持续更新。\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\t}{\theta} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\fr}{\frac} \newcommand{\l}{\left} \newcommand{\r}{\right} \newcommand{\ov}{\overline} \newcommand{\ud}{\underline} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\mps}{\mapsto} \newcommand{\op}{\operatorname} \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\ch}{\operatorname{ch}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\infn}[1]{\| #1 \|_{\infty}} \newcommand{\an}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\rm}{\mathrm} \newcommand{\al}{\mathcal} \newcommand{\xeq}{\xlongequal} \newcommand{\bal}{\begin{aligned}} \newcommand{\eal}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}\)
Chap.13 Field Theory
域论。
Sec.13.1 Basic Theory and Field Extensions
特征
域 \(F\) 的 特征 (Characteristic) 是最小的正整数 \(p\) 使得 \(p\) 个 \(1_F\) 相加得 \(0\)，记为 \(\ch(F)\)。若 \(p\) 不存在则 \(\ch(F) = 0\)。
\[n \cdot 1_F +m\cdot 1_F = (n + m)\cdot 1_F,\quad (n\cdot 1_F) (m\cdot 1_F) = mn\cdot 1_F \]对于整环 \(R\)，定义其特征为其商域的特征。
结论 13.1
\(\ch(F)\) 为 \(0\) 或质数。若 \(\ch(F) = p\)，则对任意 \(\a\in F\)，\(p\cdot \alpha = \alpha + \cdots + \alpha = 0\)。
证明
若 \(n\cdot 1_F = 0\) 且 \(n = ab\)，则 \((a\cdot 1_F) (b\cdot 1_F) = 0\)，于是 \(a\cdot 1_F = 0\) 或 \(b\cdot 1_F = 0\)。
\(p\cdot \a = p \cdot (1_F\a) = (p\cdot 1_F)\a = 0\)。\(\square\)
例
(1) \(\ch(\Q) = \ch(\R) = \ch(\Z) = 0\)。
(2) \(\ch(\F_p = \Z / p\Z) = \ch(\F_p[x]) = p\)。
素子域
\(F\) 的 素子域 (Prime Subfield) 为乘法单位元 \(1_F\) 生成的子域。它同构于 \(\Q\) 或 \(\F_p\)，分别对应 \(\ch(F) = 0\) 和 \(\ch(F) = p\) 的情况。
素子域是 \(F\) 最小的子域。
例
(1) \(\Q, \R\) 的素子域为 \(\Q\)。
(2) \(\F_p(x)\) 的素子域同构于 \(\F_p\)。
扩张域
若域 \(K\) 包含子域 \(F\)，则称 \(K\) 是 \(F\) 的 扩张域 (Extension Field)，记为 \(K / F\)。\(F\) 称为扩张的 基域 (Base Field)。
若 \(K / F\) 是域的扩张，则 \(K\) 上的乘法使 \(K\) 成为关于 \(F\) 的向量空间。\(F\) 是关于其基域的向量空间。
度
\(K\) 关于 \(F\) 的向量空间的维度 \(\dim_F K\) 称为域扩张 \(K / F\) 的 度 (Degree)，记为 \([K : F]\)。若 \([K : F]\) 有限，则称域扩张有限，否则无限。
若 \(K\) 是 \(F\) 的向量空间，则 \(\forall r, s\in F,\ \forall k\in K\)：
(1) \(K\) 是加法的阿贝尔群。
(2) \((r + s)k = rk + sk\)。
(3) \((rs) k = r(sk)\)。
(4) \(r(k_1 + k_2) = rk_1 + rk_2\)。
(5) \(1\cdot k = k\)。
简单地说，\(K\) 存在一组基，使得 \(K\) 中的每个元素由这些基底的 \(F\)-线性组合得到。基的数量即扩张的维度。
例
\([\C : \R] = 2\)，基底为 \(\{1, \i\}\)。
尝试求解 \(F\) 上的方程导出了一类重要的域扩张。给定 \(p(x)\in F[x]\)，是否存在 \(F\) 的扩张域 \(K\) 使得 \(p(x)\) 在 \(K\) 上有根？
结论 13.2（推论 7.10）
设 \(\ph : F\to F'\) 是域同态，则 \(\ph\) 为零映射或单射，\(\ph\) 的像为 \(0\) 或同构于 \(F\)。
定理 13.3
设域 \(F\) 上的多项式 \(p(x)\in F[x]\) 不可约，则存在含同构于 \(F\) 的子域的域 \(K\) 使得 \(p(x)\) 有根。将 \(F\) 和它在 \(K\) 上的同构子域相对应，则存在 \(F\) 的扩张域使得 \(p(x)\) 有根。
证明
考虑 \(K = F[x] / (p(x))\)。因为 \(p(x)\) 不可约，所以 \(K\) 是域（结论 9.15）。
