数值分析复习：Newton-Cotes求积公式及复合求积公式

文章目录

• • 1. 中矩形公式
  • 2. 梯形公式
  • 3. Simpson（辛普森）公式
  • 4. Newton-Cotes（牛顿-科特斯）求积公式
  • 5. 各种求积公式的性质
  • 6. 复合求积公式

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析

1. 中矩形公式

定义：中矩形公式
节点仅为区间中点的数值积分公式，即 I ( f ) ≈ f ( a + b 2 ) ( b − a ) I(f)\approx f(\frac{a+b}{2})(b-a) I(f)≈f(2a+b​)(b−a)

性质
若 f ∈ C 2 [ a , b ] f\in C^2[a,b] f∈C2[a,b]，则上述公式是代数精度为1的插值型数值积分公式

2. 梯形公式

定义：梯形公式
节点为区间端点，且 f f f近似为这两点上的一次L插值的数值积分公式
即对节点 x 0 = a , x 1 = b x_0=a,x_1=b x0​=a,x1​=b，有
[P_1(x)=\frac{x-b}{a-b}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)][I(f)\approx\int_a^bP_1(x)\mathrm{d}x=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)]

性质
若 f ∈ C 2 [ a , b ] f\in C^2[a,b] f∈C2[a,b]，则上述公式是代数精度为1的插值型数值积分公式

3. Simpson（辛普森）公式

定义：Simpson公式
节点为区间端点及中点，且 f f f近似为这两点上的二次L插值的数值积分公式
即对节点 x 0 = a , x 1 = a + b 2 , x 2 = b x_0=a,x_1=\frac{a+b}{2},x_2=b x0​=a,x1​=2a+b​,x2​=b，有
P 2 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( a ) + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( a + b 2 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) f ( b ) \begin{split} P_2(x)=&\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(a) +\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(\frac{a+b}{2})\\ &+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(b) \end{split} P2​(x)=​(x0​−x1​)(x0​−x2​)(x−x1​)(x−x2​)​f(a)+(x1​−x0​)(x1​−x2​)(x−x0​)(x−x2​)​f(2a+b​)+(x2​−x0​)(x2​−x1​)(x−x0​)(x−x1​)​f(b)​ I ( f ) ≈ ∫ a b P 2 ( x ) d x = f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) 6 ( b − a ) I(f)\approx\int_a^bP_2(x)\mathrm{d}x=\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}(b-a) I(f)≈∫ab​P2​(x)dx=6f(a)+4f(2a+b​)+f(b)​(b−a)

性质
若 f ∈ C 4 [ a , b ] f\in C^4[a,b] f∈C4[a,b]，则上述公式是代数精度为3的插值型数值积分公式

4. Newton-Cotes（牛顿-科特斯）求积公式

定义：Newton-Cotes 求积公式
节点为 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的 n + 1 n+1 n+1个等距节点： a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b a=x_0<x_1<\dots<x_n=b a=x0​<x1​<⋯<xn​=b，记相邻节点间距为h，f近似为节点上的n次L插值的数值积分公式
即对节点 a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b a=x_0<x_1<\dots<x_n=b a=x0​<x1​<⋯<xn​=b，记相邻节点间距为h， x = a + t h x=a+th x=a+th
P n ( x ) = ∑ k = 0 n ( ∏ j = 0 , j ≠ k n x − x j x k − x j ) f ( x k ) = ∑ k = 0 n ( ∏ j = 0 , j ≠ k n t − j k − j ) f ( x k ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k k ! ( n − k ) ! ( ∏ j = 0 , j ≠ k n ( t − j ) ) f ( x k ) \begin{split} P_n(x)&=\sum\limits_{k=0}^n\left(\prod\limits_{j=0,j\neq k}^{n}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}\right)f(x_k)\\ &=\sum\limits_{k=0}^n\left(\prod\limits_{j=0,j\neq k}^{n}\frac{t-j}{k-j}\right)f(x_k)\\ &=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}}{k!(n-k)!}\left(\prod\limits_{j=0,j\neq k}^{n}(t-j)\right)f(x_k)\\ \end{split} Pn​(x)​=k=0∑n​ ​j=0,j=k∏n​xk​−xj​x−xj​​ ​f(xk​)=k=0∑n​ ​j=0,j=k∏n​k−jt−j​ ​f(xk​)=k=0∑n​k!(n−k)!(−1)n−k​ ​j=0,j=k∏n​(t−j) ​f(xk​)​ I ( f ) ≈ ∫ a b P n ( x ) d x = b − a n ∫ 0 n ∑ k = 0 n ( ∏ j = 0 , j ≠ k n t − j k − j ) f ( x k ) d t = ∑ k = 0 n ( b − a ) C k ( n ) f ( x k ) \begin{split} I(f)&\approx \int_a^bP_n(x)\mathrm{d}x\\ &=\frac{b-a}{n}\int_0^n\sum\limits_{k=0}^n\left(\prod\limits_{j=0,j\neq k}^{n}\frac{t-j}{k-j}\right)f(x_k)\mathrm{d}t\\ &=\sum\limits_{k=0}^n(b-a)C_k^{(n)}f(x_k) \end{split} I(f)​≈∫ab​Pn​(x)dx=nb−a​∫0n​k=0∑n​ ​j=0,j=k∏n​k−jt−j​ ​f(xk​)dt=k=0∑n​(b−a)Ck(n)​f(xk​)​ 其中 C k ( n ) = 1 n ∫ 0 n ∏ j = 0 , j ≠ k n t − j k − j d t C_k^{(n)}=\frac{1}{n}\int_0^n\prod\limits_{j=0,j\neq k}^{n}\frac{t-j}{k-j}\mathrm{d}t Ck(n)​=n1​∫0n​j=0,j=k∏n​k−jt−j​dt 称为Newton-Cotes求积系数

