域的基本概念
如果一个代数结构有加法运算和乘法运算，且存在加法和乘法的单位元，所有元素关于加法是阿贝尔群，所有非零元素关于乘法也是阿贝尔群，这个代数结构就称为域。域一定是整环，因为所有非零元素都有乘法逆元，所以不可能有零因子。我们特别要求，在域中加法和乘法的单位元不能相等。在这样的要求下，最小的域是二元域\((\Z_2,+,\cdot)\)，其中的运算就是模2下的加法（异或）和乘法（与）。
环的特征\(\newcommand{\Char}{\text{Char }}\)(Characteristics of Rings)
下面的定义对于一般的（有幺）环也成立。在有幺环\(R\)中，乘法单位元\(1\)总是可以在加法群中与自己做累加，得到的结果依然封闭在环内。做\(n\)次累加时，方便起见我们把结果\(1+1+\cdots+1\)（\(n\)次）记为\(n1\)（注意不能把结果记为\(n\cdot 1\)或\(n\)，因为\(n\)是一个\(\Z\)中的元素而不是一个\(R\)中的元素）。使得\(n1=0\)的最小正整数\(n\)称为环\(R\)的特征，记为\(\Char R\)。如果不存在这样的正整数\(n\)，就称\(\Char R=0\)。
有限环的特征不可能为0，否则说明\(\forall n_1\neq n_2,n_11\neq n_22\)（不然\((n_1-n_2)1=0\)，矛盾），这与元素有限矛盾。取逆否命题，特征为0的只能是无限环。但是无限环的特征是可能不为0的。
整环的特征总是素数（或者不存在，即为0，例如\((\Z,+,\cdot)\)）。如果不是素数，那么设\(\Char R=n=rs\)，根据乘法分配律\(n1=(r1)(s1)\)。这是关于个数的等式，等号右侧展开后先是\(r\)个\((s1)\)相加，因此恰好是\(rs\)个\(1\)相加。而根据\(\Char R=n\)，所以\(n1=(r1)(s1)=0\)。这说明环中有两个元素相乘为0。因为整环无零因子，因此\(r1=s1=0\)。而\(r,s<n\)，与\(n\)是最小正整数矛盾。
构造一个整数环\(Z\)到环\(R\)的映射\(\phi:\Z\to R\)，其中\(\phi(n)=n1\)（如果\(n<0\)，则\(n1=-((-n)1)\)）。我们发现\(\phi\)是一个环同态：\(\phi(n_1+n_2)=(n_1+n_2)1=n_11+n_21=\phi(n_1)+\phi(n_2)\)，\(\phi(n_1n_2)=(n_1n_2)1=(n_11)(n_21)=\phi(n_1)\phi(n_2)\)，\(\phi(1)=1\)。那么\(\phi\)的kernel就可以写作\(\{n\mid n1=0\}\)，它恰好是环\(R\)的特征的倍数构成的集合。如果\(\text{Char } R=0\)，那么\(\ker(\phi)=\{0\}\)，所以\(\phi\)是单射，这意味着\(R\)中有一个同构于\(\Z\)的子环；如果\(\text{Char }R=n\)，那么\(\ker(\phi)=\{kn\mid k\in \Z\}\)。那么\(\Z/\ker(\phi)\cong \Z_n\)，这意味着\(R\)中有一个同构于\(\Z_n\)的子环。
域同态
域同态的定义与环同态完全相同，我们只把域看作特殊的环。既然环同态的kernel一定是理想，那么域同态的kernel也一定是理想。然而域中所有非零元都有乘法逆元（都是unit），所以如果一个理想不是零理想，就一定是全集（只要包含一个unit，理想中就存在1，因此吸纳所有元素）。换言之，域中只有平凡理想。而环同态要求加法单位元和乘法单位元都映射到本身，我们又规定域中加法单位元不等于乘法单位元，因此域的kernel不可能是全集。综上，域同态的kernel只能是\(\{0\}\)，所以我们得到域同态一定是单射。满足同态关系的域之间一定以“嵌套”的方式存在着。
素域(Prime Fields)\(\newcommand{\F}{\mathbb{F}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)
如果域\(\F\)不包含任何真子域，就称\(\F\)是一个素域。
如果\(\F\)的特征不为0，那么一定是某个素数\(p\)（因为域是整环）。此时考虑环同态\(\phi:\Z\to \F,\phi(n)=n1\)，我们证明过\(\F\)中有一个同构于\(\Z_p\)的子环。而因为\(p\)是素数，\(\Z_p\)其实是一个“子域”。现在假如已知\(\F\)是素域，那么它没有真子域，这说明\(\F\)本身同构于\(\Z_p\)。所以我们得到这样一个结论：特征不为0的素域是有限域，其大小就是其特征（一个素数\(p\)），这个素域同构于\(\Z_p\)。
我们可以进一步验证一下，对于所有素数\(p\)，\(\Z_p\)一定是素域：假如\(\Z_p\)有子域\(\F'\)，那么\(\F'\)中包含\(1\)，而\(\forall n\leq p\)，\(n1\)互不相等且都必须包含在\(\F'\)内，因此\(F'=\Z_p\)。
