高等数学
第一章 函数 连续 极限
第一节 函数
1.函数概念
函数定义：一个 \(x\) 只能对应一个 \(y\)
基本要素：定义域 + 对应法则
同一函数 = 两要素相同
常见定义域：
| f(x) | 定义域 | 值域 | 图像 |
|---|---|---|---|
| \(\frac1x\) | \(x>0\) | ||
| \(\sqrt[2n]{x}\) | \(x\geq0\) | ||
| \(\log_a{x}\) | \(x>0\) | ||
| \(tanx\) | \(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(secx\) | \(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(cotx\) | \(x\neq k\pi\) | ||
| \(cscx\) | \(x\neq k\pi\) | ||
| \(arcsinx\) | \([-1,1]\) | \([-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2]\) |  |
| \(arccosx\) | \([-1,1]\) | \([0,\pi]\) |  |
| \(arctanx\) | \(R\) | \((-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2)\) |  |
| \(arccotx\) | \(R\) | \((0, \pi)\) |  |
2.分段函数
是一个函数，不是多个
3.复合函数
代入，画图
4.反函数
交换 \(x\) 和 \(y\)（定义域和值域交换）
单调函数一定有反函数，有反函数的函数不一定单调
\(f^{-1}[f(x)]=x,f[f^{-1}(x)]=x\)
5.初等函数
基本初等函数：幂指对三角反三角
初等函数：常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合构成的可用一个式子表示的函数
注：分段函数不是初等函数
三角函数：
| 三角函数常见等式 |
|---|
| \(sec^2x=1+tan^2x\) |
| \(csc^2x=1+cot^2x\) |
| \(arcsinx+arccosx=\frac{\pi}2,x\in[-1, 1]\) |
| \(arctannx+arccotx=\frac{\pi}2\) |
6.隐函数
7.参数方程
8.幂指函数
9.函数性质
单调性
奇偶性
定义域必须关于原点对称
周期性
若 \(f(x)\) 的周期为 \(T\)，则 \(f(ax+b)\) 的周期为 \(\frac{T}{|a|}\)
若 \(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 的周期分别为 \(T_1, T_2, ..., T_n\)，则 \(f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)\) 的周期为 \(lcm(T_1, T_2, ...T_n)\)
有界性
\(\forall M>0, |f(x)|\leq M\)
例题
