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多项式小寄

时间：2024-02-24 14:55:47浏览次数：24  
标签：int 多项式 sum Len Complex varphi equiv

多项式小记

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序

十分的基础，还有很多东西 没有学习，准备 鸽了 学了 \(DS\) 之后再来补充

这篇博客主讲 \(FFT\)，\(NTT\) 的 基本原理 以及 多项式简单运算，而 题目涉及较少（没做


什么是多项式

即形如 \(F(x) = a_1 x ^ {k_1} + a_2 x ^ {k_2} + ... + a_{k_1} x ^ 1 + a_{k_1 + 1} x ^ 0\) 的 式子，也可以理解为一个 函数

\(OI\) 中一般讨论的 多项式 默认 只有一元，也就是 一个变量 \(x\)

上式可以直接写作 左式 \(F(x)\) 的形式，也可以直接称作 多项式 \(F\)

这都不影响其 实际指代（也就是 右式）

（上述 右式 也可以写为 \(\sum a_k x^{k}\)）

\(eg. F(x) = x ^ 2 + 5x + 2\) 故有 \(F(5) = 52\)


多项式四则运算

加法

存在多项式 \(F(x) = \sum a_k x ^ k, G(x) = \sum b_k x ^ k\)

则有 \(F(x) + G(x) = \sum (a_k + b_k) x ^ k\)

\(eg. F(x) = 2 x ^ 2 + 5x + 4\)

\(G (x) = 4x ^ 3 + 3x + 6\)

则 \(F(x) + G(x) = (0 + 4) x ^ 3 + (2 + 0) x ^ 2 + (5 + 3) x ^ 1 + (4 + 6) x ^ 0 = 4 x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 8 x + 10\)


减法

和加法 显然互逆，不多言


乘法

存在多项式 \(F(x) = \sum_i a_i x ^ i, G(x) = \sum_j b_j x ^ j\)

则有

\[F(x) * G (x) = \sum_i\sum_j a_ib_j x^{i + j} \]

\[eg. \\ F(x) = 2x ^ 2 + 5x + 4, \\ G(x) = 4x ^ 3 + 3x + 6 \\ F(x) * G(x) = (2 * 4) x ^ {2 + 3} + (2 * 0) x ^ {2 + 2} + (2 * 3) x ^ {2 + 1} + (2 * 6) x ^ {2 + 0} + (5 * 4) x ^ {1 + 3} + (5 * 0) x ^ {1 + 2} \\ + (5 * 3) x ^ {1 + 1} + (5 * 6) x ^ {1 + 0} + (4 * 4) x ^ {0 + 3} + (4 * 0) x ^ {0 + 2} + (4 * 3) x ^ {0 + 1} + (4 * 6) x ^ {0 + 0} \\ = 8 x ^ 5 + 20 x ^ 4 + 14 x ^ 3 + 27 x ^ 2 + 42 x + 24 \]


除法

和乘法 显然互逆，注意 余式


\(FFT\)

以下内容多引用自 [1] 对应的文章

多项式的四则运算 中，加减法都可以在 线性时间 内很快的解决

而如果按照定义暴力计算，多项式乘法（加法卷积）则需要 \(O(N^2)\) 的时间来解决

非常的慢！

而 \(FFT~(Fast ~ Fourier ~ Transformation)\) ，即 快速傅里叶离散变换，

就是在 \(O(N \log N)\) 时间下解决 多项式乘法 的一种算法


这玩意儿十分的精妙，他利用到一个非常重要的性质，即


多项式的点值表达

就像 二次函数 有 两点式（加上二次项系数确定这个二次函数） 一样

显然，一个 \(N\) 次多项式 可以由其式子 对应函数 上的 \(N + 1\) 个点来确认

所以我们可以把一个 \(N\) 次多项式从 系数表达 转化成 \(N + 1\) 个点来表达，这一步也叫 插值

这有什么好处呢？

可以发现，多项式的四则运算 可以 直接映射到 点坐标的四则运算 上

也就是若 \(F(x)\) 过点 \((x_1, y_1)\) ，而 \(G (x)\) 过点 \((x_2, y_2)\)

则 \(F(x) + G(x)\) 一定过点 \((x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)，多项式的乘法 也满足这个性质

（即 \(F(x) * G(x)\) 过点 \((x_1 x_2, y_1 y_2)\)）

而对于 \(N\) 次多项式 \(F(x)\)，\(M\) 次多项式 \(G(x)\)，它们的积最高只有 \(N + M\) 次

也就是我们至多在两个函数上 各找 \(N + M + 1\) 个点运算后就可以确定 \(F(x) * G (x)\)


显然 知道点值表达 后的运算只需要 \(O(N + M)\) 的时间 （\(N, M\) 同阶时认为是 \(O(N)\)）

于是重点就变成了 用系数表达求点值表达 和 用点值表达反推系数表达

亦即 插值 和 求值


\(DFT\)


单位根

按理说 插值 代入 任意点 都没有问题，可是 求取任意点 就只能 代入多项式 做到

这玩意儿求一个点就是 \(O(N)\) 的时间，而我们需要 \(N + M\) 个点，完蛋

于是我们需要一些 有性质的数 来带入求值，而 单位根 就是一种好东西

单位根 / \(n\) 次单位根 ：即 \(n\) 次幂 为 \(1\) 的 复数，用 \(w_n\) 表示

显然 \(n\) 次单位根 共 \(n\) 个，写作 \(w_n ^ k\) 的形式

根据 复数乘法 模长相乘，幅角相加 的法则，发现 单位根 只存在于 半径为 \(1\) 的 单位圆 上

且 \(n\) 次单位根 将此 单位圆 \(n\) 等分

故可以得到 单位根 的如下性质（之后会用到的）

  1. \(w_n ^ 0 = 1 + 0i = 1\)

  2. \(w_n ^ k = (w_n ^ 1) ^ k\)

  3. \(w_n ^ k = w_n ^ {k \% n}\)

  4. \((w_n ^ k) ^ p = w_n ^ {kp} = w_n ^ {kp \% n}\)

