四元数在旋转变换和插值中的有趣的可视化解释

四元数可以旋转三维空间中的向量，而最近刚好硬着头皮读《复分析可视化方法》（见[1]），这本书中，作者非常巧妙地运用球极射影的方法，将三维空间单位球面上绕向量轴旋转的变换，映射为复平面上旋转矩阵的表示，对四元数的插值给出可视化的有趣并且直观的解释。

四元数的基本定义（参考２），两个四元数相乘可以得到：

绕球面上一点p旋转θ角度，可以表示成对任意两条过p成角θ/2的两条球面直线（大圆）的反射复合。反射就是类似对球面大圆所在平面的对称点的数学概念。两个旋转可以复合成一个旋转变换，如图：
　　　　　　　　　　　　　　
L与M的夹角是θ/2，相交于点r, 点P1对L反射为P2,再对M反射成P3，两次反射后P1变成P3就像绕点r旋转了θ角度。再复合一个旋转，使P3对M反射又成P2，然后对N反射成P4, 四次连续反射后P1变成P4旋转ψ角度。

经过证明（详细请参考[1]255页，6.2.4小节空间旋转也是默比乌斯变换）跳过其中的细节，球面上的旋转可以用复平面上的矩阵来表示。用矩阵相乘来研究球面上旋转变换复合的性质。

在球面上分别绕 x ,y ,z 轴旋转π, 例如当绕 x轴旋转时 l = 1, m = 0, n = 0，ψ = π

容易验证得出连续两次绕 x ,y ,z 轴旋转π，矩阵的乘积等于 -1，其中两个矩阵的积等于另一个矩阵，所以绕向量v旋转ψ的矩阵就可以拆解为下面的表达式：

到了这里突然就有了一种似曾相识的感觉，上面表达式跟单位四元数的定义式等同。球面的上的旋转复合现在可以用四元数的乘积来表示了，这一下好像打开了一扇门，因为球面上所有的运动都可以用旋转搞定，也就可以用四元数代数运算来表示了，反过来同理，单位四元数表示的4维向量，在球面上有具体的可视化解释，大脑于是开始炸裂了。接着，特里斯坦直接写出四元素旋转公式的非常直观的证明，（描述下当时读到这段的心情：经常看到用代数方法解决几何问题，作者用几何的方法证明代数公式，惊呆了！　这比[3]文中用向量运算证明四元数旋转公式的方法直观很多）
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　简单地考察球面上的点旋转效果，假设球面上p'点是由p点绕a点角度ψ而成，想象一下在p'点时，绕a点相反方向角度－ψ就会回到原来的p点，　此时绕p点的旋转任意角度θ，再继以绕a点相正方向角度ψ，最后得到就是绕p'点旋转角度θ。

要理解上式，可能刚开始心情比较平静，感觉哪里见过（比如矩阵相似形式），慢慢有一点不习惯，在这个等式中似乎任意两个旋转（对应的矩阵）都是相似的，因为球面上任意两点p，p'都有一个点a,p绕a旋转能到达p'。其次，旋转空间中的向量，用四元数的代数运算代替了矩阵作用于向量的乘法，当　θ　＝　π时就是通常说的四元数的向量旋转公式。

现在介绍可视化球面线性插值SLERP，在网上分享的很多的资料和参考中，对两个四元数的插值的计算方法（参考６）都是在四元数点积的基础之上（类似三维空间向量的点积运算），相对于两点之间的线性插值，四元数之间的插值显得很不直观。但使用前面描述的四元数的可视方法，这种插值方法就变得很直观明白了。SLERP公式有两种（参考３）：

q0,q1是需要进行插值的两个四元数,q'是插值的中间状态的值。第一个等式也是计算机中常用的插值公式，第二个等式相对来说要计算一次四元数的乘积（并不比矩阵运算量少），但这两个等式下面可以看到其实是相同的。由于两个单位四元数之积是另一个单位四元数，q0与q'的积是q1，求得q'：
　　　　　　　　　　　　　　　　
t在[0,1]之中变化，使用q'的t次幂来对q0到q1插值，得益于上面等式(1)的运用，简直就是欧拉公式的翻版，又一次惊呆了，对于这一类的四元数（只有旋转角度θ改变，u保持不变）它们的性质就如复平面的单位长度的虚数一样了，在时刻t由等式(2),q'的旋转角度变成tθ，使用前面对四元数介绍，这样插值就有很直观的可视化解释了：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
q'在q0到q1之间改变，它的旋转角度在t1时刻是ψ1,在t2时刻变成ψ2，根据球面几何中的计算方法，旋转角度随时间变化的增量ψ2－ψ1，即角速度变化并不是一个常数。在计算机的图形应用中，如果一个物体绕q0旋转过渡到绕q1旋转，从微小到很难察觉的尺度看也许并不太丝滑。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
逆推两个插值公式相等，只需要θ＝ψ满足就可以了。根据定义显然cosθ等于q0与q1的点积，也等于q0的逆与q1乘积的实部cosψ，所以θ与ψ是相等的。从球面来可视化看，q0与q1的夹角θ就是q0的逆与q1乘积的旋转角ψ。

总结：借助四元数在球面上的表示，通过作图可以看到两个四元数之间插值时的改变。由于有限的时间和精力，不能把其中一些结论的详细推导过程写下来。作图完全靠手画，编写数学公式不熟练，用了差不多一周的时间，通过读下面引用的参考材料，将四元数插值过程大概描述出来也许也不错吧。

参考：

[1] [美]特里斯坦.尼达姆, 复分析：可视化方法，齐民友译.北京：人民邮电出版社
[2] Understanding Quaternions 中文翻译
[3] David Eberly, Quaternion Algebra and Calculus
[4] 四元数与旋转变换
[5] 四元数的球面线性插值(slerp)
[6] 四元数插值与均值（姿态平滑）