【DP】01背包问题与完全背包问题

一、01背包问题

有 N件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

分析：

（1）使用动态规划DP来解决这个问题，首先明确f[i][j]是只考虑前i个物品总体积不超过j的选法集合

（2） 我们对f[i][j]进行划分，分为所有不选第i个物品的方案f(i-1,j)

        所有选第i个物品的方案f(i-1,j-v[i])+w[i]

(3)取上面两种方案价值最大的

（1）二维暴力解法 

#include<iostream>
#define N 1010
using namespace std;

int v[N];
int w[N];
int f[N][N];//只考虑前i个物品且总体积不超过j的选法集合
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){//前i个物品都不选，总体积j可以为0
            f[i][j]=f[i-1][j];//左半边的子集
            if(j>=v[i]) //右边有可能取不到，要判断
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

（2）一维优化解法 

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1010
int w[N],v[N];
int x[N];
int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  int m,n;
  cin>>m>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>w[i]>>v[i];//体积和价值
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=w[i];j--){//倒序，将判断条件直接加进循环里
      x[j]=max(x[j],x[j-w[i]]+v[i]);
    }
  }
  cout<<x[m];
  return 0;
}

二、完全背包

 与01背包不同的是完全背包问题的每个物品可以无限选用

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1010
int w[N],v[N];
int x[N];
int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  int m,n;
  cin>>m>>n;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>w[i]>>v[i];//体积和价值
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=w[i];j<=m;j++){//与01背包相比，将其正序
      x[j]=max(x[j],x[j-w[i]]+v[i]);
    }
  }
  cout<<x[m];
  return 0;
}