  5. \(w_n ^ i * w_n ^ j = w_n ^ {i + j}\)

  6. \(w_{an} ^ {ak} = w_n ^ k \to w_{2n} ^ {2k} = w_n ^ k\)

  7. \(w_n ^ {k + n/2} = - w_n ^ {k} ~ (2 | n)\)

（通过 复数乘法 法则都可以简单证明）


算法原理

现在我们可以回到 \(DFT\) 的原理了

考虑一个 \(n - 1\) 次（\(n\) 项）多项式 \(F(x) = \sum_{k = 0} ^ {n - 1} a_k x^k\)

我们按 次数奇偶 分成两部分，这里保证 \(N\) 是 \(2\) 的整数次幂，从而可以 平均分开

得到

\[F(x) = \sum_{k = 0} ^ {(n - 1) / 2} a_{2k} x ^ {2k} + a_{2k + 1} x ^ {2k + 1} \]

于是设

\[FL(x) = \sum_{k = 0} ^ {(n - 1) / 2} a_{2k} x ^ k \\ FR(x) = \sum_{k = 0} ^ {(n - 1) / 2} a_{2k + 1} x ^ k \]

显然我们可以发现

\[F(x) = FL(x ^ 2) + x FR(x ^ 2) \]

我们代入 \(x = w_n ^ k\)，因为

\[(w_n ^ k) ^ 2 = w_n ^ k * w_n ^ k = w_n ^ {2 * k} = w_{n / 2} ^ k \]

故上式变为

\[① ~ F(w_n ^ k) = FL (w_{n / 2} ^ k) + w_n ^ k FR (w_{n / 2} ^ k) \]

显然 \(k < n / 2\)，故我们再代入 \(x = w_n ^ {k + n / 2}\)，有

\[F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL ((w_n ^ {k + n / 2}) ^ 2) + w_n ^ {k + n / 2} FR ((w_n ^ {k + n / 2}) ^ 2) \]

又 \((w_n ^ k) ^ 2 = w_n ^ {2k}\)，有

\[F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL (w_n ^ {2k + n}) + w_n ^ {k + n / 2} FR (w_n ^ {2k + n}) \]

又 \(w_n ^ k = w_n ^ {k \% n}\)，有

\[F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL (w_n ^ {2k}) + w_n ^ {k + n / 2} FR (w_n ^ {2k}) \]

又 \(w_{2n} ^ {2k} = w_n ^ k\)，有

\[F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL (w_{n / 2} ^ k) + w_n ^ {k + n / 2} FR (w_{n / 2} ^ k) \]

又 \(w_n ^ {k + n/2} = - w_n ^ {k} ~ (2 | n)\)，有

\[② ~ F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL (w_{n / 2} ^ k) - w_n ^ k FR (w_{n / 2} ^ k) \]

核心流程

把 刚刚的玩意儿 \(②\) 和 上面推出的一个式子 \(①\) 放在一起

\[① ~ F(w_n ^ k) = FL (w_{n / 2} ^ k) + w_n ^ k FR (w_{n / 2} ^ k) \\ ② ~ F(w_n ^ {k + n / 2}) = FL (w_{n / 2} ^ k) - w_n ^ k FR (w_{n / 2} ^ k) \]

艹？长得差不多？只有符号的区别？

非常的好，于是现在我们只需要知道 \(FL, FR\) 在 \(w_{n / 2} ^ {0}, w_{n / 2} ^ {1}, ..., w_{n / 2} ^ {n / 2 - 1}\) 处的 点值表达 即可

而 \(FL, FR\) 的性质与原式 \(F\) 完全相同（右式 形式一致）仅有最高次的区别

可以把它们看作次数 减小为一半 的一般多项式，我们很容易可以想到 分治

通过上式将 原问题 不断划分为规模只有 一半 的 子问题，递归求解，项数为 \(1\) 时 直接返回

最后按上述两式子，即可分别得出 \(F\) 在 \(w_n ^ 0 ... w_n ^ {n / 2 - 1}\) 与 \(w_n ^ {n / 2} ... w_n ^ {n - 1}\) 处的 点值表达 了

时间复杂度 \(T(N) = 2 T(N / 2) + O(N) = O(N \log N)\)

注意到我们需要 多项式项数 为 \(2\) 的 整次幂 从而保证 划分始终均匀

所以当 项数不足 时直接在 最高次补足项 即可，显然 补的项数不超过原项数，复杂度不变


代码

我们可以 重载复数运算 方便后续编写，这里提供一个 重载好的复数结构体

struct Complex {
    double R, I;

    inline Complex (double r = 0, double i = 0) {
        R = r, I = i;
    }
    inline Complex operator + (const Complex &a) const {
        return Complex (R + a.R, I + a.I);
    }
    inline Complex operator - (const Complex &a) const {
        return Complex (R - a.R, I - a.I);
    }
    inline Complex operator * (const Complex &a) const {
        return Complex (R * a.R - I * a.I, I * a.R + R * a.I);
    }
    // 除法是不必要的
};

这里给出一个 按照上述流程 的 \(DFT\) 递归实现，后面会讲优化

注意到由于存在 \(0\) 次项，以及为了后续分治均匀，下标最好从 \(0\) 开始

const double PI = acos (-1);
Complex S[MAXN];

inline void DFT (Complex* p, const int Len) {
	if (Len == 1) return ;
	Complex *l = p, *r = (p + (Len >> 1));
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) S[i] = p[i];
	for (int i = 0; i < (Len >> 1); ++ i)
		l[i] = S[i << 1], r[i] = S[i << 1 | 1];
	DFT (l, Len >> 1), DFT (r, Len >> 1);
	Complex U = Complex (cos (2 * PI / Len), sin (2 * PI / Len)); // 第一单位根
	Complex Now = Complex (1, 0); // 当前单位根
	for (int k = 0; k < (Len >> 1); ++ k, Now = Now * U)
		S[k] = l[k] + Now * r[k], S[k + (Len >> 1)] = l[k] - Now * r[k];
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] = S[i];
}

