抽象线性空间
定义线性空间 \((R,V)\)，满足：
\(R\) 是域，\(V\) 是加法交换群；
给定运算 \((R,V)\to V\)，即“纯量乘向量”，需要满足：对加法的左分配律（纯量加法和向量加法）和结合律（具体来说是 \(a(b{\bf x})=(ab){\bf x}\)）和“酉性”（\(1{\bf x}={\bf x}\)）。
容易定义线性组合。定义一个子集 \(S\subset V\)，满足 \(RS=S,S\) 是 \(V\) 的加法子群。那么称所有 \(S\) 中元素的线性组合为 \(\lang S\rang\)，容易验证是线性空间，称为 \(S\) 的线性包络。
线性无关：如果向量组 \(V=\{{\bf v_{1:s}}\}\) 不存在这样的 \(\alpha_{1:s}\in R\)，使得 \(\sum v_i\alpha_i={\bf 0}\)，则称此向量组线性
设 \({\bf e_{1:s}}\) 线性无关，且能被 \({\bf v_{1:t}}\) 线性表出，那么：\(s\le t\)。
证明：设
\[{\bf e_{i}}=\sum _{j=1}^t\alpha_{ij}{\bf v_{j}}\\ \sum_{i=1}^s x_i{\bf e_{i}}=\sum_{i=1}^sx_i\sum _{j=1}^t\alpha_{ij}{\bf v_{j}}\\ =\sum _{j=1}^t{\bf v_{j}}\sum_{i=1}^sx_i\alpha_{ij} \]考虑方程组：
\[\sum_{i=1}^sx_i\alpha_{ij}=0,\forall 1\le j\le t \]如果 \(s>t\)，那么 \(x_i\) 必有非平凡解。此时，
\[\sum_{i=1}^s x_i{\bf e_{i}}=0 \]矛盾。
推论：两个等价的线性无关向量组大小相等（两个向量组等价当且仅当任意向量都可以被另外一个组的向量线性表出）。
定义向量组的秩是其任意极大线性无关部分组的大小。
定义线性空间 \(V\) 的维数 \(\dim V=n\) 是极大线性无关向量组的大小，基是任意一组大小 \(=n\) 的线性无关向量组。
那么有定理：
1.任意向量可以被基唯一地线性表出。我们邀请读者把证明当作一个练习
2（替换定理）.对于线性无关向量组 \({\bf v_{1:s}}\) 满足 \(s<n\)，可以把它扩充到一个基。
考虑一组基 \({\bf e_{1:n}}\)：选出最大的 \(k\) 和指标 \(i_{1:k}\)，\(\{{\bf f_{1:s}},{\bf e_{i_{1:k}}}\}\) 线性无关。此时对于所有 \(\bf e_j\)，\(\bf e_j\) 均可被 \(\{{\bf f_{1:s}},{\bf e_{i_{1:k}}}\}\) 线性表出（否则与最大矛盾），从而任何向量可以被此向量组线性表出，而极大线性向量组就是基。
给定一组基，定义一个向量 \(\bf v\) 的坐标 \(X\) 是用基线性组合的系数向量。
如果基产生了变化，把新基的每个向量用原基线性表出，得到矩阵 \(A\)。此时，\(X'=AX\) 即是新坐标。
此变换显然是可逆的，因此有 \(X=A^{-1}X'\)。
两个（定义在同一基础域的）线性空间同构，当且仅当存在双射 \(f\)，使得：
\[f(a{\bf u}+b{\bf v})=af({\bf u})+bf({\bf v}) \]易见维数是同构不变的。我们指出，只有维数是同构不变的：容易发现向量到坐标是双射（在一个确定基下），所以设 \(n=\dim V\)，\(R^n\simeq (R,V)\)。
定义线性子空间的和：\(V+W=\{{\bf v}+{\bf w}\mid {\bf v}\in V,{\bf w}\in W\}\) 和交。易见此二者都是线性空间。
有：
\[\dim V+\dim W-\dim V\cap W=\dim V+W \]证明：设 \(a=\dim V,b=\dim W,c=\dim V\cap W\)。
考虑 \(V\cap W\) 的基 \(e_{1:c}\)，加上 \(v_{1:a-c}\) 是 \(V\) 的基，加上 \(w_{1:b-c}\) 是 \(W\) 的基。
容易验证 \(\lang e_{1:c},v_{1:a-c},w_{1:b-c}\rang\) 可以线性表出 \(V+W\)。因此，只需证明 \(e_{1:c},v_{1:a-c},w_{1:b-c}\) 线性无关。
