抽象代数复习笔记

谨以此文，悼念我炸裂的危寄分欸二期中考试。下次不仅要带一个脑子做题，还得带一个脑子盯着它做题，不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何，如果太贵还得卖点东西凑一凑。

1. 群

1.1 群的定义

群，是一个由一个集合 \(G\) 和一种 \(G\) 上的二元运算 \(\times\)（在实际表达中我们往往省略乘号不写）组成的二元组 \((G,\times)\)，并且满足以下三个条件：

1. 存在一个特殊元素 \(e\)（也可以写作 \(1\)）满足 \(\forall x\in G\)，\(ex=xe=x\)。
2. 对于群中每个元素 \(a\) 都存在某个 \(a^{-1}\in G\) 使得 \(aa^{-1}=a^{-1}a=1\)。
3. \(\times\) 满足结合律，即 \(\forall a,b,c\in G\)，\((ab)c=(ab)c\)。

如果 \(\times\) 运算满足交换律，即 \(\forall x,y\in G\)，\(xy=yx\)，那么又称 \(G\) 是一个阿贝尔群。

群有一些基本性质：

1. 单位元、每个元素的逆元均唯一。
2. \((a^{-1})^{-1}=a\)。
3. \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)。

1.2 与群相关的其他基本定义

• 阶：对于一个元素 \(x\in G\) 而言，定义其阶为最小的正整数 \(n\) 满足 \(x^n=1\)，如果不存在则认为是 \(+\infty\)。

• 子群：对于一个群 \(G\) 而言，定义 \(H\) 是 \(G\) 的子群，当且仅当 \(H\subseteq G\)，并且满足以下两个条件：

  1. \(H\) 非空（这点很容易被忽视，只有有了单位元才能称得上群）
  2. \(\forall x,y\in H\)，都有 \(xy^{-1}\in H\)

  特别地，如果 \(H\) 大小有限，那么这等价于检验是否对于所有 \(x,y\in H\)，都有 \(xy\in H\)。

  记作 \(H\le G\)。

• 生成元：称一个群 \(G\) 能被一个集合 \(S\) 中的元素生成，当且仅当 \(G\) 中每个元素都能由 \(S\) 中的元素和它们的逆元进行有限次乘法得到。写作 \(G=\lang S\rang\)。其中 \(S\) 的元素被称为 \(G\) 的生成元。

2. 特殊群

2.1 与数有关的群

• \(\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{C}\)，实数、有理数、整数、复数在加法意义下的群。
• \(GL_n(\mathbb{R})\)，\(n\times n\) 可逆实数矩阵组成的群。
• \(Z/nZ\)（亦写作 \(Z_n\)）\(\bmod n\) 意义下的剩余系在加法意义下的群。
• \((Z/nZ)^{\times}\) 与 \(n\) 互质的数在 \(\bmod n\) 乘法意义下的群

2.2 克莱因四元群

克莱因四元群 \(V_4\) 由 \(1,a,b,c\) 四个元素组成，单位元是 \(1\)，除了单位元之外每个元素的阶都是 \(2\)。它的乘法表如下：

可以证明，任意一个 \(4\) 阶群要么同构于 \(V_4\) 要么同构于 \(Z_4\)，取决于群中存不存在阶为 \(4\) 的元素。

2.3 哈密尔顿四元数群

哈密尔顿四元数群 \(Q_8\) 由 \(8\) 个元素 \(\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\) 组成，满足：

• \(i·i=j·j=k·k=-1\)

• \(i·j=k,j·i=-k,,j·k=i,k·j=-i,k·i=j,i·k=-j\)

显然 \(Q_8\) 不是阿贝尔群。

2.4 二面体群

二面体群 \(D_{2n}\) 由 \(n\) 个元素 \(1,r,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},s,rs,r^2s,\cdots,r^{n-1}s\) 组成，并且满足 \(r^n=s^2=1\)。为什么说它是二面体群呢？因为这些操作可以看作是对空间中两个正 \(n\) 边形组成的二面体进行的操作，\(r\) 相当于将二面体沿着顺时针方向旋转 \(\dfrac{2\pi}{n}\) 之后的结果，\(s\) 相当于将二面体上下反转之后的结果。

