softmax回归
回归可以用于预测多少的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。
事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：
- 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
- 某个用户可能注册或不注册订阅服务？
- 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
- 某人接下来最有可能看哪部电影？
通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：
- 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；
- 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。
其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。
4.1 分类问题
我们从一个图像分类问题开始。假设每次输入是一个2 × 2的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征\(x_1, x_2, x_3, x_4\)。此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。
接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择y ∈ {1, 2, 3}，其中整数分别代表{狗, 猫, 鸡}。这是在计算机上存储此类信息的有效方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测{婴儿, 儿童, 青少年, 青年人, 中年人, 老年人}，那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。
但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one‐hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签y将是一个三维向量，其中(1, 0, 0)对应于“猫”、(0, 1, 0)对应于“鸡”、(0, 0, 1)对应于“狗”：
y ∈ {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}.
4.2 网络架构
为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的\(w\)），3个标量来表示偏置（带下标的\(b\)）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：\(o_1\)、\(o_2\)和\(o_3\)。
\[o_1 = x_1w_{11} + x_2w_{12} + x_3w_{13} + x_4w_{14}+ b_1, \]\[o_2 = x_1w_{21} + x_2w_{22} + x_3w_{23 }+ x_4w_{24} + b_2, \]\[o_3 = x_1w_{31} + x_2w_{32} + x_3w_{33 }+ x_4w_{34} + b_3. \]我们可以用神经网络图 图来描述这个计算过程。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出\(o_1、o_2\)和\(o_3\)取决于所有输入\(x_1、x_2、x_3\)和\(x_4\)，所以softmax回归的输出层也是全连接层。
为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。通过向量形式表达为\(o = Wx + b\)，这是一种更适合数学和编写代码的形式。由此，我们已经将所有权重放到一个3 × 4矩阵中。对于给定数据样本的特征\(x\)，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵‐向量乘法再加上偏置\(b\)得到的。
4.3 全连接层的参数开销
在深度学习中，全连接层无处不在。然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有d个输入和q个输出的全连接层，参数开销为\(O(dq)\)，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到\(O(\frac {dq}{n})\)，其中超参数n可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性 (Zhang et al., 2021)。
4.4 softmax运算
现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。我们希望模型的输出\(\hat{y}_j\)可以视为属于类j的概率，然后选择具有最大输出值的类别\(argma x_jy_j\)作为我们的预测。例如，如果\(\hat{y}_1\)、\(\hat{y}_2\)和\(\hat{y}_3\)分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。
然而我们能否将未规范化的预测o直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的。因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。
要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。
社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明的softmax函数正是这样做的：softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
这里，对于所有的j总有\(0 ≤\hat{y}_j ≤ 1\)。因此，ˆy可以视为一个正确的概率分布。softmax运算不会改变未规范化的预测o之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。
\[{argmax} \hat{y}_j =argmax o_j \]尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。
4.5 小批量样本的矢量化
为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本X，其中特征维度（输入数量）为\(d\)，批量大小为\(n\)。此外，假设我们在输出中有q个类别。那么小批量样本的特征为\(X \in \mathbb R^{n×d}\)，权重为\(W \in \mathbb R^{d×q}\)，偏置为\(b\in \mathbb R^{1×q}\)。softmax回归的矢量计算表达式为：
\[O = XW + b \]\[\hat y = softmax(O) \]相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了\(XW\)的矩阵‐向量乘法。由于X中的每一行代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于O的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。\(XW + b\)的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测O和输出率\(\hat y\)都是形状为n × q的矩阵。
4.6 损失函数
接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果,我们将使用最大似然估计.
对数似然
softmax函数给出了一个向量ˆy，我们可以将其视为“对给定任意输入x的每个类的条件概率”。例如，\(\hat y_1 =P(y =猫 | x)\)。假设整个数据集\({X, Y}\)具有n个样本，其中索引i的样本由特征向量\(x^(i)\)和独热标签向量\(y^(i)\)组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：
根据最大似然估计，我们最大化\(P(Y | X)\)，相当于最小化负对数似然：
\[- \log P(Y | X) = \sum_{i=1}^{n} - \log P(y^{(i)} | x^{(i)}) = \sum_{i=1}^{n} l(y^{(i)}, \hat{y}^{(i)}) \]其中，对于任何标签\(y\)和模型预测\(\hat y\)，损失函数为：
\[l(y, \hat{y}) = - \sum_{j=1}^{q} y_j \log \hat{y}_j \]损失函数通常被称为交叉熵损失（cross‐entropy loss）。由于y是一个长度为q的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项j都消失了。由于所有\(\hat {y}_j都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于0。因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签\)P(y | x) = 1$，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。
softmax及其导数
由于softmax和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。利用softmax的定义，我们得到：
考虑相对于任何未规范化的预测\(o_j\)的导数，我们得到：
\[\partial o_j l(y, \hat{y}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^{q} \exp(o_k)} - y_j =softmax(o)_j-y_j \]换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值\(y\)和估计值\(\hat y\)之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中，对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。
交叉熵损失
现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签y，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如(0.1, 0.2, 0.7)，而不是仅包含二元项的向量(0, 0, 1)。我们使用 (3.4.8)来定义损失l，它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为交叉熵损失（cross‐entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一.