考虑 \(F[x]\to F[x] / (p(x))\) 的自然映射 \(\pi\)。设 \(\ph = \pi|_F : F\to K\)（映射 \(\pi\) 的原像为 \(F\) 的部分），则 \(\ph\) 是同态。因为 \(\ph(1_F) = 1_K\)，所以 \(\ph\) 不为零，\(\ph\) 是单射，\(\ph(F)\cong F\)。将 \(F\) 对应于 \(\ph(F)\)，则 \(F\) 是 \(K\) 的子域。
因为 \(\pi\) 是同态，所以 \(p(\ov x) = \ov {p(x)} = p(x)\bmod (p(x)) = 0 \in F[x] / (p(x))\)。\(\square\)
\(p(x)\) 在 \(F\) 上可能没有根，但是在 \(F[x] / (p(x))\) 上一定有根：如果 \(F\) 上的元素不能满足要求，那就让变量 \(x\) 本身成为一个元素。
\(\C\) 就是通过 \(\R\) 根据 \(x ^ 2 + 1 = 0\) 扩张得到的。\(\R\) 上没有满足 \(x ^ 2 + 1 = 0\) 的元素。考虑 \(\R[x] / (x ^ 2 + 1)\)，此时 \(x\) 本身就是一个元素，即 \(\i\)。对于 \(a + bx, c + dx\in \R[x] / (x ^ 2 + 1)\)，会发现
\[(a + bx)(c + dx) \bmod (x ^ 2 + 1) = (ac - bd) + (ad + bc)x \]恰对应了复数乘法。这并不是巧合，只是一种视角将 \(\i\) 视作 \(\sqrt {-1}\)，另一种视角将 \(\i\) 视作模 \(x ^ 2 + 1\) 下的 \(x\)。它们本质上是相同的。
现在考虑如何用 \(K\) 的一组基的 \(F\)-线性组合表示 \(K\)。我们猜测最终得到的是所有度小于 \(\deg p(x)\) 的多项式，因为 \(F[x]\) 上支持带余除法 \(a(x) = q(x)p(x) + r(x)\)，其中 \(\deg r(x) < \deg p(x)\)，于是 \(a(x)\bmod p(x) = r(x)\)。
定理 13.4
设 \(p(x)\in F[x]\) 是度为 \(n\) 的不可约多项式，\(K = F[x] / (p(x))\)。记 \(\t = x \bmod (p(x))\in K\)，则 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 是 \(K\) 关于 \(F\) 的向量空间的一组基，扩张的度为 \([K : F] = n\)。
\[K = \{a_0 + a_1\t + \cdots + a_{n - 1} \t ^ {n - 1}\mid a_0, \cdots, a_{n - 1}\in F\} \]恰好包含了所有度小于 \(n\) 的关于 \(\t\) 的多项式。
使用 \(x\) 和 \(\t\) 是为了区分：\(x\) 在 \(F[x]\) 是变量，但 \(x\) 在 \(F[x] / (p(x))\) 既可以表示变量，也可以表示元素 \(x\) 在 \(F[x] / (p(x))\) 的像，后者记为 \(\t\)。
证明
由 \(F[x]\) 上的带余除法，\(a(x)\bmod p(x) = r(x)\)，其中 \(\deg r(x) < \deg p(x)\)。因此，所有 \(F[x] / (p(x))\) 的等价类可以表示为度不超过 \(n\) 的多项式，即 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 确实张成了 \(K\)。
若 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 线性相关，则存在 \(F[x]\) 上的非零多项式 \(b(x) \equiv 0\pmod {p(x)}\) 满足 \(\deg b(x) < \deg p(x)\)，即 \(b(x)\) 整除 \(p(x)\)，矛盾。
将定理放在我们熟悉的 \(\Z / p\Z[x]\) 上就很容易理解了：对度为 \(n\) 的多项式 \(f(x)\)，所有度小于 \(n\)（且系数在 \(\Z / p\Z\)）的多项式在模 \(f(x)\) 意义下互不相同，所有度不小于 \(n\) 的多项式模 \(f(x)\) 最终得到度小于 \(n\) 的多项式。
对于所有度小于 \(n\) 的多项式，它们可以表示为 \(a_0 + a_1x + \cdots + a_{n - 1}x ^ {n - 1}\)，其中 \(a_0, \cdots, a_{n - 1}\in \Z / p\Z\)，于是 \((\Z / p\Z[x]) / (f(x))\) 由 \(\{1, x, \cdots, x ^ {n - 1}\}\) 的 \(\Z / p\Z\)-线性组合得到。
另一种角度：不妨设 \(p(x) = x ^ n + p_{n - 1}x ^ {n - 1} + \cdots + p_1x + p_0\)，则因为 \(p(\t) = 0\)，所以
\[\t ^ {n} = -(p_{n - 1}\t ^ {n - 1} + \cdots + p_1\t + p_0) \]将等式两侧同时乘以 \(\t\)，并将右侧的 \(\t ^ n\) 替换为 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 的线性组合，可知任意 \(\t ^ {m},\ m\geq n\) 都是 \(1, \t, \cdots, \t ^ {n - 1}\) 的线性组合。从中我们还可以感受到对多项式取模的过程是一个线性递推。
推论 13.5
设 \(K\) 是定理 13.4 的 \(K\)，\(a(\t), b(\t)\in K\)，则 \(K\) 中的加法是普通多项式相加，\(K\) 中的乘法为 \(a(\t)b(\t) = r(\t)\)，其中 \(r(x)\) 是 \(a(x)b(x)\) 在 \(F[x]\) 对 \(p(x)\) 取模后的结果。
标签：ch,域论,cdot,子域,newcommand,cdots,ph,III,伽罗瓦 From： https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/18195700/Abstract_Algebra_Field_Theory_and_Galois_Theor