一，求过定点切线
1，切线
切线的来源就和导数很像。
先过切点做一条割线，再将第二个交点不断靠近切点，这时两个无限接近的交点可以看作一个交点
2.求过定点切线解析式
- 1.定点在函数上
求导解出斜率k，再将定点带进去求出b,没什么好说的 - 2.定点不在函数上
以求过原点的\(f(x)=x^2+1\)的切线为例：
求导得到\(f^ {'}(x)=2x\)
设切点为\((x0,x0^2+1)\)（显然切点不是原点，只是原点在这条切线上）
\(k=2x0\)
解析式为\(y-x0^2-1=2x0(x-x0)\)（为y-y0=k(x-x0)的形式）
代入\((0,0)\)
解得\(x1=1,x2=-1\)
所以过\((0,0)\)的切线解析式为\(y=x\)和\(y=-x\)
二，求函数单调区间
若一段区间上的\(f^ {'}(x)>0\)则为函数的增区间，若\(f^ {'}(x)<0\)
ps:像\(f(x)=x^3(x\epsilon R)\)这样有拐点（\(f^ {'}(x)=0\)）的区间也是增区间
三，求极值
1.定义
若函数\(y=f(x)\)在点a处的函数值比它在\(x=a\)附近的函数值都小，称\(f(a)\)为该函数的一个极大值，同理有极小值。
2.求解
解方程\(f^ {'}(x)=0\),当\(f^ {'}(x0)=0\)时
- 1.如果在\(x0\)附近的左侧\(f^ {'}(x)>0\),右侧\(f^ {'}(x)<0\),那么\(f(x0)\)为极大值
- 2.如果在\(x0\)附近的左侧\(f^ {'}(x)<0\),右侧\(f^ {'}(x)>0\),那么\(f(x0)\)为极小值
四，求函数区间最值
首先，不难发现区间两端点处的函数值可能为区间最值
其次，有结论：除端点外不是若\(f(x0)\)不是极值，则一定不是区间最大值或最小值
证明使用反证法即可。
所以求函数区间最值只需要比较每一个极值和两端点函数值
五，恒成立问题
其实没有什么难点......
六，凹凸性
1.两个基础结论
- 1.在连续函数f上，若\(f(a)=f(b)\),则必有\(x0\epsilon [a,b]\)使得\(f^ {'}(x0)=0\)
若f在\([a,b]\)上函数值不变，则\(f^ {'}(x0)\)恒为0
否则存在至少一个极值点，而极值点处有\(f^ {'}(x0)=0\) - 2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则存在\(x0\epsilon [a,b]\)使得\(f^ {'}(x0)=0\)
令\(g(x)=f(x)- [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)]\)
将\(a,b\)代入\(g\)，得\(g(a)=g(b)=0\)
由结论1，在\([a,b]\)上存在\(g^ {'}(x)=0\)
即\({f(x)- [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)]}^ {'}=0\)
拆括号，化简，得证
2.下凸，上凸函数
定义下凸函数：
对于任意\(x1,x2\),有\(f(\frac{x1+x2}{2})<=\frac{f(x1)+f(x2)}{2}\)
证明：若\(f^ {''}(x)>0\),则\(f(x)\)为下凸函数
设\(x0=\frac{x1+x2}{2}\),\(x2-x0=h,x0-x1=h,\theta 1,\theta 2\)为大于0小于1的常数
由题设，\(f(x2)+f(x1)-2f(x0)>0\)
则：\(f(x2)-f(x0)-[f(x0)-f(x1)]>0\)
由基础结论2，存在\(x0+\theta 1h\)使得\(f^ {'}(x0+\theta 1h)=\frac{f(x2)-f(x0)}{h}\)
同理，令\(f^ {'}(x0-\theta 2h)=\frac{f(x0)-f(x1)}{h}\)
\(\therefore f^ {'}(x0+\theta 1h)h-f^ {'}(x0-\theta 2h)h>0\)
\(\Rightarrow \frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h} h(\theta 1+\theta 2)h\)
由于\(f^ {''}(x)>0\)，则\(f^ {'}(x)\)为增函数，有：\(\frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h}>0\)
\(\therefore \frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h} h(\theta 1+\theta 2)h>0\),得证
类似的，若\(f^ {''}(x)<0\),则\(f(x)\)为上凸函数
七，拟合函数
有函数\(f,g\),若当\(x=x0\)时，有：
\(f(x0)=g(x0),f^ {'}(x0)=g^ {'}(x0),f^ {''}(x0)=g^ {''}(x0)......\)时，\(f\)与\(g\)互为拟合函数，当项数足够多，可以认为\(f=g\)
一个经典的函数\(g(x)=f(x0)+\frac{f^ {'}(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f^ {''}(x0)}{2!}(x-x0)^2+......\)
\(f(x)与g(x)\)满足上述条件
于是有了泰勒公式：
\(f(x)=f(0)+\frac{f^ {'}(0)}{1!}x+\frac{f^ {''}(0)}{2!}x^2+......\)
这个式子用处很大，比如可以令\(f(x)=e^x\),x=1时，得：
\(e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}......\)
八，记录一下经典模型
当x>1时：\(\frac{2(x-1)}{x+2}<lnx<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})\)
当x<1时：\(\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})<lnx<\frac{2(x-1)}{x+2}\)