命题：Newton-Cotes求积系数的性质

1. C k ( n ) = C n − k ( n ) C_k^{(n)}=C_{n-k}^{(n)} Ck(n)​=Cn−k(n)​
2. ∑ k = 0 n C k ( n ) = 1 \sum\limits_{k=0}^nC_k^{(n)}=1 k=0∑n​Ck(n)​=1
3. n ≤ 7 n\leq 7 n≤7 时， C k ( n ) C_k^{(n)} Ck(n)​ 均正； n > 8 n>8 n>8 时， C k ( n ) C_k^{(n)} Ck(n)​ 有正有负

证明思路
（1）易证
（2）只需注意到：当 f = 1 f=1 f=1时，Newton-Cotes求积公式准确成立，计算即得
（3）逐个计算可得

命题：Newton-Cotes求积公式的代数精度
Newton-Cotes求积公式至少有n阶代数精度，若n为偶数，则有 n + 1 n+1 n+1阶代数精度

证明思路
容易验证Newton-Cotes求积公式是插值型的，由代数精度的刻画，只需验证
∫ a b ω n + 1 ( x ) d x = 0 \int_a^b\omega_{n+1}(x)\mathrm{d}x=0 ∫ab​ωn+1​(x)dx=0 ∫ a b ω n + 1 ( x ) d x = ∫ 0 n t ( t − 1 ) ⋯ ( t − n ) d t ⋅ h n + 2 = ∫ − k k ( u + k ) ⋯ ( u + 1 ) u ( u − 1 ) ⋯ ( u − k ) d u ⋅ h n + 2 = ∫ − k k u ( u 2 − 1 ) ⋯ ( u 2 − k 2 ) d u ⋅ h n + 2 = 0 \begin{split} \int_a^b\omega_{n+1}(x)\mathrm{d}x &=\int_0^nt(t-1)\cdots(t-n)\mathrm{d}t\cdot h^{n+2}\\ &=\int_{-k}^{k}(u+k)\cdots(u+1)u(u-1)\cdots(u-k)\mathrm{d}u\cdot h^{n+2}\\ &=\int_{-k}^{k}u(u^2-1)\cdots(u^2-k^2)\mathrm{d}u\cdot h^{n+2}=0\\ \end{split} ∫ab​ωn+1​(x)dx​=∫0n​t(t−1)⋯(t−n)dt⋅hn+2=∫−kk​(u+k)⋯(u+1)u(u−1)⋯(u−k)du⋅hn+2=∫−kk​u(u2−1)⋯(u2−k2)du⋅hn+2=0​上述等式进行的操作分别是

1. 令 x = a + t h x=a+th x=a+th
2. 令 n = 2 k n=2k n=2k
3. 注意到被积函数是奇函数

5. 各种求积公式的性质

命题：误差估计

1. 梯形公式的余项估计：设 f ∈ C 2 [ a , b ] f\in C^2[a,b] f∈C2[a,b]，则 E 1 ( f ) = − 1 12 f ′ ′ ( ξ ) ( b − a ) 3 E_1(f)=-\frac{1}{12}f''(\xi)(b-a)^3 E1​(f)=−121​f′′(ξ)(b−a)3
2. Simpson公式的余项估计：设 f ∈ C 4 [ a , b ] f\in C^4[a,b] f∈C4[a,b]，则 E 3 ( f ) = − 1 2880 f ( 4 ) ( ξ ) ( b − a ) 5 E_3(f)=-\frac{1}{2880}f^{(4)}(\xi)(b-a)^5 E3​(f)=−28801​f(4)(ξ)(b−a)5