这个函数将多项式 系数数列 转化为 点值数列，初始传入 系数数列 \(p\)

做完后的 \(p\) 数组就是 积多项式 分别在 \(w_n ^ 0 ... w_n ^ {n - 1}\) 处的 点值


\(IDFT\)

插值 是 插完了，我们得到了 一堆 表示 积多项式 的 点

但是这玩意儿它没用啊，我们要的是 系数表达，所以还需要 求值

也就是还得要个东西 把刚刚的流程反过来，得到 最终的多项式（系数表达）

结论

这东西流程上是很简单的，可以先来个 结论

把 \(DFT\) 中的 \(w_n ^ 1\) 换成 \(w_n ^ {-1}\)，做完之后 除以 \(n\) 即可

（可以做题了


证明

以下给出证明，设有 \(G = DFT (F)\)，也就是 \(G\) 数列 是 \(F\) 数列 \(DFT\) 变换后的 结果

模拟暴力代入，（设将 \(w_n ^ k\) 代入以求得第 \(k\) 个点 的 点值表达），则有

（\(G_k\) 表示 \(G\) 多项式的第 \(k\) 项，同形式同理）

\[① ~ G_k = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} F_i (w_n ^ k) ^ i \]

我们需要证得 的结论是

\[② ~ F_k = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} G_i (w_n ^ {-k}) ^ i} {n} \]

于是将 \(①\) 代入 \(②\) 有

\[F_k = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} (w_n ^ {-k}) ^ i (\sum_{j = 0} ^ {n - 1} F_j (w_n ^ i) ^ j)} {n} \\ = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} \sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {-ik} w_n ^ {ij} F_j} {n} \\ = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} \sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {i (j - k)} F_j} {n} \]

分两部分贡献讨论，（最后 两部分相加）若 \(j = k\)，则（有 \(w_n ^ 0 = 1\)）

\[R_1 = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ 0 F_j} {n} \\ = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} F_j} {n} \\ = F_j = F_k \]

若 \(j \neq k\)，设 \(p = j - k\)，则

\[R_2 = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} \sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {ip} F_j} {n} ~ (j \neq k) \]

即需要证得 \(F_k = R_1 + R_2\)，而我们注意到

\[\sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {ip} F_j = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {ip} F_{k + p} \\ w_n ^ p \sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ i F_{k + p} \]

等比数列求和有

\[\sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ i F_{k + p} \\ = \dfrac {\sum_{i = 1} ^ {n} w_n ^ i F_{k + p} - \sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ i F_{k + p}} {w_n ^ 1 - 1} \\ = \dfrac {F_{k + p} * (w_n ^ n - w_n ^ 0)} {w_n ^ 1 - 1} \\ = \dfrac {F_{k + p} * 0} {w_n ^ 1 - 1} \\ = 0 \]

所以

\[R_2 = \dfrac {\sum_{i = 0} ^ {n - 1} \sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {ip} F_j} {n} ~ (j \neq k) \\ = \dfrac {\sum_{j = 0} ^ {n - 1} (\sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ {ip} F_j)} {n} \\ = \dfrac {\sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ p \sum_{i = 0} ^ {n - 1} w_n ^ i F_{k + p}} {n} \\ = \dfrac {\sum_{j = 0} ^ {n - 1} w_n ^ p * 0} {n} \\ = 0 \]

于是最终有 \(R_1 + R_2 = F_k + 0 = F_k\)，即 结论得证


代码

就，和 \(DFT\) 不能说 一模一样，只能说 长得很像

const double PI = acos (-1);
Complex S[MAXN];

inline void DFT (Complex* p, const int Len) {
	if (Len == 1) return ;
	Complex *l = p, *r = (p + (Len >> 1));
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) S[i] = p[i];
	for (int i = 0; i < (Len >> 1); ++ i)
		l[i] = S[i << 1], r[i] = S[i << 1 | 1];
	DFT (l, Len >> 1), DFT (r, Len >> 1);
	Complex U = Complex (cos (2 * PI / Len), - sin (2 * PI / Len)); // 第一单位根 (注意取负)
	Complex Now = Complex (1, 0); // 当前单位根
	for (int k = 0; k < (Len >> 1); ++ k, Now = Now * U)
		S[k] = l[k] + Now * r[k], S[k + (Len >> 1)] = l[k] - Now * r[k];
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] = S[i];
}

最后的实现

显然，有了 \(DFT / IDFT\)，最后的乘法是简单的

我们只需要 补齐项数，对最开始的两个多项式分别做 \(DFT\)

然后将求出的 点值数列 相乘，对乘积做 \(IDFT\)

最后输出结果前 \(N + M\) 项即可，这部分代码如下

inline Mul () {

    cin >> N >> M;

    for (P = 1; P <= N + M; P <<= 1);

    for (int i = 0; i <= N; ++ i) cin >> F[i].R;

    for (int i = 0; i <= M; ++ i) cin >> G[i].R;

    FFT (F, P, 1), FFT (G, P, 1);

    for (int i = 0; i < P; ++ i) F[i] = F[i] * G[i];

    FFT (F, P, - 1);

    for (int i = 0; i <= N + M; ++ i)
        cout << (int) (F[i].R / P + 0.49) << ' ';
}

融融

用 \(EPS\) 个 \(zhicheng\) 的注意力 可以发现

\(DFT\) 和 \(IDFT\) 的 代码差距 和 它们的 名字差距 一样巨大

据完全统计，有整整 一个字符

所以为了节省码量，我们可以把它们 绒绒 起来

const double PI = acos (-1);
Complex S[MAXN];

inline void FFT (Complex* p, const int Len, const int Typ) {
	if (Len == 1) return ;
	Complex *l = p, *r = (p + (Len >> 1));
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) S[i] = p[i];
	for (int i = 0; i < (Len >> 1); ++ i)
		l[i] = S[i << 1], r[i] = S[i << 1 | 1];
	FFT (l, Len >> 1, Typ), FFT (r, Len >> 1, Typ);
	Complex U = Complex (cos (2 * PI / Len), Typ * sin (2 * PI / Len));
	Complex Now = Complex (1, 0);
	for (int k = 0; k < (Len >> 1); ++ k, Now = Now * U)
		S[k] = l[k] + Now * r[k], S[k + (Len >> 1)] = l[k] - Now * r[k];
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] = S[i];
}
// Use DFT -> FFT (p, Len, 1), Use IDFT -> FFT (p, Len, -1)

