【习题】3.3

[T030301] 设 \(f(x,y)\) 在整个平面上连续有界, 且 \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) 也连续. 证明方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的每一个解 \(y=\varphi(x)\) 的饱和区间为 \(-\infty<x<+\infty\).

    证 因为 \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) 在整个平面 \(\R^2\) 上连续, 故 \(f\) 在 \(\R^2\) 上满足关于 \(y\) 的局部 Lipschitz 条件. 又 \(f(x,y)\) 在 \(\R^2\) 上连续, 故方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 满足延拓定理, 及其一切解都可延拓到 \(\R^2\) 的边界(即无穷远处).

    考虑过任一点 \(P(x_0,y_0)\) 的解. 由 \(f(x,y)\) 在 \(\R^2\) 上有界可知存在 \(M>0\), 使得对任意 \((x,y)\in\R^2\), 有 \(|f(x,y)|<M\). 过点 \(P\) 作斜率为 \(-M\) 与 \(M\) 的直线, 由 \(|f(x,y)|<M\) 知积分曲线 \(y=\varphi(x)\) 必在两条直线所围的对角区域之内, 向左向右无限延拓, 即方程的每一个解 \(y=\varphi(x)\) 的饱和区间为 \((-\infty,+\infty)\). #

[T030303] 证明: 对一阶线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)\), 若 \(P(x),Q(x)\in C[a,b]\) , 则对任意 \(x_0\in[a,b],y_0\in(-\infty,+\infty)\), 方程有唯一解 \(y=\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续.

    证 设 \(f(x,y)=P(x)y+Q(x)\), 由条件知 \(f(x,y)\) 在 \(R=[a,b]\times(-\infty,+\infty)\) 上连续, 又 \(\frac{\partial f}{\partial y}=P(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续, 从而 \(f(x,y)\) 关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件, 故方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)\) 满足延拓定理, 即对任意的 \(x_0\in[a,b],y_0\in(-\infty,+\infty)\), 通过 \((x_0,y_0)\) 的解 \(y=\varphi(x)\) 可延拓到 \(R\) 的边界. 设 \(\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le M, \ x\in[a,b]\). 对任意 \(x\in[a,b]\), 作逐步迭代

由 Lipschitz 条件可知

于是 \(y_0(x)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(y_n(x)-y_{n-1}(x)\right)\) 是 \([a,b]\) 上的绝对一致收敛级数, 从而连续函数列 \(\{y_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于初值问题 \(y=\varphi(x)\), 即方程的唯一解 \(y=\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义, 显然在 \([a,b]\) 上连续. #

[T030304] 已知 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(y^2-a^2)f(x,y)\), 这里 \(f(x,y)\) 及 \(f'_y(x,y)\) 在 \(xOy\) 面上连续. 试证明: 对 \(\forall x_0\) 及 \(|y_0|<a\), 满足初始条件 \(y(x_0)=y_0\) 的解 \(y(x)\) 都在区间 \((-\infty,+\infty)\) 上存在.

    证 方程的右端函数 \((y^2-a^2)f(x,y)\) 在全平面 \(\R^2\) 上连续可微, 因此它满足解的存在唯一性定理和延拓定理.

    显然 \(y=\pm a\) 是方程的解, 由延拓定理知满足 \(y(x_0)=y_0\) 的解可无限远离原点, 延拓到 \(\R^2\) 的边界. 又由解的唯一性知 \(y=y(x)\) 不能穿过直线 \(y=\pm a\), 故只能是向两侧延拓而无限远离原点, 从而解 \(y(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上存在. #