首页 > 其他分享 >抽象代数课程笔记 III —— 域论、伽罗瓦理论

抽象代数课程笔记 III —— 域论、伽罗瓦理论

时间:2024-05-16 12:24:01浏览次数:21  
标签:ch 域论 cdot 子域 newcommand cdots ph III 伽罗瓦

持续更新。\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\t}{\theta} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\fr}{\frac} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\ov}{\overline} \newcommand{\ud}{\underline} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\mps}{\mapsto} \newcommand{\op}{\operatorname} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\ch}{\operatorname{ch}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\an}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\rm}{\mathrm} \newcommand{\al}{\mathcal} \newcommand{\xeq}{\xlongequal} \newcommand{\bal}{\begin{aligned}} \newcommand{\eal}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}\)

Chap.13 Field Theory

域论。

Sec.13.1 Basic Theory and Field Extensions

特征

域 \(F\) 的 特征 (Characteristic) 是最小的正整数 \(p\) 使得 \(p\) 个 \(1_F\) 相加得 \(0\),记为 \(\ch(F)\)。若 \(p\) 不存在则 \(\ch(F) = 0\)。

\[n \cdot 1_F +m\cdot 1_F = (n + m)\cdot 1_F,\quad (n\cdot 1_F) (m\cdot 1_F) = mn\cdot 1_F \]

对于整环 \(R\),定义其特征为其商域的特征。

结论 13.1

\(\ch(F)\) 为 \(0\) 或质数。若 \(\ch(F) = p\),则对任意 \(\a\in F\),\(p\cdot \alpha = \alpha + \cdots + \alpha = 0\)。

证明

若 \(n\cdot 1_F = 0\) 且 \(n = ab\),则 \((a\cdot 1_F) (b\cdot 1_F) = 0\),于是 \(a\cdot 1_F = 0\) 或 \(b\cdot 1_F = 0\)。

\(p\cdot \a = p \cdot (1_F\a) = (p\cdot 1_F)\a = 0\)。\(\square\)

(1) \(\ch(\Q) = \ch(\R) = \ch(\Z) = 0\)。

(2) \(\ch(\F_p = \Z / p\Z) = \ch(\F_p[x]) = p\)。

素子域

\(F\) 的 素子域 (Prime Subfield) 为乘法单位元 \(1_F\) 生成的子域。它同构于 \(\Q\) 或 \(\F_p\),分别对应 \(\ch(F) = 0\) 和 \(\ch(F) = p\) 的情况。

素子域是 \(F\) 最小的子域。

(1) \(\Q, \R\) 的素子域为 \(\Q\)。

(2) \(\F_p(x)\) 的素子域同构于 \(\F_p\)。

扩张域

若域 \(K\) 包含子域 \(F\),则称 \(K\) 是 \(F\) 的 扩张域 (Extension Field),记为 \(K / F\)。\(F\) 称为扩张的 基域 (Base Field)

若 \(K / F\) 是域的扩张,则 \(K\) 上的乘法使 \(K\) 成为关于 \(F\) 的向量空间。\(F\) 是关于其基域的向量空间。

\(K\) 关于 \(F\) 的向量空间的维度 \(\dim_F K\) 称为域扩张 \(K / F\) 的 度 (Degree),记为 \([K : F]\)。若 \([K : F]\) 有限,则称域扩张有限,否则无限。

若 \(K\) 是 \(F\) 的向量空间,则 \(\forall r, s\in F,\ \forall k\in K\):

(1) \(K\) 是加法的阿贝尔群。

(2) \((r + s)k = rk + sk\)。

(3) \((rs) k = r(sk)\)。

(4) \(r(k_1 + k_2) = rk_1 + rk_2\)。

(5) \(1\cdot k = k\)。

简单地说,\(K\) 存在一组基,使得 \(K\) 中的每个元素由这些基底的 \(F\)-线性组合得到。基的数量即扩张的维度。

\([\C : \R] = 2\),基底为 \(\{1, \i\}\)。


尝试求解 \(F\) 上的方程导出了一类重要的域扩张。给定 \(p(x)\in F[x]\),是否存在 \(F\) 的扩张域 \(K\) 使得 \(p(x)\) 在 \(K\) 上有根?