感觉可以了？交一波 P3803 【模板】多项式乘法（FFT）

可以看到因为常数过大而 \(TLE\) 了,看来我们需要一个常数更小的写法 —— \(command\_block\)

（显然，\(command\_block\) 老师 没有体验到 洛 谷 4 . 0 的 强 大）

（以上代码可以 轻 松 通 过 ）


于是我们继续来做


没用的 常数优化

观察 如下代码

for (int k = 0; k < (Len >> 1); ++ k, Now = Now * U)
	S[k] = l[k] + Now * r[k], S[k + (Len >> 1)] = l[k] - Now * r[k];

显然 Now * r[k] 这种 复数乘法 常数极大，可以 尝试省去，如下

Complex tmp = (1, 0);
for (int k = 0; k < (Len >> 1); ++ k, Now = Now * U)
	tmp = Now * r[k], S[k] = l[k] + tmp, S[k + (Len >> 1)] = l[k] - tmp;

实测 会快 \(EPS\) ？笔者更倾向于 编译器比较聪明

还是得来点 有用的常数优化


蝴蝶变换

\(S\) 这个临时数组 是 大 常 数 的 一 大 助 力，减少数组复制总能 显著减小常数

我们可以发现，递归下去的过程中 \(p\) 数组 值的位置在变化，具体来讲

0   1   2   3   4   5   6   7 - Flr1
0   2   4   6 | 1   3   5   7 - Flr2
0   4 | 2   6 | 1   5 | 3   7 - Flr3
0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 - Flr4

可以发现，最终位置 是 原位置 的 二进制反转 的值，而这个值可以 \(O(N)\) 递推得到

for (int i = 0; i < N; ++ i) U[i] = (U[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? N >> 1 : 0);

数组复制，没了，效 果 显 著！


递归变递推（迭代）

显然，递归 令人不喜，如果有能够 递推 的形式那再好不过

我们可以直接尝试把 递归的过程反过来

也就是 最开始 就把数放到 递归的时候对应数最终的位置上，然后 往上合并

inline void FFT (Complex *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1;
	Complex Now = Complex (1, 0), tmp, U;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		U = Complex (cos (2 * PI / k), Typ * sin (2 * PI / k));
		for (int i = 0; i < Len; i += k) {
			Now = Complex (1, 0);
			for (int l = i; l < i + len; ++ l, Now = Now * U)
				tmp = Now * p[l + len], p[l + len] = p[l] - tmp, p[l] = p[l] + tmp;			
		}	
	}
}
// k 即是当前 合并后 的区间长, i 是区间起始处，我们每次将 [l, l + len) 与 [l + len, l + k) 这两个区间合并

进 步 十 分 巨 大，这个东西得配合上面的 蝴蝶变换 来用才行


三步变两步

简单来说，这基于 下面的式子，设存在多项式 \(F, G\)，则

\[P = F + Gi \\ P = F ^ 2 - G ^ 2 + 2 FGi \]

这个东西不很显然，但是可以用 多项式四则运算的性质 与 实数 基本相同 来 感性理解

也就是 多项式乘法 本身具有一般意义上的 分配律

所以我们可以把多项式 \(F, G\) 分别 放到 \(p\) 数组的 实部，虚部

做一遍 \(DFT\)，然后自身乘方后做 \(IDFT\)，我们需要的是 \(F*G\)

于是最后输出 虚部 的 \(\dfrac {1}{2}\) 即可，这东西就是 不严格的 \(\dfrac {1}{3}\) 巨量提升

   inline void Mul () {
    cin >> N >> M;
       
    for (P = 1; P <= N + M; P <<= 1);
       
    for (int i = 0; i < P; ++ i) U[i] = (U[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? P >> 1 : 0);

    for (int i = 0; i <= N; ++ i) cin >> F[i].R;

    for (int i = 0; i <= M; ++ i) cin >> F[i].I;

    FFT (F, P, 1);

    for (int i = 0; i < P; ++ i) F[i] = F[i] * F[i];

    FFT (F, P, - 1);

    for (int i = 0; i <= N + M; ++ i)
        cout << (int) (F[i].I / P / 2 + 0.49) << ' ';
}

破除封建迷信

谁说自己重载 \(Complex\) 会快的？标准库的轮子 还是 有实力的

所以我们可以把

struct Complex {
	...
};

改成（当然直接修改 每个地方的定义 也行）

#define Complex complex <double>

然后修改对应的 输入输出（这玩意儿好像不支持直接 cin）

// Input Part

int x;

for (int i = 0; i <= N; ++ i) cin >> x, F[i] += x;
	
for (int i = 0; i <= M; ++ i) cin >> x, F[i] += Complex (0, x);

// Output Part

for (int i = 0; i <= N + M; ++ i) cout << (int) (F[i].imag () / P / 2 + 0.499) << ' '; // 注意 .imag ()

好了，现在再交交看，可以发现 std::complex 十 分 强 大


最终代码

2024-02-23 17:33 - C++20 O2 - 1.24 KB / 952 ms / 40.54 MB | Record

#include <bits/stdc++.h>
#define Complex complex <double>

const int MAXN = 2100005;
const double PI = acos (-1);

using namespace std;

int U[MAXN];

inline void FFT (Complex *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1;
	Complex Now = Complex (1, 0), tmp, U;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		U = Complex (cos (2 * PI / k), Typ * sin (2 * PI / k));
		for (int i = 0; i < Len; i += k) {
			Now = Complex (1, 0);
			for (int l = i; l < i + len; ++ l, Now = Now * U)
				tmp = Now * p[l + len], p[l + len] = p[l] - tmp, p[l] = p[l] + tmp;			
		}	
	}
}

