[HAOI2008] 木棍分割
题目描述
有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。
输入格式
输入文件第一行有2个数n,m. 接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.
输出格式
输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.
样例 #1
样例输入 #1
3 2
1
1
10
样例输出 #1
10 2
提示
两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)
数据范围
n<=50000, 0<=m<=min(n-1,1000).
1<=Li<=1000.
我们很容易可以看出用二分求出长度最小值,然后求方案数
首先如果用DFS
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =5e4+10,mod=10007;
int n,m,a[N],sum[N];
bool cut[N],vis[N];
bool check(ll mid)
{
ll tot=0,num=0;ll pre=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(num>m)return 0;
if(pre+a[i]<=mid)pre+=a[i];
else
{
tot=max(tot,pre);
pre=a[i];
num++;
}
}
tot=max(tot,pre);
if(tot>mid||num>m)return 0;
return 1;
}
ll work;ll len;
void dfs(int now,int cnt,int maxle,int pre)
{
// cout<<cnt<<" "<<maxle<<endl;
if(maxle>len||cnt>m)return;
if(cnt<=m)
{
// cout<<pre<<endl;
if(maxle==len||sum[n]-sum[pre-1]==len)work++;
// cout<<"%%"<<maxle<<endl;
if(cnt==m)return ;
}
for(int i=now;i<=n;i++)
{
if(!cut[i])
{
cut[i]=1;
// cout<<cnt<<" "<<i<<" "<<pre<<endl;
dfs(i+1,cnt+1,max(maxle,sum[i]-sum[pre-1]),i+1);
cut[i]=0;
}
}
}
void clear()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
vis[i]=cut[i]=0;
}
}
void fen(ll l,ll r)
{
while(l<=r)
{
ll mid=(l+r)>>1;
clear();
if(check(mid))
{
r=mid-1;
len=mid;
}
else
{
l=mid+1;
}
}
}
int main(){
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
int l=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
l=max(l,a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
fen(l,sum[n]);
dfs(2,0,a[1],1);
cout<<len<<" "<<work<<endl;
return 0;
}
/*
3 1
2 4 3
*/
但是回超时乐
所以改变思路，用DP
如果\(f[i,j]\)表示前j个木棍分成i组
这里\(O(n^3)\)显然不行
所以我们可以记录一下从不同下标木棍开始最多到哪里<=len//这里有点像容斥（就是总方案数减去不合法方案数）。
这样就不用每次再从1开始找
然后用S维护前缀和，滚动数组否则炸内存
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =5e4+10,mod=10007;
int n,m,a[N],sum[N];
bool cut[N],vis[N];
bool check(ll mid)
{
ll tot=0,num=0;ll pre=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(num>m)return 0;
if(pre+a[i]<=mid)pre+=a[i];
else
{
tot=max(tot,pre);
pre=a[i];
num++;
}
}
tot=max(tot,pre);
if(tot>mid||num>m)return 0;
return 1;
}
ll len;
int f[N],rem[N],S[N];
int dp()
{
int k=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(;k<i;k++)
{
if(sum[i]-sum[k]<=len)
{
rem[i]=k;
break;
}
}
int res=(sum[n]<=len);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(sum[i]<=len) f[i]=1;
S[i]=(S[i-1]+f[i])%mod;
}
for(int i=2;i<=m+1;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
f[j]=S[j-1];
if(rem[j]-1>=0)
{
f[j]=((f[j]-S[rem[j]-1])%mod+mod)%mod;
}
}
for(int j=1;j<=n;j++)
S[j]=(S[j-1]+f[j])%mod;
res=(res+f[n])%mod;
}
return res;
// cout<<f[n]<<endl;
}
void fen(ll l,ll r)
{
while(l<=r)
{
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid))
{
r=mid-1;
len=mid;
}
else
{
l=mid+1;
}
}
}
int main(){
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
int l=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
l=max(l,a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
fen(l,sum[n]);
cout<<len<<" "<<dp()<<endl;
return 0;
}
/*
3 1
2 4 3
*/