x/(1 - x - x^2)]
Out := (5 + Sqrt[5])/(10 (1/2 (-1 - Sqrt[5]) - x)) + (5 - Sqrt[5])/(
 10 (1/2 (-1 + Sqrt[5]) - x))

也可以使用函数 ExtendedApart：

In := ExtendedApart = ResourceFunction["ExtendedApart"];

似乎 ExtendedApart 更强大一些。

参考资料

• equation solving - Apart for complex roots? - Mathematica Stack Exchange