Complex F[MAXN];

int N, M, P, x;

int main () {
	
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	cin >> N >> M;
	
	for (P = 1; P <= N + M; P <<= 1);
	
	for (int i = 0; i < P; ++ i) 
        U[i] = (U[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? P >> 1 : 0);
	
	for (int i = 0; i <= N; ++ i) cin >> x, F[i] += x;
	
	for (int i = 0; i <= M; ++ i) cin >> x, F[i] += Complex (0, x);
	
	FFT (F, P, 1);
	
	for (int i = 0; i < P; ++ i) F[i] = F[i] * F[i];
	
	FFT (F, P, - 1);
	
	for (int i = 0; i <= N + M; ++ i)	
        cout << (int) (F[i].imag () / P / 2 + 0.499) << ' ';
	
	return 0;
}

\(NTT\)

这东西还真只能接着 \(FFT\) 讲，没看 \(FFT\) 先看 \(FFT\)


咋来的

\(FFT\) 这玩意儿好吧？但是要用到 \(double\) 这 破东西

这就不可避免地带来了 精度 的问题，数据范围一大就 令人恼火

但是 单位根 这东西吧，它不好替代，至少

数学家们已经证明，在 复数域 中，单位根是 唯一一类 满足要求的数 —— \(command\_block\)

但是吧，大部分 \(OI\) 中的计数题都是在 模意义下的，于是咱对 ”这类数“ 的限制放宽了

在 模意义同余系 中，我们找到了 单位根 的 替代品，原根 \(g\)


原根

得讲讲这玩意儿是啥...

以下内容多引用自 [3] 对应的文章


定义

如果 \(a\), \(m\) 互质，那么我们把 \(a ^ k \equiv 1 ~ (mod ~ m)\) 的 最小正整数 \(k\) 称为 \(a\) 的模 \(m\) 的阶

在 原文 中老师将前提 写成了 \(a, m\) 互质

虽然这篇博客对笔者以下内容编写有很大作用，但...火大

于是显然，如果 \(a ^ n \equiv 1 ~ (mod ~ m)\)，则 \(k | n\)（余数的可乘性）

由 欧拉定理 可知，当 \(a, m\) 互质时，$a ^ {\varphi (m)} \equiv 1 ~ (mod ~ m) $

故 \(a\) 模 \(m\) 的阶 \(k\) 为 \(\varphi (m)\) 的因数，而

我们把满足 \(k = \varphi (m)\) 对应的 \(a\) 称为 模 \(m\) 的原根

\(eg. m = 3\)，有 \(\varphi (3) = 2\)，且 \(2\) 模 \(3\) 的阶 \(k = 2\)，故 \(2\) 是 \(3\) 的 原根


称之为 根，因为其是 \(x ^ {\varphi (m)} \equiv 1 ~ (mod ~ m)\) 的 一个解

称之为 原，因为 原神 因为


性质

先来点用不到的
  1. （上面提到过） \(a\) 模 \(m\) 的阶 \(k\) 为 \(\varphi (m)\) 的因数

  1. \(g\) 是模 \(m\) 的 原根 当且仅当 对于任何与 \(m\) 互质的数 \(a\) 都能找到 \(k\)，使得 \(a \equiv g ^ k ~ (mod ~ m)\)

显然由于 1. 如果 \(g\) 不是 模 \(m\) 的 原根，则 \(g\) 的 阶 \(k\) 小于 \(\varphi (m)\)

又根据阶的定义，则 \(g ^ k \equiv 1 ~ (mod ~ m)\)，故 \(g ^ {t} \equiv g ^ {t + ik} ~ (mod ~ m)\)

即由 \(g ^ i\) 生成的 模 \(m\) 意义下互不同余 的数至多 \(k\) 个，小于 \(\varphi (m)\) 个，必要性得证

而若 \(g\) 为 模 \(m\) 的 原根，则 \(g, g ^ 2, ..., g ^ {\varphi (m)}\) 除以 \(m\) 的余数 互不相同

反之若存在 \(g ^ i \equiv g ^ j ~ (mod ~ m)\)，不妨设 \(i < j\)，由于 \(g, m\) 互质，\(g ^ i\) 与 \(m\) 必然互质

根据 同余的除法性质，即 同余式两边可以同时除以 \(a\) 的条件是 \(a, m\) 互质

我们得到 \(g ^ {j - i} \equiv 1 ~ (mod ~ m)\)，与 原根 的 阶 \(k = \varphi (m)\) 矛盾

故 \(g, g ^ 2, ..., g ^ {\varphi (m)}\) 除以 \(m\) 的余数 互不相同 为 真命题，同上可知

\(g, g ^ 2, ... , g ^ {\varphi (m)}\) 均与 \(m\) 互质，而与 \(m\) 互质且小于 \(m\) 的数一共 \(\varphi (m)\) 个

又知 \(g, g ^ 2, ..., g ^ {\varphi (m)}\) 互不相同，故其一定为 所有小于 \(m\) 且与 \(m\) 互质的数 的 一种排列


  1. 设 \(g\) 是模 \(m\) 的一个原根，则 \(g ^ k\) 是原根 当且仅当 \(k, \varphi (m)\) 互质

这也是 原根的判定定理，可由此得出 原根的个数 以及延伸出 原根的存在性定理

对 必要性 考虑 反证法，因为 \(g ^ k\) 为 原根

则根据 2. \((g ^ k) ^ 1, (g ^ k) ^ 2, ... , (g ^ k) ^ {\varphi (m)}\) 模 \(m\) 互不相同，而若 \(gcd (k, \varphi (m)) = t ~ (t \neq 1)\)

则 \((g ^ {k}) ^ {\varphi (m) / t} \equiv (g ^ {\varphi (m)}) ^ {k / t} \equiv 1 ~ (mod ~ m)\)，显然 \(\varphi (m) / t < \varphi (m)\)

此处与 原根 的 阶 为 \(\varphi (m)\) 矛盾，故 必要性得证

充分性则考虑到若 \(k, \varphi (m)\) 互质，则总能找到 \(s, t\) 使得 \(sk + t\varphi (m) = 1\)

