这个题解最后的式子写错了,看最后
(注意一下算层数要 n /= 2
!)
这里面关于 \(ans\) 的用法:为什么是 \(2\times ans^2+8\times ans+10\) 已经讲得很清楚了。
主要补充一下怎么求 \(ans\) 的部分。
如图,三个决策点的所在部分可以视作一个三角形 + 若干个斜着的梯形。
经过这一层的方案数 = 只经过三角形的数量 + 经过三角形和一个梯形的数量 + ... + 经过所有梯形的数量。
如果只经过三角形,有 \(1\) 种。
如果经过三角形和一个梯形(即红点和绿点),有 \(4\) 种。
如果两个梯形,\(8\) 种。
观察得出,如果是 \(x\) 个梯形,就有 \(2^{x+1}\) 种。
这是为什么呢?因为每个梯形的下半部分有 \(2\) 种可能通往下一个梯形的边界。同时最后一个梯形有 \(2\) 种可能回去,除了最后一个梯形,都只能走上边界回去。
所以这一层的方案数,假设有 \(k\) 个梯形,答案就是 \(1+\displaystyle\sum_{i=1}^k 2^{i+1}=1+\sum_{i=2}^{k+1}2^i=\sum_{i=0}^{k+1}2^i-2=2^{k+2}-3\) 种可能。
如果 \(n\) 那一层(这里的层指的是原本的层)是很多个黑三角的,简单;如果只有一个黑三角,还要特判一下最后一层。
【一开始想错了的点】
题解最后的式子应该是 \(ans=\displaystyle\sum_{i=2}^k[4\times \prod_{j=2}^i(2^j-3)]\)
同时再解释一下最后的 \(ans=\displaystyle\sum_{i=2}^k[4\times \prod_{j=2}^i(2^j-3)]\),其中最外层的求和是分类,分的类是 \(ans\) 走到第几层就回来;内层的累乘是分步,意思是每一层的方案数分别乘起来;那个 \(4\) 是最后一层返回的方案数。
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