对于导波装置中的电磁场，采用广义坐标系 \((u_1,u_2,z)\)（\(u_1\) 和 \(u_2\) 为导波装置横截面上的坐标，\(z\) 为纵向坐标），场强可分为纵向分量 \(E_z(u_1,u_2,z),~H_z(u_1,u_2,z)\) 和横向分量 \(E_t(u_1,u_2,z),~H_t(u_1,u_2,z)\)。只需要先求出纵向分量，再通过关系式，就可以求出所有场分量。
导行电磁波的亥姆霍兹方程式:
\[\begin{split} &\nabla_t^2\vec{E_t}+k_c^2\vec{E_t}=\vec{0},~\nabla_t^2\vec{H_t}+k_c^2\vec{H_t}=\vec{0}\\ &\nabla_t^2E_z+k_cE_z=0,~\nabla_t^2H_z+k_cH_z=0 \end{split} \]导行波的表达式
传输常数
\[\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{k_c^2-k^2} \]\(k\) 为电磁波在无限媒质中的波数。\(k=\omega\sqrt{\mu \varepsilon}\)，为实数。
\(k_c\) 为截止波数。由导波系统横截面的边界条件决定，也是实数。
因此，\(\gamma\) 随工作频率变化。
- \(z\) 方向的传播常数 \(k_z\)：若 \(\gamma\) 为纯虚数，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)，电磁波才能在波导中传播。
电场强度的纵向分量表达式
\[\vec{E_t}=\vec{E_t}(u_1,u_2)e^{-\gamma z}e^{j\omega t} \]根据 \(\gamma^2\) 不同值，可以分为三种状态：
- 传输状态：\(\gamma^2<0\)，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。此时波沿 \(+z\) 轴方向无衰减传输。
- 截止状态：\(\gamma^2>0\)，即 \(\gamma=\alpha\)。此时波沿 \(+z\) 轴方向以指数规律衰减。
- 临界状态：\(\gamma=0\)。该状态是电磁波能否在导波系统中传播的临界状态。
\(\vec{H_t}\) 可由 \(\vec{E_t}\) 和波阻抗求得。
导行波的分类
- 横电磁波(\(TEM\)波)：\(E_z=H_z=0\)，必有 \(k_c=0\)，则 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。\(TEM\)波总是满足传输状态。
- 横电波(\(TE\)波) 或 磁波(\(H\)波)：\(E_z=0,H_z\neq0\)。所有磁场分量可由 \(H_z\) 求得。
- 横磁波(\(TM\)波) 或 电波(\(E\)波)：\(H_z=0,E_z\neq0\)。所有磁场分量可由 \(E_z\) 求得。
导行波的传输特性
1、截止波长与传输条件
截止频率与截止波长
截止状态时，\(k_c=k=\omega\sqrt{\mu \varepsilon}\)。由 \(k_c\) 决定的频率(\(f_c\))和波长(\(\lambda_c\))就是截止频率和截止波长。
\[f_c=\frac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu \varepsilon}},~~~~\lambda_c=\frac{v}{f_c}=\frac{2\pi}{k_c} \]\(v\) 为电磁波在无限介质中的相速度。\(v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\)。
\(k_c\) 为截止波数，与截止波长的关系为 \(k_c\lambda_c=2\pi\)。
截止条件
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
- 对于\(TEM\)波：
由于 \(k_c=0\)，则 \(f_c=0,~\lambda_c=\infty\)。任意频率的\(TEM\)波都在传输状态，即不存在截止条件。
2、波导波长
理想波导装置中的相波长称为波导波长，记 \(\lambda_g\)。波导波长必须在传输状态下求，即 \(\gamma=j\beta=jk_z\)。满足关系式 \(k_z\lambda_g=2\pi\)。
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
\(\lambda\) 和 \(\lambda_c\) 满足 \(k\lambda=2\pi\) 和 \(k_c\lambda_c=2\pi\)。
