导数概念

一、引例

1. 直线运动的速度

2. 切线问题

二、导数的定义

1. 函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 \(x₀\) 处取得增量 \(\triangle x\)(点 \(x₀+△x\) 仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量 \(△y=f(x₀+△x)-f(x₀)\); 如果 \(\triangle y与△x\) 之比当 \(△x→0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x₀\) 处的导数，记为 \(f'(x₀)\) ,即

\(\qquad \Large f'(x_0)=\underset{\triangle x \rightarrow 0}{\lim}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\underset{\triangle x \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x_0 + \triangle x) -f(x_0)}{\triangle x}\),

也可记作：\(\Large y'|_{x=x_0}, \frac{dy}{dx}|_{x=x_0} 或 \frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}\)

函数 f(x) 在点 x₀ 处可导有时也说成 f(x) 在点 x₀ 处具有导数或导数存在.

导数概念就是函数变化率（变量变化的快慢）这一概念的精确描述

从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比 \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\) 因变量 \(y\) 在以 \(x₀\) 和 \(x₀+△x\) 为端点的区间上的平均变化率，而导数 \(f'(x₀)\) 则是因变量 \(y\) 在点 \(x₀\) 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度

如果函数 \(y=f(x)\) 在开区间 I 内的每点处都可导，那么就称函数 \(f(x)\) 在开区间 I 内可导. 这时，对于任一 \(x\in I\), 都对应着 \(f(x)\) 的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 \(y=f(x)\) 的导函数，记作

\(\Large y', f'(x), \frac{dy}{dx} 或 \frac{df(x)}{dx}\)

注意:

• 在以上两式中，虽然x可以取区间I 内的任何数值，但在极限过程中，x是常量，△x 或h 是变量.

 显然，函数f(x)在点 x₀处的导数f'(x₀) 就是导函数f'(x)在点x=x₀ 处的函数值，即
\(f'(x₀ )=f'(x)|_{x=x_0}\)

 导函数 \(f'(x)\) 简称导数，而 \(f'(x₀)\) 是 \(f(x)\) 在 x₀ 处的导数或导数 \(f'(x)\) 在点 \(x₀\) 处的值.

组合表示：

\(\Large n \choose k\) 表示从 n 个元素中取出 k 个元素的组合数（高中的 \(C_n^k)\)

\(\Large {n \choose k}=\frac{a(a - 1)(a - 2)\cdots (a - k + 1)}{k!} =\frac{(a)_k}{k!}\)

牛顿二项式定理：

\(\Large (x + y)^a=\sum_{k = 0} ^a{a \choose k}x^{a-k}y^k\)

例2 的证明用了牛顿二项式定理

例3 的证明用了幂运算法则

3. 单侧导数

函数f(x)在点 x₀处可导的充分必要条件是左导数 \(f_-'(x₀)\) 和右导数 \(f_+'(x₀)\) 都存在且相等

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数f(x) 在开区间(a,b) 内可导，且 \(f_-'(a)\) 及 \(f_+'(b)\) 都存在，那么就说f(x) 在闭区间[a,b] 上可导

三 、导数的几何意义

某个点的导数表示某个点切线的斜率。

与点 M 的切线垂直的线叫点 M 处的法线

互相垂直的线的斜率相乘等于 -1

四、函数可导性与连续性的关系

函数 \(y=f(x)\) 在点 x 处可导，那么函数在该点必连续.
一个函数在某点连续却不一定在该点可导 (例如：切线垂直 x 轴，导数无穷大，此时导数不存在，因为极限的定义是常数 A。例如：切线不存在的情况)