证明思路
（1）由Newton插值余项以及积分中值定理 E 1 ( f ) = ∫ a b f ( a , b , x ) ( x − a ) ( x − b ) d x = f ( a , b , ξ ) ∫ a b ( x − a ) ( x − b ) d x = − 1 12 f ′ ′ ( ξ ) ( b − a ) 3 \begin{split} E_1(f)&=\int_a^bf(a,b,x)(x-a)(x-b)\mathrm{d}x\\ &=f(a,b,\xi)\int_a^b(x-a)(x-b)\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{12}f''(\xi)(b-a)^3\\ \end{split} E1​(f)​=∫ab​f(a,b,x)(x−a)(x−b)dx=f(a,b,ξ)∫ab​(x−a)(x−b)dx=−121​f′′(ξ)(b−a)3​
（2）类似地使用Hermite插值余项

命题：计算的稳定性
n ≤ 7 n\leq 7 n≤7时，计算稳定； n > 7 n>7 n>7时计算不稳定

证明思路
设误差 f ( x k ) − f ~ ( x k ) = ϵ k f(x_k)-\tilde{f}(x_k)=\epsilon_k f(xk​)−f~​(xk​)=ϵk​，则 ∣ ∑ k = 0 n C k ( n ) f ( x k ) − ∑ k = 0 n C k ( n ) f ~ ( x k ) ∣ ≤ max ⁡ k ∣ ε k ∣ ∑ k = 0 n ∣ C k ( n ) ∣ |\sum\limits_{k=0}^nC_k^{(n)}f(x_k)-\sum\limits_{k=0}^nC_k^{(n)}\tilde{f}(x_k)|\leq\max\limits_k|\varepsilon_k|\sum\limits_{k=0}^n|C_k^{(n)}| ∣k=0∑n​Ck(n)​f(xk​)−k=0∑n​Ck(n)​f~​(xk​)∣≤kmax​∣εk​∣k=0∑n​∣Ck(n)​∣
当 n ≤ 7 n\leq 7 n≤7 时， ∑ k = 0 n ∣ C k ( n ) ∣ = 1 \sum\limits_{k=0}^n|C_k^{(n)}|=1 k=0∑n​∣Ck(n)​∣=1； n > 7 n>7 n>7 时 ∑ k = 0 n ∣ C k ( n ) ∣ > 1 \sum\limits_{k=0}^n|C_k^{(n)}|>1 k=0∑n​∣Ck(n)​∣>1

注：关于收敛性，由于Newton-Cotes求积公式是插值型的，故也有不收敛的可能

6. 复合求积公式

为克服Newton-Cotes求积公式高次不稳定的特点，类似多项式插值，用分段低次多项式代替高次多项式；
复合求积公式的基本思想即为在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes求积公式；下面以复合梯形公式和复合Simpson公式为例；

定义：复合梯形公式
I ( f ) = ∑ i = 0 n − 1 ∫ x i x i + 1 f ( x ) d x ≈ h 2 ∑ i = 0 n − 1 [ f ( x i ) + f ( x i + 1 ) ] I(f)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{2}\sum\limits_{i=0}^{n-1}[f(x_i)+f(x_{i+1})] I(f)=i=0∑n−1​∫xi​xi+1​​f(x)dx≈2h​i=0∑n−1​[f(xi​)+f(xi+1​)]

命题：余项估计
若 f ∈ C 2 [ a , b ] f\in C^2[a,b] f∈C2[a,b]，则 E ( f ) ≤ h 2 12 M ( b − a ) E(f)\leq\frac{h^2}{12}M(b-a) E(f)≤12h2​M(b−a) 其中 M = max ⁡ ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ M=\max|f''(x)| M=max∣f′′(x)∣

定义：复合Simpson公式
I ( f ) = ∑ i = 0 n − 1 ∫ x 2 i x 2 i + 2 f ( x ) d x ≈ h 3 ∑ i = 0 n − 1 [ f ( x 2 i ) + f ( x 2 i + 1 ) + f ( x 2 i + 2 ) ] I(f)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_{2i}}^{x_{2i+2}}f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{3}\sum\limits_{i=0}^{n-1}[f(x_{2i})+f(x_{2i+1})+f(x_{2i+2})] I(f)=i=0∑n−1​∫x2i​x2i+2​​f(x)dx≈3h​i=0∑n−1​[f(x2i​)+f(x2i+1​)+f(x2i+2​)]

命题：余项估计
若 f ∈ C 4 [ a , b ] f\in C^4[a,b] f∈C4[a,b]，则 E ( f ) ≤ h 4 90 M ( b − a ) E(f)\leq\frac{h^4}{90}M(b-a) E(f)≤90h4​M(b−a)其中 M = max ⁡ ∣ f ( 4 ) ( x ) ∣ M=\max|f^{(4)}(x)| M=max∣f(4)(x)∣

参考书籍：《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编