故可以有 \(g ^ i \equiv g ^ {i (sk + t \varphi (m))} ~ (mod ~ m)\)

则 \(g ^ i \equiv g ^ {isk} g ^ {it\varphi (m)} ~ (mod ~ m)\)，显然 \(g ^ {it \varphi (m)} \equiv g ^ {\varphi (m)} \equiv 1 ~ (mod ~ m)\)

故 \(g ^ i \equiv g ^ {isk} \equiv (g ^ k) ^ {is}\)，也就是 \(g ^ i\) 可以表示成 \(g ^ k\) 的 \(is\) 次方

而根据 2. \(g ^ i\) 可以生成所有与 \(m\) 互质的数，故 \(g ^ k\) 亦可生成，故 \(g ^ k\) 也为原根

故 如果模数 \(m\) 有原根存在，则模数 \(m\) 有 \(\varphi (\varphi (m))\) 个原根

（对于原根 \(g\)，满足 \(i, \varphi (m)\) 互质的 \(g ^ i\) 都是原根）


  1. 对于质数 \(p\)，模 \(p\) 的 原根 \(g\) 存在，且有 \(\varphi (\varphi (p)) = \varphi (p - 1)\) 个

这是 3. 的推广，同时会用到下面性质

4.1. 如果整数 \(a\) 模 \(p\) 的 阶 是 \(t\)，则 当且仅当 \(k, t\) 互质时，\(a ^ k\) 的 阶 也是 \(t\)

对 必要性 同样考虑 反证法，因为 \(a\) 模 \(p\) 的 阶 为 \(t\)，故 \(a ^ t \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

显然 \(a ^ {it} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)，又设若 \(k, t\) 不互质，且存在 公因数 \(c > 1\)

则有 \(t | kt / c\)，也就是 存在 \(i\) 使得 \(it = kt / c\)，故 \(a^{ {kt} / {c}} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

即 \((a ^ k) ^ {t/c} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)，显然 \(t/c < t\)，又 \(t\) 为 \(a ^ k\) 的 阶，矛盾，故 必要性得证

充分性 也可以利用上述结论 证得，考虑因为 \(a\) 模 \(p\) 的 阶 是 \(t\)

则 根据阶的定义，显然，对于一切 \(a ^ i \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)，存在 \(t | i\)

我们设 \(a ^ k\) 存在 阶 \(c\)，即有 \((a ^ k) ^ c \equiv a ^ {kc} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

\(k, t\) 互质，即 \(lcm (k, t) = kt\)，即不存在数 \(c\) 使得 \(c < t\) 且 \(t | ck\)

故 \(c \ge t\)，又显然 \(c = t\) 时，\((a ^ k) ^ c \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)，故此时 \(c ~ (t)\) 即是 \(a ^ k\) 模 \(p\) 的 阶

充分性得证


4.2. 对于 \(n\) 次 同余方程 \(f(x) \equiv 0 ~ (mod ~ p)\)，根 至多 有 \(n\) 个

考虑 数学归纳法，一次同余方程 \(ax + b \equiv 0 ~ (mod ~ p)\) 至多一个根

注意到这里 \(p\) 是 质数，故满足 一次同余方程唯一根 的前提，即 \(a, p\) 互质

考虑 \(n\) 次同余方程 \(f(x) \equiv 0 ~ (mod ~ p)\)

若 方程无根，命题成立，反之则 不妨设一根 \(t\)，代入则有

\(f (t) = \sum_i ^ n a_i t ^ i\)，又 原式 \(\sum _ i ^ n a_i x ^ i\)，两式相减有

\(f(x) = \sum _ i ^ n a _ i (x ^ i - t ^ i)\)，显然有 公因式 \((x - t)\)，故原式可化为

\(f (x) = (x - t) g(x)\)，其中 \(g(x)\) 为一个一般的 \(n - 1\) 次多项式

即 \(n\) 次多项式 \(f\) 至多 比 \(n - 1\) 次多项式 \(g\) 多出一个根 \(t\)，由于 一次同余方程 仅 一根

故 原命题得证


4.3. 如果 \(d | p - 1\)，则 同余方程 \(x ^ d \equiv 1 ~ (mod ~ p)\) 恰有 \(d\) 个根

考虑 \(p\) 为质数，故 费马小定理 可知 \(x ^ {p - 1} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

又由于 \(4.2.\)，该 \(d\) 次 同余方程 \(x ^ d - 1 \equiv 0 ~ (mod ~ p)\) 至多 \(d\) 个根

只需证明其 下界为 \(d\)

又考虑到 同余方程 \(x ^ {p - 1} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\) 显然存在 \(p - 1\) 个根

即是 正整数域 内所有 \(p\) 的 可能余数

设 \(p - 1 = qd\)，显然 \(q\) 为 正整数，根据 代数恒等式（等比数列求和逆向）

\(x ^ {p - 1} - 1 = (x ^ d) ^ q - 1 = (x ^ d - 1) ((x ^ d) ^ {q - 1} + (x ^ d) ^ {q - 2} + ... + (x ^ d) ^ 1 + 1)\)

注意到这里 原文老师 又 笔误 将 \(x ^ d - 1\) 写成 \(x ^ q - 1\) 了

即 \(x ^ {p - 1} - 1 = (x ^ d - 1) g (x)\)

而 \(g (x)\) 为 \(dq - d\) 次 多项式，根据 4.2.，其 至多贡献 \(dq - d\) 个根

又 \(x ^ {p - 1} - 1 \equiv 0 ~ (mod ~ p)\) 共有 \(p - 1 = dq\) 个根

故 \(x ^ d - 1 \equiv 0 ~ (mod ~ p)\) 至少贡献 \(d\) 个根，即其 根的数量下界为 \(d\)，原命题得证


4.4. 若 \(a\) 的 阶 为 \(k\)，则 同余方程 \(x ^ k \equiv 1 ~ (mod ~ p)\) 的 所有根 恰为 \(a, a ^ 2, ... a ^ k\)

\(p\) 为质数，显然 \(a, p\) 互质，根据 4.3.，同余方程 \(x ^ k \equiv 1 ~ (mod ~ p)\) 恰有 \(k\) 个根

且显然 \(a ^ k \equiv (a ^ 2) ^ k \equiv ... \equiv (a ^ k) ^ k \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

故只需证明 \(a \% p, (a ^ 2) \% p, ... , (a ^ k) \% p\) 互不相等 即可

考虑 反证法，若存在 \(a ^ i \equiv a ^ j ~ (mod ~ p)，1 \le i < j \le k\)

由于显然 \(a ^ i\) 与 \(p\) 互质，故 根据同余的除法性质 \(a ^ {j - i} \equiv 1 ~ (mod ~ p)\)

又考虑 \(j - i < k\)，而 \(a\) 的 阶 为 \(k\)，矛盾，故原命题得证


由以上四个引理，我们可以证明 4.