结论 13.2(推论 7.10)

设 \(\ph : F\to F'\) 是域同态,则 \(\ph\) 为零映射或单射,\(\ph\) 的像为 \(0\) 或同构于 \(F\)。

定理 13.3

设域 \(F\) 上的多项式 \(p(x)\in F[x]\) 不可约,则存在含同构于 \(F\) 的子域的域 \(K\) 使得 \(p(x)\) 有根。将 \(F\) 和它在 \(K\) 上的同构子域相对应,则存在 \(F\) 的扩张域使得 \(p(x)\) 有根。

证明

考虑 \(K = F[x] / (p(x))\)。因为 \(p(x)\) 不可约,所以 \(K\) 是域(结论 9.15)。

考虑 \(F[x]\to F[x] / (p(x))\) 的自然映射 \(\pi\)。设 \(\ph = \pi|_F : F\to K\)(映射 \(\pi\) 的原像为 \(F\) 的部分),则 \(\ph\) 是同态。因为 \(\ph(1_F) = 1_K\),所以 \(\ph\) 不为零,\(\ph\) 是单射,\(\ph(F)\cong F\)。将 \(F\) 对应于 \(\ph(F)\),则 \(F\) 是 \(K\) 的子域。

因为 \(\pi\) 是同态,所以 \(p(\ov x) = \ov {p(x)} = p(x)\bmod (p(x)) = 0 \in F[x] / (p(x))\)。\(\square\)

\(p(x)\) 在 \(F\) 上可能没有根,但是在 \(F[x] / (p(x))\) 上一定有根:如果 \(F\) 上的元素不能满足要求,那就让变量 \(x\) 本身成为一个元素。

\(\C\) 就是通过 \(\R\) 根据 \(x ^ 2 + 1 = 0\) 扩张得到的。\(\R\) 上没有满足 \(x ^ 2 + 1 = 0\) 的元素。考虑 \(\R[x] / (x ^ 2 + 1)\),此时 \(x\) 本身就是一个元素,即 \(\i\)。对于 \(a + bx, c + dx\in \R[x] / (x ^ 2 + 1)\),会发现

\[(a + bx)(c + dx) \bmod (x ^ 2 + 1) = (ac - bd) + (ad + bc)x \]

恰对应了复数乘法。这并不是巧合,只是一种视角将 \(\i\) 视作 \(\sqrt {-1}\),另一种视角将 \(\i\) 视作模 \(x ^ 2 + 1\) 下的 \(x\)。它们本质上是相同的。

现在考虑如何用 \(K\) 的一组基的 \(F\)-线性组合表示 \(K\)。我们猜测最终得到的是所有度小于 \(\deg p(x)\) 的多项式,因为 \(F[x]\) 上支持带余除法 \(a(x) = q(x)p(x) + r(x)\),其中 \(\deg r(x) < \deg p(x)\),于是 \(a(x)\bmod p(x) = r(x)\)。

定理 13.4

设 \(p(x)\in F[x]\) 是度为 \(n\) 的不可约多项式,\(K = F[x] / (p(x))\)。记 \(\t = x \bmod (p(x))\in K\),则 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 是 \(K\) 关于 \(F\) 的向量空间的一组基,扩张的度为 \([K : F] = n\)。

\[K = \{a_0 + a_1\t + \cdots + a_{n - 1} \t ^ {n - 1}\mid a_0, \cdots, a_{n - 1}\in F\} \]

恰好包含了所有度小于 \(n\) 的关于 \(\t\) 的多项式。

使用 \(x\) 和 \(\t\) 是为了区分:\(x\) 在 \(F[x]\) 是变量,但 \(x\) 在 \(F[x] / (p(x))\) 既可以表示变量,也可以表示元素 \(x\) 在 \(F[x] / (p(x))\) 的像,后者记为 \(\t\)。

证明

由 \(F[x]\) 上的带余除法,\(a(x)\bmod p(x) = r(x)\),其中 \(\deg r(x) < \deg p(x)\)。因此,所有 \(F[x] / (p(x))\) 的等价类可以表示为度不超过 \(n\) 的多项式,即 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 确实张成了 \(K\)。

若 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 线性相关,则存在 \(F[x]\) 上的非零多项式 \(b(x) \equiv 0\pmod {p(x)}\) 满足 \(\deg b(x) < \deg p(x)\),即 \(b(x)\) 整除 \(p(x)\),矛盾。

将定理放在我们熟悉的 \(\Z / p\Z[x]\) 上就很容易理解了:对度为 \(n\) 的多项式 \(f(x)\),所有度小于 \(n\)(且系数在 \(\Z / p\Z\))的多项式在模 \(f(x)\) 意义下互不相同,所有度不小于 \(n\) 的多项式模 \(f(x)\) 最终得到度小于 \(n\) 的多项式。

对于所有度小于 \(n\) 的多项式,它们可以表示为 \(a_0 + a_1x + \cdots + a_{n - 1}x ^ {n - 1}\),其中 \(a_0, \cdots, a_{n - 1}\in \Z / p\Z\),于是 \((\Z / p\Z[x]) / (f(x))\) 由 \(\{1, x, \cdots, x ^ {n - 1}\}\) 的 \(\Z / p\Z\)-线性组合得到。

另一种角度:不妨设 \(p(x) = x ^ n + p_{n - 1}x ^ {n - 1} + \cdots + p_1x + p_0\),则因为 \(p(\t) = 0\),所以

\[\t ^ {n} = -(p_{n - 1}\t ^ {n - 1} + \cdots + p_1\t + p_0) \]

