25考研数一高数第一轮复习（3）：数列极限

一、数列的概念

对每个 $n\in N_{+}$ ，如果按照某一法则，对应着一个确定的实数 $x_{n}$ ，这些实数 $x_{n}$ 按照下标 $n$ 从小到大排列得到的一个序列 $x^{_{}}_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},...$ 就叫作数列，简记为数列 $\left \{ x_{n} \right \}$

数列中的每一个数叫作数列的项，第 $n$ 项 $x_{n}$ 叫作数列的一般项（或通项）

在几何上，数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 $x^{_{}}_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},...$

数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 可看作自变量为正整数 $n$ 的函数： $x_{n}= f\left ( x \right ),n\in N_{+}$

当自变量 $n$ 依次取 $1,2,3,...$ 一切正整数时，对应的函数值就排列成数列 $\left \{ x_{n} \right \}$

（一）子列

数列 $\left \{ a_{n} \right \}$ ： $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ 中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子列，记为 $\left \{ a_{n_{k}} \right \}:a_{n_{1}},a_{n_{2}},...,a_{n_{k}},...$ ，其中下标 $n_{_{1}},n_{2},...,n_{k},...$ 为正整数

（二）等差数列

首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ （ $d\neq 0$ ）的数列 $a_{1},a_{1}+d,a_{1}+2d,...,a_{1}+(n-1)d,...$

①通项公式 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

②前项的和 $S_{n}=\frac{n}{2}\left [ 2a_{1} +\left ( n-1 \right )d \right]= \frac{n}{2}\left ( a_{1}+a_{n} \right )$

（三）等比数列

首项为 $a_{1}$ ，公比为 $r$ （ $r\neq 0$ ）的数列 $a_{1},a_{1}r,a_{1}r^{2},a_{1}r^{3},...,a_{1}r^{n-1},...$

①通项公式 $a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

②前项的和 $S_{n}=\left\{\begin{matrix} na_{1}, r=1\\ \frac{a_{1}\left ( 1-r^{n-1} \right )}{1-r},r\neq 1 \end{matrix}\right.$

③常用 $1+r+r^{2}+...+r^{n-1}= \frac{1-r^{n}}{1-r}\left ( r\neq 1 \right )$

（四）单调数列

若对所有正整数 $n$ ，有 $a_{n+1}\geqslant a_{n}\left ( a_{n+1}\leqslant a_{n} \right )$ ，则称数列 $\left \{ a_{n} \right \}$ 为单调不减（不增）数列，将 $\geqslant$ $\left ( \leqslant \right )$ 换成 $> \left ( < \right )$ ，则称为单调递增（递减）数列。单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列

（五）有界数列

若对所有正整数 $n$ ，存在正实数 $M$ ，有 $\left | a_{n} \right |\leqslant M$ ，则称数列 $\left \{ a_{n} \right \}$ 为有界数列

（六）一些常见数列的前 $n$ 项和

1、 $\sum_{k=1}^{n}k= 1+2+3+...+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

2、 $\sum_{k=1}^{n}k^{2}= 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}$

3、 $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left ( k+1 \right )}= \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+...+\frac{1}{n*\left ( n+1 \right )}= \frac{n}{n+1}$ （裂项相消法）

（七）一个重要极限 $\left \{ \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n} \right \}$ 的结论

1、单调递增

2、 $\lim_{n\to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}= e$

二、求数列的极限（或证明数列极限的存在性）

（一）用数列极限的定义

设 $\left \{ x_{n} \right \}$ 为一数列，若存在常数 $a$ ，对于任意的 $\varepsilon > 0$ （无论它多么小），总存在正整数 $N$ ，使得当 $n> N$ 时， $\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon$ 恒成立，则称常数 $a$ 是数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的极限，或者称数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 收敛于 $a$ ，记为 $\lim_{n\to \infty }x_{n}= a$ ，如果不存在这样的常数 $a$ ，就说数列是 $\left \{ x_{n} \right \}$ 发散的

注意，数列极限存在说明数列收敛，一定意义上讲数列极限存在和数列收敛是等同的

1、数列收敛与子列收敛的关系

定理一：

若数列 $\left \{ a_{n} \right \}$ 收敛，则其任何子列 $\left \{ a_{n_{k}} \right \}$ 也收敛，且 $\lim_{k\to \infty }a_{n_{k}}= \lim_{n\to \infty }a_{n}$

此定理为我们提供了一个判断数列发散的方法：对于一个数列，如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能找到至少两个收敛的子列，但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散

（二）用收敛数列的性质

1、定理二（唯一性）：

给出数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，若 $\lim_{n\to \infty }x_{n}= a$ （存在），则 $a$ 是唯一的

简单说就是数列极限是唯一的

2、有界性

若数列极限 $\left \{ x_{n} \right \}$ 存在，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 有界

3、保号性

设 $\lim_{n\to \infty }x_{n}= a> b$ ，则存在 $N> 0$ ，当 $n> N$ 时，有 $x_{n}> b$ ，若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 从某项起有 $x_{n}\geqslant b$ ，且 $\lim_{n\to \infty }x_{n}= a$ ，则 $a\geqslant b$ ，其中 $b$ 为任意实数，常见 $b= 0$ 的情况（ $< ,\leqslant$ 的情况类似）

（三）用四则运算规则

设 $\lim_{x\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim_{n\to \infty }y_{n}=b$ ，则

1、 $\lim_{n\to \infty }(x_{n}\pm y_{n})=a\pm b$

2、 $\lim_{n\to \infty }x_{n}y_{n}=ab$

3、若 $b\neq 0$ ，则 $\lim_{n\to \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{b}$

四则运算规则可以推广至有限个数列情形

（四）用海涅定理（归结原则）

设 $f\left ( x \right )$ 在 $\dot{U}\left ( x_{0},\delta \right )$ 内有定义，则 $\lim_{x\to x_{0}}f\left ( x \right )= A$ 存在 $\Leftrightarrow$ 对任何 $\dot{U}\left ( x_{0},\delta \right )$ 内以 $x_{0}$ 为极限的数列 $\left \{ x _{n}\right \}\left ( x_{n}\neq x_{0} \right )$ ，极限 $\lim_{x\to \infty }f\left ( x \right )=A$ 存在