- 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=0\)，则
3、相速、群速和色散
相速
满足公式 \(k_zv_p=\omega\)
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
- 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=\infty\)，则
相速与波导波长满足：\(\lambda_gf=v_p\)。
注：\(TE\)波和\(TM\)波的相速大于（介质中的）光速，但相速描述的是波的等相位面移动的速度，不是能量传播的速度，所以不违背相对论。
群速
群速就是能量的传播速度。
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
- 对于\(TEM\)波，\(\lambda_c=\infty\)，则
注：\(v_g<v\) 且 \(v_g\cdot v_p=v^2\)。
色散
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
\(TE\)波和\(TM\)波的相速和群速都随频率而变化，称此现象为色散。这两种波就是色散波。 - 对于\(TEM\)波：
\(TEM\)波的相速和群速相等，且与频率无关，为非色散波。
4、波阻抗
- 对于\(TE\)波和\(TM\)波：
- 对于\(TEM\)波：
5、传输功率
波导沿无耗规则导行系统\(+z\)方向传输的平均功率为
\[P_0=\frac{1}{2}\text{Re}[\int_S(\vec{E_t}\times\vec{H_t^*})\cdot \vec{e_z}dS] \]矩形波导
在金属波导中不能传输\(TEM\)波，因为它不能满足金属波导的边界条件。
采用直角坐标系，令 \(u_1\) 对应 \(x\) 轴，\(u_2\) 对应 \(y\) 轴，电磁波沿 \(+z\) 方向传播。矩形波导的横截面，在 \(x\) 轴上边长为 \(a\)，在 \(y\) 轴上的边长为 \(b\)。
矩形波导中的\(TM\)波
电场强度的纵向分量表达式
\[E_z=E_0\sin{k_xx}\sin{k_yy}e^{-jk_zz}e^{j\omega t} \]- 一些波数：
注：取不同的 \(m\) 和 \(n\)，代表不同的\(TM\)波场结构模式，记 \(TM_{mn}\)。需要注意，\(m\) 和 \(n\) 不能取 \(0\)。
传输特性
1、传输常数
\[\gamma=\sqrt{k_c^2-k^2}=\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2+(\frac{n\pi}{b})^2-\omega^2\mu\varepsilon} \]- \(z\) 方向的传输常数：
2、截止频率和截止波长
- 截止频率
注：矩形波导呈现高通滤波器的特性，只要工作频率高于截止频率时，电磁波才能在波导中传输。
- 截止波长
3、波导波长
\[\lambda_g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} \]4、相速
\[v_p=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_c})^2}}=\frac{v}{\sqrt{1-(\frac{f_c}{f})^2}} \]矩形波导中的\(TE\)波
磁场强度的纵向分量表达式
\[H_z=H_0\cos{k_xx}\cos{k_yy}e^{-jk_zz}e^{j\omega t} \]\(k_x,k_y,k_z,k_c,f_c,\lambda_c,v_p,\lambda_g\) 的计算公式与\(TM\)波完全相同。
与\(TM\)波一样，\(TE\)波用\(TE_{mn}\)表示不同模式的波。对于\(TE\)波，\(m\) 和 \(n\) 可以取 \(0\)，但不能同时为 \(0\)。因此，存在 \(TE_{m0}\) 和 \(TE_{0n}\)。
矩形波导的主模
通常把具有最低截止频率的模式称为主模。一般情况下，\(a>b\)，所以\(TE_{10}\)是截止频率最低的模式。\(TE_{10}\)波是矩形波导中的主模。
简并模
具有相同截止波长的模称为简并模，即具有相同 \(m\)、\(n\) 的\(TE_{mn}\)和\(TM_{mn}\)是一对简并模。
由于\(TM_{mn}\)不能取 \(0\)，因此，\(TE_{m0}\)和\(TE_{0n}\)为非简并模。
完
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