考虑我们记 \(n (t)\) 表示 满足 模 \(p\) 的 阶 为 \(t\) 且与 \(p\) 互质 的 \(a\) 的 个数

（显然与 \(p\) 互质只是摆设）

而显然，对于所有与 \(p\) 互质的数 \(a\)，\(a\) 模 \(p\) 的 阶 存在且唯一，故 \(\sum n(t) = \varphi (p) = p - 1\)

唯一性 根据 阶的定义可知，存在性则，由于 \(p\) 是质数，根据 费马小定理 可构造

由于 \(p\) 是质数，\(\varphi(p) = p - 1\)，故根据 1.，对于所有 \(t\)，存在 \(t | \varphi (p) = p - 1\)

则显然 \(\sum_{t | (p - 1)} n(t) = \sum n(t)\ = varphi (p) = p - 1\)

而 满足 \(gcd (p - 1, a) = t\) 的 \(a\) 一定共有 \(\varphi ((p - 1) / t)\) 个（\(gcd ((p - 1)/t, a/t) = 1\)）

故 \(\sum_{t | p - 1} \varphi ((p - 1) / t) = \sum_{t | p - 1} \varphi (t) = p - 1\)

即 \(\sum_{t | p - 1} n (t) = \sum_{t | p - 1} \varphi (t)\)

而对于 \(t | p - 1\) 的任意 \(t\)

① 若 \(n(t) = 0\)，则显然 \(n (t) < \varphi (t)\)

② 反之则存在 模 \(p\) 的 阶 为 \(t\) 且与 \(p\) 互质的 \(a\)（此处 \(a\) 代指其一而非整体）

根据 4.4.，\(x ^ t \equiv 1 ~ (mod ~ p)\) 恰有 \(t\) 个解，且为 \(a, a ^ 2, ..., a ^ t\)

又考虑 模 \(p\) 的 阶 为 \(t\) 且与 \(p\) 互质的数 均为同余方程的根，也就是一定在 \(a, a ^ 2, ..., a ^ t\) 中

而根据 4.1.，这样的数应当为 满足 \(i, t\) 互质的 \(a ^ i\)，显然共有 \(\varphi (t)\) 个

而 模 \(p\) 的 阶 为 \(t\) 且与 \(p\) 互质的数 即是 \(n(t)\)，则表明这种情况下 \(n(t) = \varphi(t)\)

故有 当 \(n(t) = 0\) 时，\(n(t) < \varphi(t)\)，而其余情况 \(n(t) = \varphi(t)\)

又知 \(\sum_{t | p - 1} n (t) = \sum_{t | p - 1} \varphi (t)\)

故显然 \(n(t) = 0\) 的情况 不存在（否则 \(\sum_{t | p - 1} n (t) < \sum_{t | p - 1} \varphi (t)\)）

显然我们知道，原根的个数 就是 模 \(p\) 的 阶 为 \(\varphi (p) = p - 1\) 的数的个数，即 \(n(p - 1)\)

由于 \(n(p - 1) \neq 0\) 故此情况下 原根一定存在

又 \(n(p - 1) = \varphi (p - 1) = \varphi (\varphi (p))\) 故此情况下 原根个数为 \(\varphi (\varphi (p))\)，命题得证


回到正题

以下内容部分引用自 [2] 对应文章


来看看在 \(FFT\) 中用到了 单位根 \(w\) 的哪些性质？

  1. \(w_n ^ k = (w_n ^ 1) ^ k\)
  2. \(w_n ^ k = w_n ^ {k \% n}\)
  3. \((w_n ^ k) ^ p = w_n ^ {kp} = w_n ^ {kp \% n}\)
  4. \(w_n ^ i * w_n ^ j = w_n ^ {i + j}\)
  5. \(w_{an} ^ {ak} = w_n ^ k \to w_{2n} ^ {2k} = w_n ^ k\)
  6. \(w_n ^ {k + n/2} = - w_n ^ {k} ~ (2 | n)\)

显然，原根可以在 \(n = p - 1\) 时满足以上性质（通过 余数的性质 易得）

考虑 \(n\) 次单位根 就是把 单位圆 平均分 \(n\) 分

原根 这玩意儿吧就是 在模意义下 把 “单位圆” 平均分 \(p - 1\) 份

然后 模数 也同样具有相似的 可乘性 啥的，就，感性理解是容易的

简单推广得到当 \(n | p - 1\) 的时候也可以满足（几块并成一块）

但是啊，这个 \(p\) 这玩意儿不是 少得可怜？咋做？

仔细想想，发现 由于要 补项，\(n\) 通常情况下可以表示为 \(2 ^ i\) 的形式，也少得可怜

好家伙，于是我们只需要找质数 \(p\) 使得 \(p = 2 ^ k * m + 1\)，然后 \(k\) 巨大就行了

这里的 \(2 ^ k\) 其实决定了 可以做的长度的最大值，然后 我褐了 \(0.125\) 个表（来源 [4]）


\(p = 2 ^ k * m + 1\) \(k\) \(g\)
\(998244353\) \(23\) \(3\)
\(1004535809\) \(21\) \(3\)
\(2013265921\) \(27\) \(31\)
\(1945555039024054273\) \(56\) \(5\)
\(4179340454199820289\) \(57\) \(3\)