二面体群不是阿贝尔群。容易证明二面体群 \(D_{2n}\) 的生成元满足以下性质：

• \(1,r,r^2,\cdots,r^{n-1}\) 互不相同并且 \(r^n=1\)
• \(s\ne r^j\) 对所有整数 \(z\) 都成立
• 对于 \([0,n-1]\) 中不同的 \(i,j\)，\(sr^i\ne sr^j\)
• \(rs=sr^{-1},r^js=sr^{-j}\)。

2.5 循环群

称一个群 \(H\) 是循环群当且仅当 \(H\) 可以被一个元素 \(x\)，即 \(H=\lang x\rang\)。其中 \(H\) 可以是有限群也可以是无限群。循环群一定是阿贝尔群。

循环群有以下性质：

1. 如果 \(H=\lang x\rang\)，那么 \(|H|=|x|\)。这条性质对有限群和无限群均成立。
2. 对于循环群中的某个元素 \(x\)，如果 \(x^n=x^m=1\)，那么 \(x^{\gcd(n,m)}=1\)。
3. 对于循环群中的某个元素 \(x\) 以及整数 \(a\ne 0\)，如果 \(|x|=\infty\)，那么 \(|x^a|=\infty\)，否则 \(|x^a|=\dfrac{n}{\gcd(n,a)}\)。

2.6 对称群

对于一个大小为 \(n\) 的集合 \(\Omega\)，记 \(S_{\Omega}\) 为所有 \(\Omega\to \Omega\) 的双射与复合运算构成的群。特别地，如果脚标上是一个正整数 \(n\)，则默认 \(\Omega=\{1,2,3,\cdots,n\}\)。我们将这类群称为“对称群”。显然 \(|S_n|=n!\)，且对于 \(n\ge 3\)，\(S_n\) 都不是阿贝尔群。

在抽象代数中我们一般不直接将置换写成排列的形式，而一般用环表示，即将一个置换看作若干个不交的环的乘积。对于一个满足 \(\sigma(a_1)=a_2,\sigma(a_2)=a_3,\cdots,\sigma(a_m)=a_1\) 的环，将其记作 \((a_1a_2\cdots a_m)\)。将一个排列所有环并排列出来就得到了这个排列的环表示。

对称群的子群称作置换群。任何一个群都同构于某个置换群。

2.7 交错群

首先我们先需要知道怎么定义 \(S_n\) 中一个置换的奇偶性：考虑 \(n\) 个独立变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，以及一个多项式 \(\Delta=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)\)。对于一 \(\sigma\in S_n\)，考虑 \(\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_{\sigma(i)}-x_{\sigma(j)})\)，如果 \(\Delta=\sigma(\Delta)\) 则称 \(\sigma\) 为奇置换，否则称 \(\sigma\) 为偶置换。一个等价的判定方式是 \(\sigma\) 是奇置换当且仅当其环表示中长度为偶数的环的个数是奇数。

在此基础上我们定义 \(A_n\) 为所有偶置换构成的群。更进一步地，考虑 \(\epsilon:S_n\to \{\pm 1\}\)，满足 \(\epsilon(\sigma)=\begin{cases}+1&(\sigma(\Delta)=\Delta)\\-1&(\sigma(\Delta)=-\Delta)\end{cases}\)，那么因为 \(\tau\sigma(\Delta)=\prod\limits_{1\le i\lt j\le n}(x_{\tau(\sigma(i))}-x_{\tau(\sigma(j))})=\epsilon(\sigma)\prod\limits_{1\le p\lt q\le n}(x_{\tau(p)}-x_{\tau(q)})=\epsilon(\sigma)\epsilon(\tau)\Delta\)，故 \(\epsilon\) 可以看作是 \(S_n\) 到 \(Z_2\) 上的同态。这样可以很自然地定义 \(A_n\) 为该同态的核。根据这一点可知，对于 \(n\ge 2\) 而言有 \(A_n\unlhd S_n\) 且 \(|A_n|=\dfrac{n!}{2}\)。这一类群被称为交错群。