设
\[\sum \alpha_ie_i+\sum \beta_iv_i=\sum \gamma_iw_i \]且 \(\alpha,\beta,\gamma\) 不全为 \(0\)。
那么 \(LHS\in V,RHS\in W\)，故 \(LHS,RHS\in V\cap W\)。那么有：
\[\sum \theta_ie_i=\sum \gamma_iw_i \]而 \(\gamma\) 必定全为 \(0\)，同样对于 \(\beta\) 成立。此时 \(\alpha\) 也必定全为 \(0\)，矛盾。
证毕。
此公式导出有趣的结果：二维空间的直线交必定是点，三维空间中平面的交必定是直线，四维空间中三维立方体的交必定是平面（要求不平行，即 \(V+W\neq V\)）。
定义线性子空间的和 \(\sum V_i\) 是直和，当且仅当对于所有 \(u\in \sum V_i\)，
\[u=\sum u_i,u_i\in V_i \]的分解唯一。
\(\sum V_i\) 是直和，当且仅当：\(\forall i,V_i\cap \sum_{i\neq j} V_j=\bf 0\)。
引理：所有 \(u\) 满足分解唯一等价于 \(\bf 0\) 的分解 \(\bf 0=0+0+\dots +0\) 唯一。
我们邀请读者把证明当作一个习题
证明：
充分性：若分解唯一，则设 \({\bf x}=V_i\cap \sum_{i\neq j} V_j\)。则应该有：\({\bf x}=\sum_{j\neq i} {\bf u_j}\)。
\[{\bf 0=0+0+\dots +0}\\ ={-\bf x}+\sum_{j\neq i} {\bf u_j} \]根据分解唯一，有 \(\bf x=0\)。证毕。
必要性：
设
\[{\bf 0}=\sum_{i} \bf {a_i} \]那么有 \({\bf a_i}=\sum _{i\neq j}{\bf a_j}\in V_i\cap \sum_{i\neq j}V_j={\bf 0}\)，即 \(\bf a_i=0\)。所以此分解唯一。
根据上面的维数的定理，此条件等价于
\[\sum \dim V_i=V \]同样，容易证明，对于 \(U\subset V\)，\(\exists W\subset V\)，使得
\[U\oplus W=V,\dim W=\dim V-\dim U \]线性映射（线性变换）
把同构的双射要求去掉，就可以得到一般意义的线性映射 \(f:U\to V\)。容易发现，\(Im f,\ker f\) 是 \(V,U\) 的子空间。
有：\(\dim f(U)\le \dim U\)。这是容易证明的。
我们发现，这样的线性映射可以被看做给定两组基后的矩阵。
定义 \(\operatorname{rank} f=\dim Im f\)。也是对应矩阵 \(M_f\) 的秩（容易说明）。而矩阵的乘法也是线性映射的复合。
根据上面的不等式，容易证明：\(\dim Im (f\circ g)\le \min(\dim Im f,\dim Im g)\)（矩阵中已经知道）
设 \(f:V\to W\)，有：
\[\dim Im f+\dim \ker f=\dim V \]我们知道矩阵的结论，现在我们再次证明之。
考虑 \(\ker f=\lang e_{1:k}\rang\)，现扩充至 \(\lang e_{1:n}\rang\)，是 \(V\) 的基。
因为
\[f(\sum_{i=1}^n a_ie_i)=f(\sum_{i=1}^k a_ie_i)+f(\sum_{i=k+1}^n a_ie_i)\\ =f(\sum_{i=k+1}^n a_ie_i) \]因此 \(e_{k+1:n}\) 可以线性表出 \(Im f\)，只需证明其线性无关。
如果 \(\sum_{i>k} b_ie_i=0\)，那么应该有：
\[\sum _{i=k+1}^nb_ie_i\in \ker f=\sum_{i=1}^k a_ie_i \]所以 \(b_{k+1:n}=0\)，证毕。
标签：dim,bf,引论,多项式,sum,代数学,线性,ie,向量 From： https://www.cnblogs.com/british-union/p/18122541/xxds2