对于一般题，找到 一个 合适的模数 的 原根 \(g\)，那么 \(g ^ {(p - 1) / n}\) 就是一个 单位根 的完美替代

（可以感性理解成 \(g _ n ^ {(p - 1) / n} = w _ n ^ 1\)）


实现

简单替换一下，直接开搞就行

我们先拉出刚刚 \(FFT\) 的 最终版代码...的 \(FFT\) 函数

inline void FFT (Complex *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1;
	Complex Now = Complex (1, 0), tmp, U;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		U = Complex (cos (2 * PI / k), Typ * sin (2 * PI / k));
		for (int i = 0; i < Len; i += k) {
			Now = Complex (1, 0);
			for (int l = i; l < i + len; ++ l, Now = Now * U)
				tmp = Now * p[l + len], p[l + len] = p[l] - tmp, p[l] = p[l] + tmp;			
		}	
	}
}

在 \(FFT\) 的基础上稍做修改

const int MOD = 998244353, g = 3, ig = 332748118;

inline void NTT (int *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1, Now = 1, tmp, u;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		u = Qpow (Typ == 1 ? g : ig, (MOD - 1) / k);
		for (int i = 0; i < Len; i += k) {
			Now = 1;
			for (int l = i; l < i + len; ++ l, Now = 1ll * Now * u % MOD)
				tmp = 1ll * Now * p[l + len] % MOD, p[l + len] = (p[l] - tmp + MOD) % MOD, p[l] = (p[l] + tmp) % MOD;			
		}	
	}
}

最后 除以 \(n\) 的时候注意 求一下 \(n\) 的逆元 即可，直 接 就 过 了

当然 这玩意儿 是 不优的，显然在 取模 上面 优化空间很大

我们可以用 \(unsigned ~ long ~ long\) 扩大存数范围

减少取模次数

这有一些效果

inline void NTT (unsigned long long *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1, Now = 1, tmp, u;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		u = Qpow (Typ == 1 ? g : ig, (MOD - 1) / k);
		for (int i = 0; i < Len; i += k) {
			Now = 1;
			for (int l = i; l < i + len; ++ l, Now = 1ll * Now * u % MOD)
				tmp = 1ll * Now * p[l + len] % MOD, p[l + len] = (p[l] - tmp + MOD), p[l] = (p[l] + tmp);			
		}
		if (k == (1 << 16)) for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
	}
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
}

预处理单位根

也是 十分不错的方法

inline void NTT (unsigned long long *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1, tmp, u;
	W[0] = 1;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		u = Qpow (Typ == 1 ? g : ig, (MOD - 1) / k);
		for (int i = 1; i <= len; ++ i) W[i] = W[i - 1] * u % MOD;
		for (int i = 0; i < Len; i += k) 
			for (int l = i; l < i + len; ++ l)
				tmp = 1ll * W[l - i] * p[l + len] % MOD, p[l + len] = (p[l] - tmp + MOD), p[l] = (p[l] + tmp);			
		if (k == (1 << 16)) for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
	}
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
}

最后也放一份比较完整的

板子

2024-02-24 14:39 - C++20 O2 - 1.63 KB / 981 ms / 50.55 MB | Record

#include <bits/stdc++.h>
#define Complex complex <double>

const int MAXN = 2100005;
const int MOD  = 998244353;

using namespace std;

int U[MAXN];

inline int Qpow (const int a, const int b = MOD - 2) {
	if (b == 1) return a;
	int Ret = Qpow (a, b >> 1);
	if (b & 1) return 1ll * Ret * Ret % MOD * a % MOD;
	return 1ll * Ret * Ret % MOD;
}

const int g = 3, ig = Qpow (g);

unsigned long long W[MAXN];

inline void NTT (unsigned long long *p, const int Len, const int Typ) {
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) if (i < U[i]) swap (p[i], p[U[i]]);
	int len = 1, tmp, u;
	W[0] = 1;
	for (int k = 2; k <= Len; len = k, k <<= 1) {
		u = Qpow (Typ == 1 ? g : ig, (MOD - 1) / k);
		for (int i = 1; i <= len; ++ i) W[i] = W[i - 1] * u % MOD;
		for (int i = 0; i < Len; i += k) 
			for (int l = i; l < i + len; ++ l)
				tmp = 1ll * W[l - i] * p[l + len] % MOD, p[l + len] = (p[l] - tmp + MOD), p[l] = (p[l] + tmp);			
		if (k == (1 << 16)) for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
	}
	for (int i = 0; i < Len; ++ i) p[i] %= MOD;	
}

unsigned long long F[MAXN], G[MAXN];

int N, M, P, x, in;

int main () {
	
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	cin >> N >> M;
	
	for (P = 1; P <= N + M; P <<= 1);
	
	for (int i = 0; i < P; ++ i) U[i] = (U[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? P >> 1 : 0);
	
	for (int i = 0; i <= N; ++ i) cin >> F[i];
	
	for (int i = 0; i <= M; ++ i) cin >> G[i];
	
	NTT (F, P, 1), NTT (G, P, 1);
	
	for (int i = 0; i < P; ++ i) F[i] = 1ll * F[i] * G[i] % MOD;
	
	NTT (F, P, - 1), in = Qpow (P);
	
	for (int i = 0; i <= N + M; ++ i) cout << (1ll * F[i] * in) % MOD << ' ';
	
	return 0;
}

多项式基本运算

先鸽一会儿...


引用 & 鸣谢

这些文章都使笔者学到 褐了 很多内容，而且 质量较高，十分推荐


[1] 傅里叶变换(FFT)学习笔记 - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

[2] NTT与多项式全家桶 - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

[3] 原根的概念、性质及其存在性 - 知乎 (zhihu.com) - Mathis Wang（笔 误 の 神）

[4] FFT用到的各种素数 | Miskcoo’s Space

标签：int,多项式,sum,Len,Complex,varphi,equiv
From： https://www.cnblogs.com/FAKUMARER/p/18031086

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