欧拉图（欧拉通路&欧拉回路）

定义

通过图中所有边恰好一次的通路称为欧拉通路。

通过图中所有边恰好一次的回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的无向图或有向图称为欧拉图。

具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图或有向图称为半欧拉图。

有向图也可以有类似的定义。

非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

判定

1.对于无向图,所有边都是连通的

(1) 存在欧拉路径的充分必要条件: 度数为奇数的点只能是0或者2个(0个为欧拉回路的情况)

(2) 存在欧拉回路的充分必要条件: 度数为奇数的点只能有0个

2.对于有向图,所有边都是连通的

(1) 存在欧拉路径的充分必要条件: 要么所有点出度均等于入度(欧拉回路情况);要么除了两个点之外,其余点的出度等于入度,剩余的两个点:一个满足出度比入度多1(起点),另一个满足入度比出度多1(终点)

(2) 存在欧拉回路的充分必要条件: 所有点的出度均等于入度

性质

非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若\(G\)是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

寻找方法

1 记录点的情形

void dfs(int x)
    对于从x出发的每条边(x, y)
        如果该边没有被访问过
            把这条边删去
            dfs(y)
    把x入栈

main()
    dfs(1)
    倒序输出栈中所有的节点

2 记录边的情形

void dfs(int x)
    对于从x出发的每条边i(x, y)
        如果该边没有被访问过
            把这条边删去
            dfs(y)
            把边i入栈
main()
    dfs(1)
    倒序输出栈中所有的边

栗子

[USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

如题，就是找到欧拉回路然后记录点

CF429E Points and Segments

题目大意

在一个数轴给定n条线段，可以选择把他染红或蓝，要求数轴上的每个点所经过的红蓝线段差小于等于1

题解：

首先离散化，我们考虑设染红操作为区间+1，染蓝为区间-1，然后每个点所经过的红蓝线段差就转化成了每个点之值，于是我们先考虑最简单的，就是每个点的值为0才合法。

然后就不是人能想到的东西了（OI的难题就是如此，这种没有指向性的东西，唉）

将一个区间+1看作l到r连一条边，区间-1看作r到l连一条边，然后竟然发现，要满足合法（也就是任意点的值为0）就是在上面满足能被欧拉回路覆盖.

然后如图非常好理解。

但是这种情况非常局限，如果不能被欧拉回路覆盖就不是合法情况。

于是就将合法条件拓展到原问题，每个点的值为-1，0，或1

然后就引入虚边（绿边）

然后对于存在奇点的图，显然奇点的数量一定为偶数，将所有奇点从小到大排序，设为 {A1,A2,……An}，在 A1和 A2,A3和 A4,……An-1和 An之间连一条无向边，称为虚边。

注意一下正确性，由于每个点上最多有1条虚边，所以他要么是红，要么是蓝，对点的值影响为0，1，-1恰为题意。

所以就没了，注意一下答案的输出。