4.7 信息论基础
信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。
熵
信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。在信息论中，该数值被称为分布P的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：
信息论的基本定理之一指出，为了对从分布p中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要H[P]“纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为e而不是2。因此，一个纳特是$ \frac{1}{log(2)}$ ≈ 1.44比特。
信息量
压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。为什么呢？举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。
但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到“惊异”。克劳德·香农决定用信息
量$ \log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)$来量化这种惊异程度。在观察一个事件j时，并赋予它（主观）概率P(j)。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。
重新审视交叉熵
如果把熵\(H(P)\)想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？交叉熵从P到Q，记为\(H(P, Q)\)。我们可以把交叉熵想象为“主观概率为Q的观察者在看到根据概率P生成的数据时的预期惊异”。当\(P = Q\)时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从P到Q的交叉熵是\(H(P, P) = H(P)\)。
简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：
- 最大化观测数据的似然；
- 最小化传达标签所需的惊异。
4.8 模型预测和评估
在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。我
们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。
softmax回归的从零开始实现
此处的代码接在图像分类数据集之下
import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size)
6.1 初始化模型参数
这里的每个样本都将用固定长度的向量表示，原始数据集中的每个样本都是28×28的图像。展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。回想一下，在softmax回归中，我们的输出与类别一样多。因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。因此，权重将构成一个784 × 10的矩阵，偏置将构成一个1 × 10的行向量。与线性回归一样，我们将使用正态分布初始化我们的权重\(W\)，偏置初始化为0。
num_inputs = 784
num_outputs = 10
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)
6.2 定义softmax操作
在实现softmax回归模型之前，我们简要回顾一下sum运算符如何沿着张量中的特定维度工作.
给定一个矩阵X，我们可以对所有元素求和（默认情况下）。也可以只求同一个轴上的元素，即同一列（轴0）或同一行（轴1）。如果X是一个形状为(2, 3)的张量，我们对列进行求和，则结果将是一个具有形状(3,)的向量。当调用sum运算符时，我们可以指定保持在原始张量的轴数，而不折叠求和的维度。这将产生一个具有形状(1, 3)的二维张量。
X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)
(tensor([[5., 7., 9.]]),
tensor([[ 6.],
[15.]]))
回想一下，实现softmax由三个步骤组成：
- 对每个项求幂（使用exp）；
- 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
- 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。
在查看代码之前，我们回顾一下这个表达式：
\[\text{softmax}(X)_{ij} = \frac{\exp(X_{ij})}{\sum_{k} \exp(X_{ik})} \]分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数‐配分函数）。
def softmax(X):
X_exp = torch.exp(X)
partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
return X_exp / partition # 这里应用了广播机制
正如上述代码，对于任何随机输入，我们将每个元素变成一个非负数。此外，依据概率原理，每行总和为1。
X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1)
(tensor([[0.4617, 0.0410, 0.0432, 0.3344, 0.1196],
[0.0819, 0.4165, 0.0924, 0.3617, 0.0475]]),
tensor([1., 1.]))
注意，虽然这在数学上看起来是正确的，但我们在代码实现中有点草率。矩阵中的非常大或非常小的元素可能造成数值上溢或下溢，但我们没有采取措施来防止这点。
6.3 定义模型
定义softmax操作后，我们可以实现softmax回归模型。下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。
def net(X):
return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)
6.4 定义损失函数
回顾一下，交叉熵采用真实标签的预测概率的负对数似然。这里我们不使用Python的for循环迭代预测（这往往是低效的），而是通过一个运算符选择所有元素。下面，我们创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，以及它们对应的标签y。有了y，我们知道在第一个样本中，第一类是正确的预测；而在第二个样本中，第三类是正确的预测。然后使用y作为y_hat中概率的索引，我们选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。
y = torch.tensor([1, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])
y_hat[[0, 1], y]
tensor([0.1000, 0.5000])
现在我们只需一行代码就可以实现交叉熵损失函数。
def cross_entropy(y_hat, y):
return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
cross_entropy(y_hat, y)
tensor([1.2040, 0.6931])
6.5 分类精度
给定预测概率分布y_hat，当我们必须输出硬预测（hard prediction）时，我们通常选择预测概率最高的类。许多应用都要求我们做出选择。如Gmail必须将电子邮件分类为“Primary（主要邮件）”、“Social（社交邮件）”“Updates（更新邮件）”或“Forums（论坛邮件）”。Gmail做分类时可能在内部估计概率，但最终它必须在类中选择一个。
当预测与标签分类y一致时，即是正确的。分类精度即正确预测数量与总预测数量之比。虽然直接优化精度可能很困难（因为精度的计算不可导），但精度通常是我们最关心的性能衡量标准，我们在训练分类器时几乎总会关注它。
为了计算精度，我们执行以下操作。首先，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的预测分数。我们使用argmax获得每行中最大元素的索引来获得预测类别。然后我们将预测类别与真实y元素进行比较。由于等式运算符“==”对数据类型很敏感，因此我们将y_hat的数据类型转换为与y的数据类型一致。结果是一个包含0（错）和1（对）的张量。最后，我们求和会得到正确预测的数量。
def accuracy(y_hat, y): #@save
"""计算预测正确的数量"""
if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
return float(cmp.type(y.dtype).sum())
我们将继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。可以看到，第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。因此，这两个样本的分类精度率为0.5。
accuracy(y_hat, y) / len(y)
0.5
同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集，我们可以评估在任意模型net的精度。
def evaluate_accuracy(net, data_iter): #@save
"""计算在指定数据集上模型的精度"""
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.eval() # 将模型设置为评估模式
metric = Accumulator(2) # 正确预测数、预测总数
with torch.no_grad():
for X, y in data_iter:
metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
return metric[0] / metric[1]
这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。在上面的evaluate_accuracy函数中，我们在Accumulator实例中创建了2个变量，分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量。当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。