将等式两侧同时乘以 \(\t\),并将右侧的 \(\t ^ n\) 替换为 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 的线性组合,可知任意 \(\t ^ {m},\ m\geq n\) 都是 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 的线性组合。从中我们还可以感受到对多项式取模的过程是一个线性递推。

推论 13.5

设 \(K\) 是定理 13.4 的 \(K\),\(a(\t), b(\t)\in K\),则 \(K\) 中的加法是普通多项式相加,\(K\) 中的乘法为 \(a(\t)b(\t) = r(\t)\),其中 \(r(x)\) 是 \(a(x)b(x)\) 在 \(F[x]\) 对 \(p(x)\) 取模后的结果。

标签:ch,域论,cdot,子域,newcommand,cdots,ph,III,伽罗瓦
From: https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/18195700/Abstract_Algebra_Field_Theory_and_Galois_Theor

相关文章

  • 抽象代数课程笔记 III —— 域论、伽罗瓦理论
    持续更新。\(\newcommand{\a}{\alpha}\newcommand{\b}{\beta}\newcommand{\D}{\Delta}\newcommand{\eps}{\varepsilon}\newcommand{\ph}{\varphi}\newcommand{\t}{\theta}\newcommand{\la}{\lambda}\newcommand{\si}{\sigma}\newcommand{\d}{......
  • UcOs-III 源码阅读: os_time.c
    对实时时钟源文件os_time.c进行源码阅读与注释://功能:Tick级别延时、时间延时、恢复延时中的任务、获取/设置系统Tick值、实时时钟滴答函数//Tick级别延时API:OSTimeDly(ticks)//时间延时API:OSTimeDlyHMSM(p_hmsm)//恢复延时API:OSTimeDlyResume(task_id)//获取系统T......
  • UcOs-III 源码阅读: os_tmr.c
    对定时器源文件os_tmr.c进行源码阅读与注释://功能:创建、删除、启动、停止、删除、初始化模块、获取定时器剩余时间、获取定时器状态、//创建定时器API:OS_TmrCreate//删除定时器API:OS_TmrDel//启动定时器API:O......
  • 【DP】买卖股票的最佳时机III
    题源-之前都是数组存,然后转移状态,这次是直接四个变量,非常神奇-在该问题中,定义了五种状态,分别是:未进行过任何操作、只进行过一次买操作、进行了一次买操作和一次卖操作(完成了一笔交易)、在完成了一笔交易的前提下进行了第二次买操作以及完成了全部两笔交易。-然后,通过状态转移方......
  • Intel Pentium III CPU(Coppermine, Tualatin) L2 Cache Latency, Hardware Prefetch
    这几天,偶然的机会想到了困扰自己和其他网友多年的IntelPentiumIII系列处理器缓存延迟(L2CacheLatency),以及图拉丁核心版本是否支持硬件预取(HardwarePrefetch)问题。手头的支持图拉丁核心处理器的i815主板还在正常服役中,铜矿和图拉丁核心处理器也都有,所以就专门做了这一期调查,感......
  • 【每日一题】组合总和 III
    216.组合总和III找出所有相加之和为 n的 k 个数的组合,且满足下列条件:只使用数字1到9每个数字 最多使用一次 返回所有可能的有效组合的列表。该列表不能包含相同的组合两次,组合可以以任何顺序返回。示例1:输入:k=3,n=7输出:[[1,2,4]]解释:1+2+4......
  • 洛谷题单指南-数学基础问题-P2651 添加括号III
    原题链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2651题意解读:计算能否在除法a1​/a2​/a3​/.../an​式子中加括号,将一部分数变成分子,使得除法结果是整数。解题思路:在a1​/a2​/a3​/.../an​中,无论怎么加括号,a1一定是分子,a2一定是分母,那么可以判断把a3...an都作为分子,是否能除尽......
  • 25天【代码随想录算法训练营34期】第七章 回溯算法part02 ( ● 216.组合总和III ● 17
    **216.组合总和III**classSolution:defcombinationSum3(self,k:int,n:int)->List[List[int]]:result=[]self.backtracking(k,n,1,[],result,n)returnresultdefbacktracking(self,k,n,startingIndex,path,result,......
  • (学习日记)2024.04.11:UCOSIII第三十九节:软件定时器
    写在前面:由于时间的不足与学习的碎片化,写博客变得有些奢侈。但是对于记录学习(忘了以后能快速复习)的渴望一天天变得强烈。既然如此不如以天为单位,以时间为顺序,仅仅将博客当做一个知识学习的目录,记录笔者认为最通俗、最有帮助的资料,并尽量总结几句话指明本质,以便于日后搜......
  • 437. 路径总和 III
    题面核心思想树上的前缀和o(n)当前的前缀和:curSum前面的前缀和:preSum如果curSum-preSum==target就说明有一段区间和为target,preSum出现了几次就有几段区间,所以用map存储前缀和出现的次数代码classSolution{privateintres=0;//437.路径总和III......