当 \(n\ge 5\) 时，\(A_n\) 都是单群，并且 \(S_n\) 只有 \(A_n\) 这一个非平凡正规子群。

3. 同态与同构相关

3.1 同态与同构的定义

同态与同构是两种刻画群与群之间的关系的手段。

对于两个群 \((G,\star)\) 和 \((H,\diamond)\)，如果存在一个 \(G\to H\) 的映射 \(\varphi\) 满足 \(\forall x,y\in G\)，\(\varphi(x\star y)=\varphi(x)\diamond\varphi(y)\)，那么称 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同态。更进一步地，如果这个 \(\varphi\) 是双射，那么称 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同构。如果存在 \(\varphi\) 使得 \(\varphi\) 为群 \(G\) 到群 \(H\) 的同构，那么称 \(G,H\) 是同构的，记作 \(G\cong H\)。

同态的核 \(\ker\varphi\) 定义为 \(1\) 的原像，即 \(\ker\varphi=\{g\in G|\varphi(g)=1\}\)。

很容易发现，如果两个群同构，那么实际上两个群之间只有元素的表示不同。因此不难证明，如果 \(G\cong H\) 并且 \(\varphi\) 是 \(G\) 到 \(H\) 的同态，那么以下条件必然成立：

1. \(|G|=|H|\)
2. 两个群要么都是阿贝尔群要么都不是
3. \(\forall x\in G, |x|=|\varphi(x)|\)

3.2 四大同构定理

第一群同构定理

若 \(\varphi\) 是一个 \(G\to H\) 的同态，那么 \(\ker\varphi\) 是 \(G\) 的正规子群，并且 \(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\)，

第一同构定理的意义在于，它揭示了满同构与商群的关系，即一个商群实际上就是其对应的满同构的像集组成的群，这样我们可以从某种程度上避开对“商群”这种由陪集组成的抽象的概念的讨论，转而去讨论像集这种相对具体的概念。

第二群同构定理

若 \(A,B\le G\)，\(A\le N_G(B)\)，那么 \(AB\le G\), \(A\cap B\unlhd A\)，并且 \(AB/B\cong A/(A\cap B)\)。

第三群同构定理

若 \(H,K\unlhd G\)，并且 \(H\le K\)，那么 \(K/H\unlhd G/H\)，并且 \((G/H)/(K/H)\cong G/K\)。

第四群同构定理

若 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，那么每个 \(G\) 的包含 \(N\) 的子群都与 \(G/N\) 的每个子群一一对应。具体来说，每个 \(\bar{G}=G/N\) 的子群 \(\bar{A}\) 都可以被写成 \(A/N\) 的形式，其中 \(A\le G,N\le A\)，并且满足以下条件：

1. \(A\le B\) 当且仅当 \(\bar{A}\le \bar{B}\)。
2. 若 \(A\le B\)，则 \(|B:A|=|\bar{B}:\bar{A}|\)。
3. \(\bar{\lang A,B\rang}=\lang\bar{A},\bar{B}\rang\)。
4. \(\bar{A\cap B}=\bar{A}\cap\bar{B}\)。
5. \(A\unlhd G\) 当且仅当 \(\bar{A}\unlhd\bar{G}\)。

4. 商群和正规子群

4.1 中心化子和正规化子

• 中心化子：对于 \(G\) 的一个子集 \(S\)，定义 \(S\) 在 \(G\) 中的中心化子 \(C_G(S)\) 是 \(G\) 中所有能与 \(S\) 中每一个元素交换的元素组成的集合，即 \(\{g|g\in G,ga=ag,\forall a\in S\}\)。
• 正规化子：对于 \(G\) 的一个子集 \(S\)，定义 \(S\) 在 \(G\) 中的正规化子 \(N_G(S)\) 是满足 \(gSg^{-1}=S\) 的 \(g\) 组成的集合，其中 \(gSg^{-1}=\{gag^{-1}|a\in S\}\)。
• 中心：对于一个群 \(G\)，定义其中心为能与 \(G\) 中所有元素交换的元素组成的集合，即 \(C_G(G)\)，记作 \(Z(G)\)。

对于任意子集 \(S\) 都有 \(Z(G)\le N_G(S)\le C_G(S)\)。