如果\(\F\)的特征为0，那么它一定是无限域。此时，构造\(\phi:\Q\to \F\)使得\(\phi(n/m)=(n1)(m1)^{-1}\)。容易验证\(\phi\)是环同态，因此也是域同态。所以，\(\F\)一定包含一个同构于有理数域的子域。同样地，假如已知\(\F\)是素域，那么它没有真子域，它一定自己本身同构于\(\Q\)。所以我们得到结论：特征为0的素域同构于有理数域。既然有理数域同构于某个素域，说明有理数域本身就是一个素域。
域的扩张
“向量空间”或“线性空间”是我们在线性代数这门课中讨论的代数结构。这个代数结构可以用群和域的语言更广义地叙述如下：设\((V,+)\)是一个阿贝尔群，这个群关于域\(\F\)有标量乘法运算\(\F\times V\to V\)，这个运算满足：\(\forall k,l\in \F,u,v\in V\)，①\((kl)v=k(lv)\)；②\((k+l)v=kv+lv\)；③\(k(u+v)=ku+kv\)；④\(1v=v\)，就称\(V\)是\(\F\)上的向量空间（或线性空间）。
如果域\(\E\)和域\(\F\)满足\(\F\subseteq \E\)，就称\(\F\)是\(\E\)的子域(subfield)，称\(\E\)是\(\F\)的扩域(extension field)，记为\(\F\leq \E\)或\(\E/\F\)。如果\(\F\leq \E\)，那么容易验证\(\E\)是\(\F\)上的向量空间。我们把这个向量空间的维数（基向量的个数，可能是无穷）记为\([\E:\F]\)。如果这个维数是有限的，就称\(\E\)是\(\F\)的有限扩域。下面是两个扩域的例子，\([\C:\R]=2\)，\([\Q(x):\Q]=\infty\)。
我们最熟悉的域的扩张就是从实数域\(\R\)到复数域\(\C\)的扩张。在这个过程中，一个在原本的域中可能无根的多项式在扩域后变得一定有根了。我们已经知道这一过程可以通过构造多项式环上极大理想的商环来完成：\(\R[x]/(x^2+1)\)本质上就是复数域。现在我们要把这一事实推广到任何一般的域\(\F\)上：给定域\(\F\)，对于任意一个\(\F[x]\)中次数不为0的多项式\(f(x)\)，我们都能对应地找到\(\F\)的某个扩域\(\E\)使得\(f(x)\)有根（不同的\(f(x)\)可能对应不同的扩域，这与实数域扩张为固定的\(\C\)而言有所不同）。这可以看作域的基本定理。
寻找这个\(\E\)的过程和构造\(\R[x]/(x^2+1)\)的过程基本是完全类似的。对于每个\(f(x)\)，我们把\(\F\)扩域为\(\F\)的多项式环\(\F[x]\)模\(f(x)\)的域，这个域中的一次多项式\(x\)恰好就是\(f(x)\)的根，因为\(f(x)\)模\(f(x)\)就是0。我们严格地叙述这个过程：因为\(\F[x]\)是唯一分解整环，因此任意次数不为0的多项式\(f(x)\)都可以分解为若干不可约多项式以及某个常数的乘积。我们只需证明其中某个不可约多项式在\(\E\)上有根即可，因此不失一般性我们假设\(f(x)\)就是不可约的。在唯一分解整环中，不可约元就是素元，其生成的理想就是素理想。而\(\F[x]\)也是主理想整环，因此素理想也是极大理想。模极大理想的商群是域，记\(M=(f(x))\)，则\(\F[x]/M\)是域。我们可以就把\(\F[x]/M\)作为我们想要的扩域，但更方便的是采取只考虑最低次陪集首的同构的形式：对于\(\F[x]/M\)中的任意一个陪集\(g(x)+M\)，一定有\(g(x)+M=g(x)\mod f(x)+M\)（因为\(g(x)-g(x)\mod f(x)\)是\(f(x)\)的倍数，因此属于\(M\)）。所以假如\(f(x)\)是\(n\)次的，每个陪集中就一定可以取低于\(n\)次的多项式作为陪集首。反过来，两个低于\(n\)次的不同多项式生成的陪集一定不同，不然说明一个低于\(n\)次的非零多项式是\(f(x)\)的倍数，矛盾。因此我们尝试证明\(\F[x]/M\cong \F_{n-1}[x]=\{a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\mid a_i\in \F\}\)。构造\(\F[x]\to \F_{n-1}[x]\)的映射\(\phi(g(x))=g(x)\mod f(x)\)，容易验证这是同态，那么\(\ker(\phi)=\{g(x)\mid g(x)\mod f(x)=0\}=f(x)\F[x]=(f(x))=M\)。因此根据第一同构定理\(\F[x]/M\cong \F_{n-1}[x]\)自然成立。那么取\(\E=\F_{n-1}[x]\)，取\(\E\)中的一次多项式\(x\)代入\(f(x)\)，则\(\phi(f(x))=f(x)\mod f(x)=0\)，因此\(f(x)=0\)。所以\(x\)就是\(f(x)\)在扩域\(\E\)中的一个根。
标签：,phi,扩域,同态,多项式,素域,乘法 From： https://www.cnblogs.com/qixingzhi/p/18219005