线性代数及其应用 第四章

第 4 章 向量空间

4.1 向量空间和子空间

定义 \(\;\) 一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合 \(V\)，在这个集合上定义了两种运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公理（或法则），这些公理必须对 \(V\) 中所有向量 \(\bm u,\bm v,\bm w\) 及所有标量（或数）\(c\) 和 \(d\) 均成立。

\(1.\) \(\bm u,\bm v\) 之和（表示为 \(\bm u+\bm v\)）属于 \(V\)。

\(2.\) \(\bm u+\bm v=\bm v+\bm u\)。

\(3.\) \((\bm u+\bm v)+\bm w=\bm u+(\bm v+\bm w)\)。

\(4.\) \(V\) 中存在一个零向量 \(\bm0\)，使得 \(\bm u+\bm0=\bm u\)。

\(5.\) 对 \(V\) 中每个向量 \(\bm u\)，存在 \(V\) 中一个向量 \(-\bm u\)，使得 \(\bm u+(-\bm u)=\bm0\)。

\(6.\) \(\bm u\) 与标量 \(c\) 的标量乘法（记为 \(c\bm u\)）属于 \(V\)。

\(7.\) \(c(\bm u+\bm v)=c\bm u+c\bm v\)。

\(8.\) \((c+d)\bm u=c\bm u+d\bm u\)。

\(9.\) \(c(d\bm u)=(cd)\bm u\)。

\(10.\) \(1\bm u=\bm u\)。

利用这些公理可以证明零向量唯一，且 \(\bm u\) 的负向量 \(-\bm u\) 也是唯一的。有如下简单事实：

对 \(V\) 中每个向量 \(\bm u\) 和任意标量 \(c\)，有

\[0\bm u=\bm0 \]

\[c\bm0=\bm0 \]

\[-\bm u=(-1)\bm u \]