class Accumulator: #@save
"""在n个变量上累加"""
def __init__(self, n):
self.data = [0.0] * n
def add(self, *args):
self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]
def reset(self):
self.data = [0.0] * len(self.data)
def __getitem__(self, idx):
return self.data[idx]
由于我们使用随机权重初始化net模型，因此该模型的精度应接近于随机猜测。例如在有10个类别情况下的精度为0.1。
evaluate_accuracy(net, test_iter)
0.092
6.6 训练
softmax回归的训练过程代码应该看起来非常眼熟。在这里，我们重构训练过程的实现以使其可重复使用。首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。请注意，updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater): #@save
"""训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
# 将模型设置为训练模式
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.train()
# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
metric = Accumulator(3)
for X, y in train_iter:
# 计算梯度并更新参数
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
updater.zero_grad()
l.mean().backward()
updater.step()
else:
# 使用定制的优化器和损失函数
l.sum().backward()
updater(X.shape[0])
metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
# 返回训练损失和训练精度
return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]
在展示训练函数的实现之前，我们定义一个在动画中绘制数据的实用程序类Animator。
class Animator: #@save
"""在动画中绘制数据"""
def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
figsize=(3.5, 2.5)):
# 增量地绘制多条线
if legend is None:
legend = []
d2l.use_svg_display()
self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
if nrows * ncols == 1:
self.axes = [self.axes, ]
# 使用lambda函数捕获参数
self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
def add(self, x, y):
# 向图表中添加多个数据点
if not hasattr(y, "__len__"):
y = [y]
n = len(y)
if not hasattr(x, "__len__"):
x = [x] * n
if not self.X:
self.X = [[] for _ in range(n)]
if not self.Y:
self.Y = [[] for _ in range(n)]
for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
if a is not None and b is not None:
self.X[i].append(a)
self.Y[i].append(b)
self.axes[0].cla()
for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
self.axes[0].plot(x, y, fmt)
self.config_axes()
display.display(self.fig)
display.clear_output(wait=True)
接下来我们实现一个训练函数，它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。我们将利用Animator类来可视化训练进度。
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater): #@save
"""训练模型"""
animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
for epoch in range(num_epochs):
train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
train_loss, train_acc = train_metrics
assert train_loss < 0.5, train_loss
assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc
作为一个从零开始的实现，采用小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数，设置学习率为0.1。
lr = 0.1
def updater(batch_size):
return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
现在，我们训练模型10个迭代周期。请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)
6.7 预测
现在训练已经完成，我们的模型已经准备好对图像进行分类预测。给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。
def predict_ch3(net, test_iter, n=6): #@save
"""预测标签（定义见第3章）"""
for X, y in test_iter:
break
trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
d2l.show_images(
X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])
predict_ch3(net, test_iter)
softmax回归的简洁实现
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
7.1 初始化模型参数
softmax回归的输出层是一个全连接层。因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。
# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights)
7.2 重新审视Softmax的实现
在前面的例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲，这是一件完全合理的事情。然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。
回想一下，softmax函数\(\hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\)，其中\(\hat y_j\)是预测的概率分布。\(o_j\)是未规范化的预测o的第j个元素。
如果\(o_k\)中的一些数值非常大，那么\(exp(ok)\)可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为\(inf\)（无穷大），最后得到的是\(0、inf\)或\(nan\)（不是数字）的\(\hat y_j\)。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。
解决这个问题的一个技巧是：在继续softmax计算之前，先从所有ok中减去\(max(_ok)\)。这里可以看到每个\(o_k\)按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：
\[\hat{y}_j = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))exp( \max(o_k))} \]\[= \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))} \]在减法和规范化步骤之后，可能有些\(o_j − max(o_k)\)具有较大的负值。由于精度受限，\(exp(o_j − max(o_k))\)将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使\(\hat y_j\)为零，并且使得\(log(\hat y_j )\)的值为\(-inf\)。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。
尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算\(exp(o_j − max(o_k))\)，而可以直接使用\(o_j − max(o_k)\)，因为\(log(exp(·))\)被抵消了。
我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，这是一种类似“LogSumExp技巧”的聪明方式。
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
7.3 优化算法
在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
7.4 训练
定义的训练函数来训练模型。
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
总结：
- 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
- 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。